como calcular volume com integral tripla?

isso

é a integral tripla de 1 dV:

\(\int\int\int\)dxdydz

Siga o exercício abaixo como exemplo:

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O sólido limitado pelos paraboloides y-x²+z² e y=8-x²-z²

Calcular o volume do sólido limitado pelos paraboloides dados, é o mesmo, em termos numéricos, que calcular o volume limitado pelos seguintes paraboloides: z=x²+y² e z=8-x²-y². O valor correspondente às unidades de volume é exatamente igual. Além disso, a forma como é apresentada as equações lembra as coordenadas cilíndricas, então será feito essa substituição. Antes, é importante determinar o conjunto ao qual será feita a integração. A ideia partirá de encontrar a interseção entre as superfícies:

Se z=z, então x²+y²=8-x²-y². Implica que 2x²+2y²=8, e portanto x²+y²=2². Esta última equação representa a circunferência de centro na origem e raio valendo 2 unidades.

Porém, em termos de domínio da função, tem-se que considerar o seguinte círculo:


Mudança de Variável na Integral Tripla:

Onde:  é o módulo do determinante jacobiano.

Para o caso em específico feito por coordenadas cilíndricas:


Imagine que o ângulo  formado com o eixo das abscissas irá percorrer todos os ângulos para gerar o sólido que estamos calculando o volume, então . Para o caso de : . A "componente z" irá de uma superfície a outra, ou seja, de  até . Mas, em coordenadas cilíndricas:  até .

Coordenadas Cilíndricas:


Integral Tripla:
 unidades de volume

Passo-a-passo:
a) 
b) 
c)