Pela série geométrica, sabemos que:

\(\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ...\)

Para a função apresentada, teremos:

\(\frac{1}{1+x^3} = 1 - x^3 + x^6 - x^9 + x^{12} - x^{15} + ...\)

Logo:

\(\int \frac{dx}{1+x^3} = \sum_{n=0}^{\infty} \int x^{-3n} dx \\ \boxed{\int \frac{dx}{1+x^3} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{-3n+1}}{-3n+1}}\)