3. Ache a representação em série de potências para a integral dada e determine seu raio de convergência. (a) ∫ x 0 e^t dt (b) ∫ x 0 dt/(t^2+4) (c) ...

Para encontrar a representação em série de potências para as integrais dadas e determinar seu raio de convergência, é necessário utilizar técnicas de expansão em séries de potências. Vou fornecer uma breve explicação para cada uma das integrais mencionadas: (a) ∫ x^0 e^t dt: A integral de e^t em relação a t é simplesmente e^t. Portanto, a representação em série de potências para essa integral é a própria série de potências de e^t, que é e^t = 1 + t + (t^2)/2! + (t^3)/3! + ... (b) ∫ x^0 dt/(t^2+4): Essa integral pode ser resolvida utilizando a técnica de frações parciais. Após realizar a decomposição em frações parciais, você pode encontrar a representação em série de potências para cada termo separadamente. (c) ∫ x^2 dt/(4-t): Essa integral também pode ser resolvida utilizando a técnica de frações parciais. Após realizar a decomposição em frações parciais, você pode encontrar a representação em série de potências para cada termo separadamente. Quanto ao raio de convergência das séries de potências resultantes, ele pode ser determinado utilizando o critério de convergência de séries de potências, como o teste da razão ou o teste da comparação. Esses critérios permitem verificar em quais valores de x a série converge. Lembre-se de que essas são apenas orientações gerais e que a resolução completa dessas integrais requer conhecimentos mais aprofundados em cálculo.