Para que o volume do paralelepipedo seja 24.
O módulo do produto vetorial representa a área do paralelogramo que se pode formar com dois vetores, entao u x v = a um determinante D tal que
D=
│ i j k │
│ m -3 1 │
│ 1 -2 1 │
Resolvendo pela primeira linha fica:
│ i j k │
│ m -3 1 │
│ 1 -2 1 │ = i(-3+2) -j(m-1)+k(-2m+3)=
-i-(m-1)j+(-2m+3)k
u x v = -i-(m-1)j+(-2m+3)k
módulo de u x v = √((1²+(-(m-1)²+(-2m+2)²)=√(26)
elevando ao quadrado , fica
1+(-(m-1))²+(-2m+3)²=26
ou
1+m²-2m+1+4m²-12m+9=26
ou
5m²-14m +11-26=
5m²-14m-15=0
onde
∆=196+300=496
e
496=2^4.31
logo , aplicando Baskara ,
m=(14+-4√31)/10
ou
m=(7+-2√31)/5
A área de um paralelogramo é dada pelo produto vetorial entre u e v, ou seja:
\(\left[ \begin{array}{c c c} i&j&k\\ a&-3 &1\\ 1&-2&1\\ \end{array}\right] =24\)
Resolvendo esse determinante:
\(=3k+2i-a-3i+j-2ak=24\\ =(-1,1-a, -2a+3)=24\)
Retirando o modulo:
\(=\sqrt{(-1)^2+(1-a)^2+(-2a+3)^2}=\sqrt{24}\\ =\sqrt{1+(1-2a+a^2)+(4a^2-12a+9)}=\sqrt{24}\\ =\sqrt{11-14a+5a^2}=\sqrt{24}\\ =5a^2-14a-13=0 \)
Usando bhaskara:
\(x = {14 \pm \sqrt{14^2-4.5.(-13)} \over 2.5}\\ x= {14 \pm {21,35} \over 10}\\ x=3,53\\ x=-0,735\)
Assim, \(\boxed{m= 3,53}\) ou \(\boxed{m=-0,735}\)
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Cálculo Vetorial
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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
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