Determine a massa de um sódio com densidade constante, isto é, p(x,y,z)=p e é limitado pelo cilindro parabólico x=y² e planos x=z, z=0 e x=1

Cálculo II

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UNA

1

0

1

0

1

Caroline dos Santos

31/05/2018

💡 1 Resposta

RD Resoluções

19.06.2018

Plano verde: z=x
Plano anaranjado: z=0
Plano azul: x = 1

Superficie amarilla: x = y²
=============================
Cotas para Y:

$y^2=1\iff y=\pm 1$
$\boxed{-1\leq y \leq 1}$
Cotas para X:
$\boxed{0\leq x\leq y^2}$
Cotas para Z:
$\boxed{0\leq z\leq x}$
Região de integração:

$G=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R^3: -1\leq y\leq 1\,,\, 0\leq x\leq y^2\,,\,0\leq z\leq x\right\}$

Densidade do sólido:

$\rho(x,y,z)=k$

Massa do sólido:

$\displaystyle
m=\iiint\limits_G \rho(x,y,z) \,dV\\ \\ \\
m=\int_{-1}^1\int_{0}^{y^2}\int_{0}^xk\,dzdxdy\\ \\ \\
m=k\int_{-1}^1\int_{0}^{y^2} x \,dx dy \\ \\ \\
m=k\int_{-1}^1\left.\left(\dfrac{x^2}{2}\right)\right|_0^{y^2}dy

$

$\displaystyle
m=\dfrac{k}{2}\int_{-1}^1y^4\,dy\\ \\ \\
m=\dfrac{k}{2}\left.\left(\dfrac{y^5}{5}\right)\right|_{-1}^1\\ \\ \\
\boxed{m=\dfrac{k}{5}}$

Momentos relativos a
eixo X
$\displaystyle
M_x=\iiint\limits_G x\rho(x,y,z)dV\\ \\ \\
M_x=k\int_{-1}^1\int_{0}^{y^2}\int_{0}^xx\;dzdxdy\\ \\ \\
\boxed{M_x=\dfrac{2k}{21}}$

eixo Y
$\displaystyle 
M_y=\iiint\limits_G y\rho(x,y,z)dV\\ \\ \\ 
M_y=k\int_{-1}^1\int_{0}^{y^2}\int_{0}^xy\;dzdxdy\\ \\ \\
\boxed{M_y=0}$

eixo Z
$\displaystyle 
M_z=\iiint\limits_G z\rho(x,y,z)dV\\ \\ \\ 
M_z=k\int_{-1}^1\int_{0}^{y^2}\int_{0}^xz\;dzdxdy\\ \\ \\
\boxed{M_z=\dfrac{k}{21}}$