Prove por indução as seguintes fomulas

1 + 3 +  ... + (2n - 1) = n² 

Demonstração por indução: 

Para n = 1 teremos: 
1 = 1 , oque é verdade. 

Supomos então por hipótese que seja válido para n = k, assim: 
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k² 

Basta provar que é válido para (k + 1), veja: 
1 + 3 +  ... + (2k - 1) + (2k + 1) = (k + 1)² 
1 + 3 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = k² + (2k + 1) 

Portanto: 1 + 3 + ... + (2n - 1) = n² . 

acha que no final seria bom colocar k^2+2k + 1 = (k+1)^2 o que completa a demonstração

Para n = 1 , temos

(2*1 – 1 ) = 1 = 1² ; Logo, é verdadeira.

Suponha que para k seja verdadeira:

1 + 3 + ... + (2k -1 ) = k²

Queremos provar que para k+1 também é verdadeira.

Ou seja,

1 + 3 + ... + (2k +1) = (k+1)²

Sabemos que

1 + 3 + ... + (2k -1 ) = k²

 Daí,

1 + 3 + ... + (2k -1 ) + (2k+1) = k² + (2k + 1)

=  k² + 2k + 1

= (k+1)²