Dados os pontos A(m, 1, 0), B(m-1, 2m, 2) e C(1, 3, -1), determinar "m" de modo que o triângulo ABC seja retêngulo em A. Calcular a área do triângulo.

AB = ( m-1 - m, 2m -1, 2)
AB = (-1, 2m -1, 2)

AC = ( 1-m, 3-1, -1)
AC = ( 1-m, 2, -1)

AB.AC = 0
(-1, 2m -1, 2) . ( 1-m, 2, -1) = 0
-1+m + 4m -2 -2 = 0
5m = 5
m = 1

A (1, 1, 0)
B (0, 2, 2)
C (1, 3, -1)


AB = (-1, 2m -1, 2)
AB = (-1, 1, 2)

AC = ( 1-m, 2, -1)
AC = (0, 2, -1)


Area do triangulo = (1/2) . | AB X AC|
AB X AC =

| i j k |
|-1 1 2| =
|0 2 -1|

AB X AC = (-1 -4)i - (1)j + (-2)k
AB X AC = -5i - j -2k
|AB X AC| = √[(-5)² + (-1)² + (-2)²]
|AB X AC| = √(25 + 1 + 4)
|AB X AC| = √30

Area do triangulo = (1/2) . | AB X AC|
Area do triangulo = (1/2) . √30
Area do triangulo = √30/ 2

Sejam A(m,1,0), B(m-1,2m,2) ,C(1,3,-1) 
Dois Vetores u e v podem ser escritos com esses pontos

u=AB=B-A
v=AC=C-A

Para que seja um triangulo retangulo, basta que um angulo seja de reto(90º), entao, fazendo u e v perpendiculares <=> <u,v>=0, teremos um triangulo retangulo
 
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u=AB=B-A=(m-1,2m,2)-(m,1,0),=(m-1-m,2m-1,2)=(-1,2m-1,2)
v=AC=C-A=(1,3,-1)- (m,1,0)=(1-m,2,-1)

Como <u,v>=0 
(-1,2m-1,2)(1-m,2,-1)=0 

-1+m+4m-2-2=0 
5m-5=0 
5m=-5 
m=5/-5
m=-1

Área

os pontos serão:

A=(-1,1,0)

B=(-2,-2,2)

C=(1,3,-1)

A Area é dada pela metade do produto dos menores lados. ou seja a norma(comprimento) dos vetores u e v. O outro vetor que sobra, ou seja BC, é hipotenusa, para m=-1.

u=(-1,-3,2)

v=(0,2,-1)

Norma de u=<u,u>=((-1)²+(-3)²+2²)=12

Norma de v=<v,v>=(0²+2²+(-1)²)=5

Área=(1/2)*(12*5)=(1/2)(60)=30m²

Valeu Diguinho;

Obrigado pela ajuda!