Como reduzir a função?

Bom dia, Carlos!

Para calcular o ponto de máximo (e mínimo) desta função, podemos derivar a função e calcular onde a derivada vale zero e analisar.

f(x)=2sen(2x)+3cos(4x)

f'(x)=2cos(2x)*2+3(-sen(4x))*4

f'(x)=4cos(2x)-12sen(4x)

Igualando a derivada a zero, teremos:

4cos(2x)-12sen(4x)=0

Como sen(2x)=2sen(x)cos(x), podemos substituir o sen(4x) por 2sen(2x)cos(2x)

4cos(2x)-12(2sen(2x)cos(2x))=0

cos(2x)[4-24sen(2x)]=0

Temos que cos(2x)=0 em 2x=π/2+kπ, então, x=π/4+kπ/2

E 4-24sen(2x)=0

sen(2x)=4/24

sen(2x)=1/6

Para resolver esta equação, somente com uso de uma calculadora ou programa, pois não sabemos um ângulo 'exato' que nos dê essa resposta.

Veja que se temos o sen(2x) temos também o cos(2x), certo?

sen²(2x)+cos²(2x)=1

(1/6)²+cos²(2x)=1

cos²(2x)=1-1/36

cos²(2x)=35/36

cos(2x)=±√35/6

Então, cos(4x)=cos²(2x)-sen²(2x)=35/36-1/36=34/36

Substituindo na equação f(x) inicial teremos: f(x)=2(1/6)+3(34/36)=1/3+17/6=19/6, que é o maior valor assumido pela função.

O menor tem cos(2x)=0, então sen(2x)=±1

cos(4x)=cos²(2x)-sen²(2x)=0-1=-1

Substituindo

f(x)=2(1)+3(-1)=2-3=-1

f(x)=2(-1)+3(-1)=-5

Então, ponto de mínimo local -1 e -5, e ponto de mínimo global, -5

Espero ter ajudado um pouco!

Bom dia Rodrigo, primeiramente muito obrigado pela resposta.

Embora eu saiba o basico sobre derivada, comecei calculo diferencial faz pouco tempo, ainda nem sei limites. Deste modo, eu estava procurando uma maneira de simplificar equações das formas f(x)=a.sen(n.x)+b.cos(m.x) para uma equação simples.

Um exemplo, é simplificar equações da forma f(x)=a.sen(x)+b.cos(x); α=arctan(a/b); β=arctan(b/a), então podemos escrever f(x) como:

f(x)=√(a²+b²) . cos(x-α)

f(x)=√(a²+b²) . sen(x+β)

E queria fazer para f(x)=a.sen(n.x)+b.cos(m.x) até quando mdc(m,n)=1

Isso inclusive ajudaria a interpretar a função.

Para o exemplo, tem-se que mdc(4,2)=2, então implica que a resposta final pode ser dada como sen(2x) ou como cos(2x). Simplificando a função f(x):

f(x)=2sen(2x)+3cos(4x)

f(x)=2sen(2x)+3[cos²(2x)-sen²(2x)]

f(x)=2sen(2x)+3cos²(2x)-3sen²(2x)

f(x)=2sen(2x)+3[1-sen²(2x)]-3sen²(2x)

f(x)=2sen(2x)+3-6sen²(2x)

f(x)/6=(1/3)sen(2x)+(1/2)-sen²(2x)

f(x)/6=-sen²(2x)+(1/3)sen(2x)-(1/6)²+(1/2)+(1/6)²

f(x)/6=-[sen(2x)-(1/6)]²+(19/36)

f(x)={19-[6sen(2x)-1]²}/6

Ou caso preferires algo mais legível:

http://i.imgur.com/bAoJz0G.png

Como [6sen(2x)-1]² >0, então quando

[6sen(2x)-1]²=0

sen(2x)=1/6

Então o máximo será:

{19-[6sen(2x)-1]²}/6 --> {19-0}/6=19/6

Agora se queremos o ponto de mínimo, então o valor de [6sen(2x)-1]² será o máximo, isso ocorre quando sen(2x)=-1

[6 . (-1) - 1]² = [-7]²=49

{19 - 49}{6}=(-30)/6 = - 5

Este é o ponto de mínimo

Se o valor for -1:

{19-[6 sen(2x)-1]²}/6 = -1

[6sen(2x)-1]²=19+6

6sen(2x)-1=5

sen(2x)=1

Contudo, desta maneira não é facil perceber onde estão todas as cristas, mas percebe-se quais são os pontos de máximo e mínimo. E acho que fica até mais fácil de derivar inclusive:

f'(x)=4cos(2x)[1-6sen(2x)]

Nas cristas a derivada é 0, então:

4cos(2x)[1-6sen(2x)]=0

Então:

cos(2x)=0 ---> x=[k+(1/2)]π

ou

[1-6sen(2x)]=0 --> sen(2x)=1/6 --> x=[2kπ±arccos((√35)/6)]