Como resolver Equações Diferenciais Homogêneas

Uma equação diferencial homogênea têm a seguinte forma: 

Esta é uma EDO homogênea de segunda ordem. EDOs de primeira ordem tem o termo   nulo. Existem duas formas de encontrar as soluções de uma EDO de primeira ordem, que são o método das equações diferenciáveis separáveis e o método da equação diferencial exata. 

• O método das equações diferenciais separáveis diz que se   e a função   é um produto de duas funções com uma variável apenas ( ), então a solução dessa EDO é:

      Resolvendo a integral acima encontra-se a solução do problema. 

• Já o método das equações diferenciais separáveis diz que dado uma EDO do tipo  , onde as derivadas parciais são iguais ( ), essa EDO é chamada de exata. Então sua solução é encontrada resolvendo as seguintes integrais:

Os passos para encontrar a solução neste caso é:

1. Encontrar a expressão   no passo I.
2. Encontrar a constante   no passo II.
3. Substituir a constante encontrada em    do primeiro passo.

• E para encontrar as soluções de uma EDO homogênea de segunda ordem temos o método da equação característica e o método da redução de ordem. 

O método da equação característica só é possível utilizar quando os coeficientes da ED são constantes:  . Dessa forma podemos fazer uma substituição do tipo   e  , onde   é apenas uma variável. A equação a ser resolvida então fica: 

As raízes encontradas na solução desse polinômio de segundo grau será parte da solução:

• Já o método da redução de ordem é necessário que se conheça uma solução da ED  ( ). Assim, conhecendo  , vamos determinar duas funções auxiliares   e  :

Assim, é possível encontrar a segunda solução para a ED.

Uma equação diferencial homogênea têm a seguinte forma:

Esta é uma EDO homogênea de segunda ordem. EDOs de primeira ordem tem o termo nulo. Existem duas formas de encontrar as soluções de uma EDO de primeira ordem, que são o método das equações diferenciáveis separáveis e o método da equação diferencial exata.

• O método das equações diferenciais separáveis diz que se e a função é um produto de duas funções com uma variável apenas (), então a solução dessa EDO é:



• Resolvendo a integral acima encontra-se a solução do problema.

• Já o método das equações diferenciais separáveis diz que dado uma EDO do tipo , onde as derivadas parciais são iguais (), essa EDO é chamada de exata. Então sua solução é encontrada resolvendo as seguintes integrais:



• Os passos para encontrar a solução neste caso é:

1. Encontrar a expressão no passo I.

2. Encontrar a constante no passo II.

3. Substituir a constante encontrada em do primeiro passo.

4. E para encontrar as soluções de uma EDO homogênea de segunda ordem temos o método da equação característica e o método da redução de ordem.

5. O método da equação característica só é possível utilizar quando os coeficientes da ED são constantes: . Dessa forma podemos fazer uma substituição do tipo e , onde é apenas uma variável. A equação a ser resolvida então fica:



6. As raízes encontradas na solução desse polinômio de segundo grau será parte da solução:



7. Já o método da redução de ordem é necessário que se conheça uma solução da ED (). Assim, conhecendo , vamos determinar duas funções auxiliares e :



8. Assim, é possível encontrar a segunda solução para a ED.