Em quais pontos a hélice r(t) = <sin t, cos t, t> intercepta a esfera x² + y² + z² = 5

Nesse exercício vamos estudar intersecção de curva parametrizada com superfície.

Temos a equação da superfície e cada uma das componentes da equação parametrizada da hélice. Vamos então substituir as componentes parametrizadas na equação da esfera:

$$(\sin t)^2 + (\cos t)^2 + t^2 = 5$$

Pela relação fundamental da trigonometria, temos:

$$\sin^2t+\cos^2t=1$$

Então:

$$1 + t^2 = 5\Rightarrow t=\pm2$$

Substituindo na equação parametrizada, temos:

$$\boxed{r(\pm2)=(\sin(\pm2),\cos(\pm2),\pm2)}$$

x =  sin t

y = cos t

z = t 

ligando os pontos na esfera

sin² t  + cos² t + t² = 5

1 + t² = 5

t² = 4

t  = _{-^{+ 2}}

(sin 2, cos 2, 2)

(sin (-2), cos (-2), -2)

Nesse exercício vamos estudar intersecção de curva parametrizada com superfície.

Temos a equação da superfície e cada uma das componentes da equação parametrizada da hélice. Vamos então substituir as componentes parametrizadas na equação da esfera: