Teoria Tridimensional, Esfera e Cilindricas

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COORDENADAS RETANGULARES NO ESPAÇO TRIDIMENCIONAL, 
ESFERAS E SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS 
Os pontos no espaço 3-D são identificados em uma correspondência um a um com triplas de números 
reais, usando três retas coordenadas mutuamente perpendiculares, chamadas eixo x, eixo y e eixo z, 
tais que suas origens coincidem. Os três eixos coordenados formam um sistema de coordenadas 
retangulares tridimensional. 
Os eixos coordenados, tomando pares, determinam três planos coordenados: o plano xy, o plano xz e 
o plano yz. Para cada ponto P no espaço 3-D, podemos associar um trio de números reais passando 
três planos no ponto P paralelos aos planos coordenados. 
 
ESFERAS 
Uma esfera com centro (x0,y0,z0) e raio r consiste daqueles pontos (x,y,z) cujas coordenadas satisfazem 
a equação 
(x – x0)
2 + (y – y0)
2 + (z – z0)
2 = r2 
 
Essa equação é chamada de equação padrão da esfera com centro (x0,y0,z0) e raio r. 
 
Exemplo: 
EQUAÇÃO GRAFICO 
(x – 3)2 + (y – 2)2 + (z – 1)2 = 9 Esfera com centro (3,2,1) e raio 3 
(x + 1)2 + y2 + (z + 4)2 = 5 Esfera com centro (-1,0,-4) e raio 5 
x2 + y2 + z2 = 1 Esfera com centro (0,0,0) e raio 1 
 
 
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Exemplo: 
Determine o centro e o raio da esfera x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 8z + 17 = 0. 
 
Solução: Vamos colocar a equação do enunciado na forma padrão e completar o quadrado. 
(x2 – 2x) + (y2 – 4y) + (z2 + 8z) = -17 
(x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + (z2 + 8z + 16) = -17 + 21 
(x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 4)2 = 4 
a qual é a equação da esfera com centro (1,2,-4) e raio 2. 
 
Se k > 0, então o gráfico dessa equação é uma esfera com centro (x0,y0,z0) e raio k. Se k = 0, então a 
esfera tem raio zero; assim, o gráfico é o único ponto (x0,y0,z0). Se k < 0, a equação não é satisfeita por 
nenhum dos valores de x, y e z, pois a equação é uma soma de parcelas quadradas, logo não pode ser 
negativa e não há gráfico. 
 
SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS 
 
Teorema: Uma equação que contém apenas duas das variáveis x, y e z representa uma superfície 
cilíndrica em um sistema de coordenadas xyz. A superfície pode ser obtida fazendo-se o gráfico da 
equação no plano coordenado das duas variáveis que aparecem na equação e, então, transladando 
este gráfico paralelamente ao eixo da variável que não aparece na equação. 
 
Exemplo: 
Esboce o gráfico de y2 + 4z2 = 4 no espaço 3-D. 
 
Solução: Uma vez que x não aparece nesta equação, o gráfico é uma 
superfície cilíndrica gerada por extrusão paralelamente ao eixo x. 
No plano yz, o gráfico da equação y2 + 4z2 = 4 é uma elipse. Assim, 
no espaço 3-D o gráfico é um cilindro elíptico ao longo do eixo x. 
 
Exemplo: 
Esboce o gráfico de z = cos(x) no espaço 3-D. 
 
Solução: 
 
Exemplo: 
Esboce o gráfico de x – y2 = 0 no espaço 3-D. 
 
Solução: Nesse exemplo, a variável z não aparece nesta equação, o 
gráfico é uma superfície cilíndrica gerada por extrusão paralelamente 
ao eixo z. No plano xy, o gráfico da equação x – y2 = 0 é uma 
parábola. Assim, no espaço 3-D o gráfico é um cilindro parabólico ao 
longo do eixo z. 
 
 
 
 
 
Bibliografia: Anton, Howard. CÁLCULO, UM NOVO HORIZONTE. 6º Ed. Bookman, 2000. 
Exemplos elaborados pela Prof Rúbia Carla Pereira.