O que vem a ser Direito Público e Direito Privado?

A classica distinção entre Direito Púlico e Privado já é bem antiga. Ela polariza o Direito em dois ramos, ramo Público e Privado. Basicamente a diferença entre tais é que no tocante ao D. Público o que impera é o JUS IMPERIUM, o poder potestativo do Estado frente o interesse do particular é mais relevante diante do principio da supremacia do interesse público sobre o privado. Por sua vez o D. Privado se caracteriza pela presença da autonomia das vontades, onde o particular livremente estebelece suas relaçoes, Data Venia, esta liberdade é a liberdade que a lei confere, dai o pensamento moderno de que não há esta dicotomia entre D. Público e Privado, na verdade tudo é Público e o Privado é uma permição Estatal.

Todavia, a teoria clássica ainda permanece de pé. Vale salientar que a presença do Estado na relaçao nem sempre torna esta uma relação de D. público, uma vez que para que esse exista é necessário o JUS IMPERIUM, ou seja, uma relação vertical entres as partes. Ex: quando o Estado aluga um imóvel a um particular, a relaçao é de igualdade e liberdade, sendo relaçao de D. privado.

As principais disciplinas do Ramo do Direito Público São: Direito Constitucional, Direito Tributário, Direito Administrativo, Direito Penal*, ETC.

As principais disciplinas do Ramo do Direito Privado são: Direito Civil, Direito Empresarial, Direito do consumidor, Direito trabalhista, dentre outros. 

* Alguns doutrinadores classificam este ramo do direito como um ramo misto, ora sendo Privado, Ora sendo Público.

É muito simples saber se determinado ramo é de Direito Público ou Direito Privado, apenas basta analisar qual o bem protegido por esta ciência.

Também vale salientar que o fenômeno jurídico é um sistema Uno e tal divisão consiste apenas de carater meramente teórico.

Espero ter ajudado!!

De forma bem resumida:

Direito Público - Conjunto de normas ou regras que regulam a relação entre o Estado e o Particular, imputando ao particular deveres a serem cumpridos.

Direito Privado - Conjunto de normas ou regras que regulam a relação entre Particulares (Particular X Particular), imputando aos particulares, deveres a serem cumpridos um para com o outro.