vetores

Boa noite!

Substituindo os valores de u, v e w onde se pede, chegamos a:

(-12,6)=k1(2,-4)+k2(-5,1)

(-12,6)=(2k1,-4k1)+(-5k2,k2)

(-12,6)=(2k1-5k2,-4k1+k2)

Sistema linear:

2k1-5k2=-12

-4k1+k2=6

Resolvendo o sistema chegará em:

k1=-1

k2=2

Taí :)

Espero ter ajudado!

Neste exercício, tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow w = k_1 \cdot u + k_2 \cdot v\)

Substituindo os vetores \(u=(2,-4)\), \(v = (-5,1)\) e \(w = (-12,6)\), tem-se que:

\(\Longrightarrow (-12,6) = k_1 \cdot (2,-4) + k_2 \cdot (-5,1)\)

\(\Longrightarrow (-12,6) = (2k_1,-4k_1) + (-5k_2,k_2)\)

\(\Longrightarrow (-12,6) = (2k_1 - 5k_2,-4k_1 + k_2)\)

Pela equação resultante, tem-se o seguinte sistema de equações:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2k_1 - 5k_2 = -12 & (I) \\ -4k_1 + k_2 = 6 & (II) \end{matrix} \right.\)

Realizando a operação \(2(I)+(II)\), o valor de \(k_2\) é:

\(\Longrightarrow 2\cdot (2k_1 - 5k_2) + (-4k_1 + k_2) = 2\cdot(-12) + 6\)

\(\Longrightarrow 4k_1 - 10k_2 -4k_1 + k_2 = -24 + 6\)

\(\Longrightarrow - 9k_2 = -18\)

\(\Longrightarrow k_2= 2\)

Substituindo o valor de \(k_2\) na equação \((II)\), o valor de \(k_1\) é:

\(\Longrightarrow -4k_1 + k_2 = 6\)

\(\Longrightarrow -4k_1 + 2 = 6\)

\(\Longrightarrow -4k_1 =4\)

\(\Longrightarrow k_1 =-1\)

Concluindo, para satisfazer uma dada equação de vetores, os valores de \(k_1\) e \(k_2\) são:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} k_1 = -1 \\ k_2 = 2 \end{matrix} \right. $}\)