1- Determine as interseções da reta definida por A(-1,1,3) e B(4,-2,1) com os planos coordenados

A(-1,1,3) B(4,-2,1) 

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Cálculo Vetorial e Geometria Analítica.

Primeiramente devemos determinar a equação geral da reta, \(r\), definida pelos pontos \(\text{A(-1, 1,3)}\) e \(\text{B(4, -2, 1)}\). Para tanto, calcula-se o seguinte determinante:

\(\begin{align} r&=\det\begin{bmatrix} x & y & z \\ -1 & 1 & 3 \\ 4 & -2 & 1 \end{bmatrix} \\&=1\cdot 1\cdot x+y\cdot 3\cdot 4+z\cdot (-1)\cdot(-2)-y\cdot(-1)\cdot 1-x\cdot3\cdot (-2)-z\cdot1\cdot 4 \\&=x+12\cdot y+2\cdot z+y+6\cdot x-4\cdot z \\&=7\cdot x+13\cdot y-2\cdot z \\&=0 \end{align}\)

Portanto, os pontos \(\text{A(-1, 1,3)}\) e \(\text{B(4, -2, 1)}\) formam a reta \(r:7\cdot x+13\cdot y-2\cdot z=0\). Para definir as interseções da mesma com os planos coordenados, basta isolar as variáveis, resultando que:

\(\begin{align} x&=\dfrac{-13\cdot y+2\cdot z}{7} \\ \\ y&=\dfrac{-7\cdot x+2\cdot z}{13} \\ \\z&=\dfrac{7\cdot x+13\cdot y}{2} \end{align}\)

Portanto, as interseções da reta \(r:7\cdot x+13\cdot y-2\cdot z=0\) com os planos coordenados \(x\), \(y\) e \(z\), são, respectivamente, \(\boxed{\begin{align} x&=\dfrac{-13\cdot y+2\cdot z}{7} \end{align}}\), \(\boxed{\begin{align} y&=\dfrac{-7\cdot x+2\cdot z}{13} \end{align}}\) e \(\boxed{\begin{align} z&=\dfrac{7\cdot x+13\cdot y}{2} \end{align}}\).