Determine a segunda derivada da função f(x)=3^log_2t

e^ln3*log2t * ln3*2/2t/ln10
ln3*e^ln3log2t/tln10
-(ln(3) * ln(10) - ln(3)²)*e^ln3*log2t / x²*ln(10)²

Para facilitar nossas contas, vamos utilizar o \(ln\) no lugar do \(log\). Isso não levará a nenhuma alteração, já que não utilizaremos a base do logaritmo. Assim, seja:

\(f(x)=3^{\ln \left(2t\right)}\)

Vamos calcular a primeira derivada:

\(\frac{d}{dt}\left(3^{\ln \left(2t\right)}\right)\)

Vamos utilizar a regra \(a^b=e^{b\ln \left(a\right)}\)

\(3^{\ln \left(2t\right)}=e^{\ln \left(2t\right)\ln \left(3\right)}\)

Aplicando a regra da cadeia \(\frac{df\left(u\right)}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}\) com \(f=e^u,\:\:u=\ln \left(2t\right)\ln \left(3\right)\), temos:

\(\frac{d}{du}\left(e^u\right)\frac{d}{dt}\left(\ln \left(2t\right)\ln \left(3\right)\right)\)

Mas :

\(\frac{d}{du}\left(e^u\right)=e^u\\ \frac{d}{dt}\left(\ln \left(2t\right)\ln \left(3\right)\right)=\frac{\ln \left(3\right)}{t}\)

Portanto :

\(\frac{d}{du}\left(e^u\right)\frac{d}{dt}\left(\ln \left(2t\right)\ln \left(3\right)\right)=e^u\frac{\ln \left(3\right)}{t}\)

Voltando a variável original:

\(e^{\ln \left(2t\right)\ln \left(3\right)}\frac{\ln \left(3\right)}{t}\)

Portanto \(\frac{d}{dt}\left(3^{\ln \left(2t\right)}\right)=2^{\ln \left(3\right)}\ln \left(3\right)t^{\ln \left(3\right)-1}\)

Vamos então calcular a segunda derivada, ou seja, \(\frac{d}{dt}\left(2^{\ln \left(3\right)}\ln \left(3\right)t^{\ln \left(3\right)-1}\right)\). Vamos começar retirando a constante:

\(2^{\ln \left(3\right)}\ln \left(3\right)\frac{d}{dt}\left(t^{\ln \left(3\right)-1}\right)\)

Aplicando a regra do tombo em derivadas:

\(2^{\ln \left(3\right)}\ln \left(3\right)\left(\ln \left(3\right)-1\right)t^{\ln \left(3\right)-1-1}=2^{\ln \left(3\right)}\ln \left(3\right)\left(\ln \left(3\right)-1\right)t^{\ln \left(3\right)-2}\)

Portanto a segunda derivada da função \(f(x)=3^{\ln \left(2t\right)}\) é \(2^{\ln \left(3\right)}\ln \left(3\right)\left(\ln \left(3\right)-1\right)t^{\ln \left(3\right)-2}\). Perceba que durante o desenvolvimento, o fato de termos usado \(ln\) não afetou as contas. Voltando com o \(log\), temos que a segunda derivada da função \(f(x)=3^{\log \left(2t\right)}\) é \(\boxed{2^{\log \left(3\right)}\log \left(3\right)\left(\log \left(3\right)-1\right)t^{\log \left(3\right)-2}}\)