SOS. Num dado instante, o comprimento de um cateto de um triângulo retângulo é 10cm e ele está crescendo a uma taxa de 1 cm/min. RESTO NA DESCRIÇÃO..?

No instante inicial, , , e . Sendo o ângulo agudo em questão, o esquemático do problema encontra-se abaixo:

Fonte: Autoria Própria.

Podemos relacionar o ângulo e a medida dos catetos e pela função tangente:

Derivando ambos os lados em relação ao tempo, temos:

Substituindo os valores, temos:

Portanto, o ângulo agudo oposto ao lado de 12 cm está diminuindo a uma taxa de 0,131 rad/min.

cateto_a = 10 + 1.t ( onte t é o tempo dado ) 

cateto_b = 12 - 2t 

tan(angulo) = (12 - 2t)/(10 + t) 

angulo = argtan((12 - 2t)/(10+t)) 

 Derive  o ângulo. 

d(angulo)/dt = igual a resposta que você procura. 

argtan'(u) = 1/(1+u²) onde u no seu caso é ((12 - 2t)/(10+t)) 

logo: 1/(1+u²) = (10 + t)²/ ( (10+t)² + (12 -t)² ) 
O exercício não acaba aí, você ainda precisa aplicar a regra da cadeia e derivar ((12 - 2t)/(10+t)) com relação a t. 

((12 - 2t)/(10+t))' = (-2.(10+t) - (12-2t))/(10+t)² = -32/(10+t)² 


Logo: 

d(angulo)/dt = ((10 + t)²/((10+t)² + (12 -t)²)).(-32/(10+t)²) 

= -32/((10+t)² + (12 -t)²)) (sendo assim essa é a taxa de variaçao com o tempo )

No instante inicial, , , e . Sendo o ângulo agudo em questão, o esquemático do problema encontra-se abaixo:

Fonte: Autoria Própria.

Podemos relacionar o ângulo e a medida dos catetos e pela função tangente:

Derivando ambos os lados em relação ao tempo, temos:

Substituindo os valores, temos:

Portanto, o ângulo agudo oposto ao lado de 12 cm está diminuindo a uma taxa de 0,131 rad/min.