Escreva a expressão de um operador linear T: R^2 -> R^2 cujo núcleo seja a reta y = x e cuja imagem seja a reta y = 2x.

Sendo o núcleo do operador a reta y = x , segue que A(x, y) = (a x - a y , b x - b y ) com b, d ∫ 0.

Por outro lado, a imagem do operador é a reta y = 2 x , logo a =1 e b = 2.

Portanto, A(x, y) = (x - y, 2 x - 2 y).

---

Um operador linear é tido como tipo de transformação linear que ocorre em um mesmo espaço vetorial. Ou seja, um operador linear é toda transformação que ocorre em um mesmo plano vetorial, mantendo-se as coordenadas.

Um núcleo de transformação, base do operador linear, é o que define o seu "formato" na transformação e como ele lida com as variáveis que estão entrando no operador linear.

---

Temos o núcleo como sendo a reta y = x, ou ainda, r: x - y. Assim, para todo elemento x e t, temos que a sua entrada gerará a transformação

\[T(x,y) = (ax - ay, bx - by)\]

Sendo a e b numeros quaisquer, que mudarão de acordo com a condição para a imagem.

---

Como a imagem será a reta y = 2x, quer dizer que para toda entrada y, sairá a correspondente 2x. Para a entrada x, nada muda. Assim, a nossa expressão do operador linear se torna

\[T(x,y) = (x - y, 2x - 2y)\]

Sendo definidos a = 1 e b = 2. Desta forma, para cada elemento da transformação, mantivemos seu formato inicial definido pelo núcleo, e somente para y, em T(x,y), estabelecemos a modificação prevista na condição da imagem.

---

A partir da aplicação do conceito de núcleo de transformação em operadores lineares, temos que a expressão do operador linear será \(\boxed{T(x, y) = (x - y, 2x - 2y)}\).