Achar os valores e os vetores próprios do operador T: R2 > R2 dado por:

a) T(x,y) = (x+y, x-y)

b) T (x,y) = (-x,-y)

c) T(1,0) = (0,-1) e T (0,1) = (1,0)

Álgebra Linear II

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CEFET/RJ

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luan bezamat

03/06/2019

💡 5 Respostas

Henrique Meneses

10.06.2019

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Andre Smaira

30.09.2019

a) Os valores e vetores próprios de T são os valores

\lambda

e os vetores

{\vec x}=\left( {x_1, x_2} \right)

tais que:

$T\left( {\vec x} \right) = \lambda \vec x$

Como $T\left( {1, 0} \right) = \left( {1 + 0, 1 - 0} \right) = \left( {1, 1} \right)$ e $T\left( {0, 1} \right) = \left( {0 + 1, 0 - 1} \right) = \left( {1, - 1} \right)$ , à transformação T está associada a matriz A:

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \\ 1&{ - 1} \end{array}} \right]$

Sendo X a representação matricial de ${\vec x}$ , é válido dizer que:

$AX = \lambda X$

Donde:

$det \left( {A - \lambda I} \right) = 0$

Em que $$I$$ é a matriz identidade 2x2.

Assim:

$\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \lambda }&1 \\ 1&{ - 1 - \lambda } \end{array}} \right| = \left( {1 - \lambda } \right)\left( { - 1 - \lambda } \right) - 1 = \left( {{\lambda ^2} - 1} \right) - 1 = 0$

$\lambda = \pm \sqrt 2$

Se

\lambda = \sqrt 2

, tem-se:

$\left( {A - \lambda I} \right)X = 0$

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \sqrt 2 }&1 \\ 1&{ - 1 - \sqrt 2 } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \end{array}} \right] \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {1 - \sqrt 2 } \right){x_1} + {x_2} = 0} \\ {{x_1} - \left( {1 + \sqrt 2 } \right){x_2} = 0} \end{array} \Rightarrow {x_1} = \left( {1 + \sqrt 2 } \right){x_2}} \right.$

Assim, o vetor próprio associado ao valor próprio $\lambda = \sqrt 2$ são os vetores não nulos da forma ${x_1}\left( {1 + \sqrt 2 , 1} \right)$ .

Se $\lambda = - \sqrt 2$ , tem-se:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + \sqrt 2 }&1 \\ 1&{ - 1 + \sqrt 2 } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \end{array}} \right] \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {1 + \sqrt 2 } \right){x_1} + {x_2} = 0} \\ {{x_1} - \left( {1 - \sqrt 2 } \right){x_2} = 0} \end{array} \Rightarrow {x_1} = \left( {1 - \sqrt 2 } \right){x_2}} \right.$

Assim, os vetores próprios associados ao valor próprio $\lambda = -\sqrt 2$ são os vetores não nulos da forma ${x_1}\left( {1 - \sqrt 2 , 1} \right)$ .

b)

$T\left( {1, 0} \right) = \left( { - 1, 0} \right)$

$T\left( {0, 1} \right) = \left( {0, - 1} \right)$

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0 \\ 0&{ - 1} \end{array}} \right]$

$\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 - \lambda }&0 \\ 0&{ - 1 - \lambda } \end{array}} \right| = {\left( { - 1 - \lambda } \right)^2} = 0$

$\lambda = - 1$

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \\ 0&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \end{array}} \right] \Rightarrow \left\{ {{\text{2 variáveis livres}}} \right.$

Assim, os vetores próprios associados ao valor próprio $\lambda = - 1$ são da forma

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \end{array}} \right] = {x_1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \end{array}} \right] + {x_2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \end{array}} \right]$

c)

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ { - 1}&0 \end{array}} \right]$

$\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - \lambda }&1 \\ { - 1}&{ - \lambda } \end{array}} \right| = {\lambda ^2} + 1 = 0$

Sendo T uma transformação linear num espaço vetorial ${\mathbb{R}^2}$ , não existe $\lambda \in \mathbb{R}$ . Assim, esta transformação não possui valores próprios nem vetores próprios.

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