Sejam v1 e v2 dois autovetores associados aos autovalores y1 e y2, respectivamente. Mostre que se y1 é distinto de y2 implica que {v1, v2) são L.I.

y = lambda

v = vetor

Álgebra Linear II

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CEFET/RJ

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luan bezamat

03/06/2019

💡 4 Respostas

Andre Smaira

30.09.2019

A Matemática como ciência antiga, possui diversas vertentes, das mais básicas até as complexas. Entretanto, para conseguir o entendimento dela, devemos ter sapiência dos seus conteúdos básicos, como a adição, subtração, divisão e multiplicação. A partir disso, a mistura desses assuntos resultam na Expressão Numérica, sendo que para resolver devemos obedecer a ordem: 1° Potência ou Raiz; 2° Divisão ou Multiplicação; 3° Adição e Subtração; assim como, a resolução deve começar pelos parênteses (), depois os colchetes [] e por último as chaves {}. A temática envolvendo matrizes é o estudo de um agrupamento de números, no qual é possível somar, subtrair, entre outras operações.

Empregaremos a seguinte equação para iniciar a demonstração

${a_1}{v_1} + {a_2}{v_2} + ... + {a_r}{v_r} = 0$

Multiplicando por 4, temos:

${a_1}({c_r}{v_1}) + {a_2}({c_r}{v_2}) + ... + {a_r}({c_r}{v_r}) = 0$

Por 5 e 6, temos:

${a_1}({c_1} - {c_r}){v_1} + {a_2}({c_2} - {c_r}){v_2} + ... + {a_r}({c_{r - 1}} - {c_r}){v_{r - 1}} = 0$

Pela hipótese de indução os vetores $\{ {v_1},{v_2},...{v_{r - 1}}\}$ , são linearmente independentes. Então se multiplicarmos por 7 teremos que ${a_j}({c_j} - {c_r}) = 0 \to 1 \le j \le r - 1$ . Devido os autovalores ${c_1},{c_2},...,{c_r}$ serem diferentes, se multiplicarmos por 8 temos que ${a_j} = 0 \to 1 \le j \le r - 1$ . Trocando tais valores na multiplicação por 4, teremos que ${a_r} = 0$ , assim como os vetores, tendo em vista que ${v_r} \ne 0$ . Desse modo, provamos que $\{ {v_1},{v_2},...{v_r}\}$ , são independentes.