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Determinar as equações da reta que passa pelo ponto ( 3,1) e tal que a distância desta reta ao ponto ( -1, 1) é igual a 2 √ 2 me ajudem, please


6 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Dado um ponto \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\)e uma reta \(ax + by + c = 0\) podemos determinar a distância entre o ponto e a reta por meio da seguinte expressão:


\[d = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]

Do enunciado, temos que \(\left( {{x_0},{y_0}} \right) = \left( { - 1,1} \right)\)e \(d = 2\sqrt 2\) Assim, substituindo na expressão anterior:


\[\eqalign{ 2\sqrt 2 &= \dfrac{{\left| {a \cdot \left( { - 1} \right) + b \cdot 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}&= \dfrac{{\left| { - a + b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} }\]

Do módulo, temos as possibilidades \(2\sqrt 2 = \dfrac{{ - a + b + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)e \(- 2\sqrt 2 = \dfrac{{ - a + b + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) Ainda do enunciado, temos que a reta passa pelo ponto \(\left( {3,1} \right)\) Assim, teremos a relação:


\[\eqalign{ a \cdot 3 + b \cdot 1 + c &= 0\cr 3a + b + c &= 0{\rm{ }}......\left( {\rm{1}} \right) }\]

Das duas possibilidades geradas pelo módulo, temos:


\[\eqalign{ {{ - a + b + c} \over {2\sqrt 2 }} &= {{ - a + b + c} \over { - 2\sqrt 2 }}\cr - a + b + c &= a - b - c\cr - 2a + 2b + 2c &= 0\cr - a + b + c &= 0\cr b + c &= a }\]

Substituindo em \(\left( {\require{text}\text{1}} \right)\) temos:


\[\eqalign{ 3a + a &= 0\cr 4a &= 0\cr a &= 0 }\]

Assim, como \(b + c = a\)e \(a = 0\) temos que \(b = - c\) Substituindo \(a=0\)e \(b=-c\)na equação da reta, encontramos:


\[\eqalign{ 0 \cdot x + \left( { - c} \right) \cdot y + c &= 0\cr - cy + c &= 0\cr y &= \dfrac{{ - c}}{{ - c}}\cr &= 1 }\]

Portanto, a equação da reta é \(\boxed{y = 1}\)

Dado um ponto \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\)e uma reta \(ax + by + c = 0\) podemos determinar a distância entre o ponto e a reta por meio da seguinte expressão:


\[d = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]

Do enunciado, temos que \(\left( {{x_0},{y_0}} \right) = \left( { - 1,1} \right)\)e \(d = 2\sqrt 2\) Assim, substituindo na expressão anterior:


\[\eqalign{ 2\sqrt 2 &= \dfrac{{\left| {a \cdot \left( { - 1} \right) + b \cdot 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}&= \dfrac{{\left| { - a + b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} }\]

Do módulo, temos as possibilidades \(2\sqrt 2 = \dfrac{{ - a + b + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)e \(- 2\sqrt 2 = \dfrac{{ - a + b + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) Ainda do enunciado, temos que a reta passa pelo ponto \(\left( {3,1} \right)\) Assim, teremos a relação:


\[\eqalign{ a \cdot 3 + b \cdot 1 + c &= 0\cr 3a + b + c &= 0{\rm{ }}......\left( {\rm{1}} \right) }\]

Das duas possibilidades geradas pelo módulo, temos:


\[\eqalign{ {{ - a + b + c} \over {2\sqrt 2 }} &= {{ - a + b + c} \over { - 2\sqrt 2 }}\cr - a + b + c &= a - b - c\cr - 2a + 2b + 2c &= 0\cr - a + b + c &= 0\cr b + c &= a }\]

Substituindo em \(\left( {\require{text}\text{1}} \right)\) temos:


\[\eqalign{ 3a + a &= 0\cr 4a &= 0\cr a &= 0 }\]

Assim, como \(b + c = a\)e \(a = 0\) temos que \(b = - c\) Substituindo \(a=0\)e \(b=-c\)na equação da reta, encontramos:


\[\eqalign{ 0 \cdot x + \left( { - c} \right) \cdot y + c &= 0\cr - cy + c &= 0\cr y &= \dfrac{{ - c}}{{ - c}}\cr &= 1 }\]

Portanto, a equação da reta é \(\boxed{y = 1}\)

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Mara Barbosa

Há mais de um mês

No youtube, tem um cara chamado Grings e ele ensina muito bem sobre isso. Dá uma olhadinha lá

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas