x² - 4y² + 6x + 24y - 31 = 0

A equação que você apresentou é uma equação do segundo grau em duas variáveis, x e y. Para resolvê-la, podemos utilizar o método de completar quadrados. Vamos começar agrupando os termos com x e os termos com y: x² + 6x - 4y² + 24y = 31 Agora, vamos completar o quadrado para o termo com x. Para isso, adicionamos o quadrado da metade do coeficiente de x, que é (6/2)² = 9, tanto do lado esquerdo quanto do lado direito da equação: x² + 6x + 9 - 9 - 4y² + 24y = 31 Agora, vamos completar o quadrado para o termo com y. Para isso, adicionamos o quadrado da metade do coeficiente de y, que é (24/2)² = 144, tanto do lado esquerdo quanto do lado direito da equação: x² + 6x + 9 - 9 - 4y² + 24y + 144 - 144 = 31 Simplificando a equação, temos: (x + 3)² - 4(y - 6)² = 31 + 9 - 144 (x + 3)² - 4(y - 6)² = -104 Agora, podemos dividir toda a equação por -104 para obter a forma padrão: (x + 3)²/-104 - 4(y - 6)²/-104 = -104/-104 (x + 3)²/104 - (y - 6)²/26 = 1 Portanto, a equação representa uma hipérbole com centro (-3, 6), eixo focal paralelo ao eixo x, e eixo transverso igual a 2√26.