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A solucao geral da edo 4y''+2y'-6y=5x-8 é

Cálculo III

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Ricardo Proba Verified user icon

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1) Solução homogênea (4yh'' + 2yh' - 6yh = 0): yh = Ke^(px) (K e p constantes)

-> 4yh'' + 2yh' - 6yh = 0

-> 2yh'' + yh' - 3yh = 0

-> 2(Ke^(px))'' + (Ke^(px))' - 3(Ke^(px)) = 0

-> 2p^2(Ke^(px)) + p(Ke^(px)) - 3(Ke^(px)) = 0

-> 2p^2 + p - 3 = 0

Bhaskara:

-> p = (-b +- sqrt(b^2 - 4ac))/2a

-> p = (-1 +- sqrt(1^2 - 4*2(-3)))/2*2

-> p = (-1 +- sqrt(25))/4

-> p = (-1 +- 5)/4 -> p1 = 1

-> p2 = -1,5

Então, a solução homogênea yh é:

-> yh = K1e^(p1x) + K2e^(p2x)

-> yh = K1e^(x) + K2e^(-1,5x), K1 e K2 constantes quaisquer

2) Solução particular (4yp'' + 2yp' - 6yp = 5x - 8): yp = Ax + B (A e B constantes)

-> 4yp'' + 2yp' - 6yp = 5x - 8

-> 2yp'' + yp' - 3yp = 5x/2 - 4

-> 2(Ax + B)'' + (Ax + B)' - 3(Ax + B) = 5x/2 - 4

-> 2*(0) + (A) - 3Ax - 3B = 5x/2 - 4

-> (A) - 3Ax - 3B = 5x/2 - 4

-> - 3Ax + A - 3B = 5x/2 - 4

Então: -> -3A = 5/2 -> A = -5/6

-> A - 3B = - 4

-> - 3B = - 4 - A

-> - 3B = - 4 + 5/6

-> - 3B = - 19/6

-> B = 19/18

Então, a solução particular é:

-> yp = Ax + B

-> yp = - 5x/6 + 19/18

Somando as soluções encontradas, a solução geral da edo é:

-> y = yh + yp

-> y = K1e^(x) + K2e^(-1,5x) - 5x/6 + 19/18, K1 e K2 constantes quaisquer

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1) Solução homogênea (4yh'' + 2yh' - 6yh = 0): yh = Ke^(px) (K e p constantes)

-> 4yh'' + 2yh' - 6yh = 0

-> 2yh'' + yh' - 3yh = 0

-> 2(Ke^(px))'' + (Ke^(px))' - 3(Ke^(px)) = 0

-> 2p^2(Ke^(px)) + p(Ke^(px)) - 3(Ke^(px)) = 0

-> 2p^2 + p - 3 = 0

Bhaskara:

-> p = (-b +- sqrt(b^2 - 4ac))/2a

-> p = (-1 +- sqrt(1^2 - 4*2(-3)))/2*2

-> p = (-1 +- sqrt(25))/4

-> p = (-1 +- 5)/4 -> p1 = 1

-> p2 = -1,5

Então, a solução homogênea yh é:

-> yh = K1e^(p1x) + K2e^(p2x)

-> yh = K1e^(x) + K2e^(-1,5x), K1 e K2 constantes quaisquer

2) Solução particular (4yp'' + 2yp' - 6yp = 5x - 8): yp = Ax + B (A e B constantes)

-> 4yp'' + 2yp' - 6yp = 5x - 8

-> 2yp'' + yp' - 3yp = 5x/2 - 4

-> 2(Ax + B)'' + (Ax + B)' - 3(Ax + B) = 5x/2 - 4

-> 2*(0) + (A) - 3Ax - 3B = 5x/2 - 4

-> (A) - 3Ax - 3B = 5x/2 - 4

-> - 3Ax + A - 3B = 5x/2 - 4

Então: -> -3A = 5/2 -> A = -5/6

-> A - 3B = - 4

-> - 3B = - 4 - A

-> - 3B = - 4 + 5/6

-> - 3B = - 19/6

-> B = 19/18

Então, a solução particular é:

-> yp = Ax + B

-> yp = - 5x/6 + 19/18

Somando as soluções encontradas, a solução geral da edo é:

-> y = yh + yp

-> y = K1e^(x) + K2e^(-1,5x) - 5x/6 + 19/18, K1 e K2 constantes quaisquer

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