]Determinar a solução geral da EDO 2x^2-10x+12=5x-8.

1) Solução homogênea (2xh'' - 10xh' + 12xh = 0): xh = K*exp(pt) (K e p constantes)

-> 2xh'' - 10xh' + 12xh = 0

-> xh'' - 5xh' + 6xh = 0

-> ( K*exp(pt) )'' - 5( K*exp(pt) )' + 6( K*exp(pt) ) = 0

-> p²( K*exp(pt) ) - 5p( K*exp(pt) ) + 6K*exp(pt) = 0

-> p² - 5p + 6 = 0

-> (p - 2)(p - 3) = 0

-> p1 = 2 ; p2 = 3

Então, a solução homogênea xh é:

-> xh = K1*exp(p1*t) + K2*exp(p2*t)

-> xh = K1*exp(2t) + K2*exp(3t) (I)

Onde K1 e K2 são constantes quaisquer.

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2) Solução particular (2xp'' - 10xp' + 12xp = 5t - 8): yp = At + B (A e B constantes)

-> 2xp'' - 10xp' + 12xp = 5t - 8

-> xp'' - 5xp' + 6xp = 5t/2 - 4

-> (At + B)'' - 5(At + B)' + 6(At + B) = 5t/2 - 4

-> (0) - 5(A) + 6At + 6B = 5t/2 - 4

-> - 5A + 6At + 6B = 5t/2 - 4

-> (6A)t + (6B - 5A) = 5t/2 - 4

Então, os valores de A e B são:

{ 6A = 5/2 -> { A = 5/12

{ 6B - 5A = -4 -> { B = (5A - 4)/6 = (5*5/12 - 4)/6 -> { B = - 23/72

Então, a solução particular é:

-> xp = At + B

-> xp = 5t/12 - 23/72 (II)

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3) Solução completa:

Somando as soluções encontradas, a solução geral da EDO é:

-> x = xh + xp

-> x = K1*exp(2t) + K2*exp(3t) + 5t/12 - 23/72

Onde K1 e K2 são constantes quaisquer.

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