Determine a representação gráfica e calcule a área da região limitada por y = tg^3x, y = 1 e x = 0.

O valor de x correspondente à interseção de y = (tgx)^3 e y = 1 é:

-> tgx = 1

-> x = π/4 (Primeiro quadrante)

Então, conhecendo o limite x = 0, os limites de x são:

-> 0 ≤ x ≤ π/4

Então, a área da região é:

-> A = ∫ dA

-> A = ∫ dy dx

-> A = ∫ [y] dx

-> A = ∫ [ 1 - (tgx)^3 ] dx

-> A = ∫ dx - ∫ (tgx)^3 dx

-> A = ∫ dx - ∫ tgx*(tgx)^2 dx

-> A = ∫ dx - ∫ tgx*[ (secx)^2 - 1 ] dx

-> A = ∫ dx - ∫ [ tgx(secx)^2 - tgx ] dx

-> A = ∫ dx - ∫ tgx(secx)^2 dx + ∫ tgx dx

-> A = ∫ dx - ∫ tgx(secx)^2 dx + ∫ senx/cosx dx

Aplicando as substituições u = tgx e v = cosx, tem-se du = (secx)^2 dx e dv = -senx dx. Então, a integral fica da seguinte forma:

-> A = ∫ dx - ∫ tgx(secx)^2 dx + ∫ senx/cosx dx

-> A = ∫ dx - ∫ u du - ∫ dv/v

-> A = x - u^2/2 - ln|v|

-> A = x - (tgx)^2/2 - ln|cosx|

Com 0 ≤ x ≤ π/4:

-> A = [ π/4 - (tgπ/4)^2/2 - ln|cosπ/4| ] - [ 0 - (tg0)^2/2 - ln|cos0| ]

-> A = [ π/4 - (1)^2/2 - ln|1/√2| ] - [ 0 - (0)^2/2 - ln|1| ]

-> A = [ π/4 - 1/2 + ln|√2| ] - [ 0 - 0 - 0 ]

-> A = π/4 - 1/2 + ln|√2|

-> A = 0,632

Se gostou, dá um joinha!