esboce o gráfico da curva de equação parametrizada r(t)= (t, cos 2t, sen 2t) . Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce

Vamos estudar a curva r(t)=(t, cos2t, sen2t).

Primeiro, é necessário analisar como varia cada um dos eixos (x, y, z):

x(t) = t; y(t)=cost(2t); z(t)= sen(2t)

Perceba que é possível relacionar y e z utilizando a equação fundamental da trigonometria, a qual nos garante que sen^x+cos^x=1. Deste modo, no plano yz já sabemos que teremos um circunferência (sempre que aparece senos e cossenos é um forte indicativo de que temos um circunferência ou uma elipse em algum dos planos).

Além disso, a coordenada x varia com t, perceba que sua derivada vale: x'(t)=1. Interpretando a derivada como a taxa de variação da função em x, deduzimos que a função varia com velocidade constante no eixo x, pois x'(t)=1 (varia com velocidade igual a 1).

Conclusão: a função deve se assemelhar a uma fita de DNA, formando uma circunferências no plano yz e subindo com velocidade constante no eixo x.

Utilizei o geogebra 3d para fazer o gráfico. Note a circunferência no plano yz e o crescimento constante da função no eixo x, conforme analisado.