Determine o volume do sólido delimitado por f(x,y) = xy^2 sobre o quarto de círculo de raio 1 no primeiro quadrante do plano cartesiaNO

Primeiro quadrante: x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

Limites de z: de z = 0 até z = f(x,y) = xy^2

-> 0 ≤ z ≤ xy^2

Integral volumétrica:

-> V = ∫∫∫ dV

-> V = ∫∫∫ dz dA

-> V = ∫∫ (z) dA

-> V = ∫∫ (xy^2 - 0) dA

-> V = ∫∫ xy^2 dA

Região A: círculo de raio 1 no primeiro quadrante. Usando coordenadas polares, tem-se x = rcosθ, y = rsenθ, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/2 e dA = r dr dθ. Portanto, a integral fica da seguinte forma:

-> V = ∫∫ xy^2 dA

-> V = ∫∫ rcosθ(rsenθ)^2 r dr dθ

-> V = ∫∫ rcosθ r^2 (senθ)^2 r dr dθ

-> V = ∫∫ r^4 cosθ(senθ)^2 dr dθ

-> V = ∫ r^4 dr ∫ (senθ)^2 cosθ dθ

-> V = (r^5/5) ∫ (senθ)^2 cosθ dθ

-> V = (1^5/5 - 0^5/5) ∫ (senθ)^2 cosθ dθ

-> V = 1/5 ∫ (senθ)^2 cosθ dθ

Com u = senθ, tem-se du = cosθ dθ. Substituindo em V:

-> V = 1/5 ∫ (senθ)^2 cosθ dθ

-> V = 1/5 ∫ (u)^2 du

-> V = 1/5 (u^3/3)

-> V = 1/15 (u^3)

-> V = 1/15 [ (senθ)^3 ]

-> V = 1/15 [ (senπ/2)^3 - (sen0)^3 ]

-> V = 1/15 [ (1)^3 - (0)^3 ]

-> V = 1/15 [ 1 ]

-> V = 1/15

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