Determine o ângulo ø que a reta r1 X = -2t -2 , Y = -2t + 3 , Z = -4t - 1 Forma com o plano π: 5x+4y+4z+22=0

Reta r1:

{ x = -2t - 2

{ y = -2t + 3

{ z = -4t - 1

A reta r1 passa pelo ponto P(-2, 3, -1) e possui vetor diretor u = (-2, -2, -4). O módulo do vetor u é:

-> | u | = √[ (-2)² + (-2)² + (-4)² ]

-> | u | = √[ 4 + 4 + 16 ]

-> | u | = √24

-> | u | = 2√6

O plano π, cuja equação é 5x + 4y + 4z + 22 = 0, possui vetor normal n = (5, 4, 4). O módulo do vetor n é:

-> | n | = √[ 5² + 4² + 4² ]

-> | n | = √[ 25 + 16 + 16 ]

-> | n | = √57

Sendo α o ângulo entre u = (-2, -2, -4) e n = (5, 4, 4), seu valor é:

-> cosα = u.v / ( | u |.| n | )

-> cosα = (-2, -2, -4).(5, 4, 4) / ( 2√6.√57 )

-> cosα = (-2.5 - 2.4 - 4.4) / ( 2√6.√57 )

-> cosα = (-10 - 8 - 16) / ( 2√342 )

-> cosα = - 34 / ( 2√342 )

-> cosα = - 0,92

-> α = arccos(- 0,92)

-> α = 156,82°

O ângulo α é o ângulo entre os vetores u (paralela à reta r1) e n (normal ao plano). Como o vetor n é normal ao plano π, o ângulo ø entre a reta e o plano é igual a:

-> ø + 90° = α

-> ø = α - 90°

-> ø = 156,82° - 90°

-> ø = 66,82°

Solução: ø = 66,82°.

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