(EEM – SP) Uma função satisfaz a relação f(2x) = 2f(x) + f(2) para qualquer valor real de x. Sabendo-se que f(4) = 6, calcule f(16).

Inicialmente vamos tentar visualizar f(4) em f(2x) = 2f(x) + f(2). Para tanto, podemos fazer x = 2 e teremos:

f(2x) = 2.f(x) + f(2)

f(2.2) = 2.f(2) + f(2)

f(4) = 3.f(2)

Mas sabemos que f(4) = 6, logo:

f(4) = 3.f(2)

6 = 3.f(2)

f(2) = 6

     3

f(2) = 2

Faremos agora x = 4 para que tenhamos o valor de f(8):

f(2x) = 2.f(x) + f(2)

f(2.4) = 2.f(4) + f(2)

f(8) = 2.6 + 2

f(8) = 12 + 2

f(8) = 14

Por fim, utilizaremos x = 8 para que encontremos o valor de f(16):

f(2x) = 2.f(x) + f(2)

f(2.8) = 2.f(8) + f(2)

f(16) = 2.14 + 2

f(16) = 28 + 2

f(16) = 30

Portanto, f(16) = 30.