Aula 02 - Equações Exatas, de 1ª Ordem e de Bernoulli

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8. EQUAÇÃO DE PRIMEIRA ORDEM 
HOMOGÊNEA. 
 
 Uma equação diferencial de primeira ordem da 
forma ' ( , )y f x y é denominada homogênea se: 
( , ) ( , )f tx ty f x y , t  
 
Exemplo 8.1. Verificar se as equações abaixo são 
homogêneas. 
a) '
y x
y
x

 b) 
2
3
'
y x
y
x

 
 
 Para resolver este tipo de equação, fazemos a 
substituição y xv , onde v é uma função de x , para 
transformar a equação a uma de variáveis separáveis. A 
solução da equação homogênea se dá mediante volta à 
variável original. 
 
Exemplo 8.2. Resolver as equações diferenciais abaixo. 
a) A equação do Exemplo 8.1(a). 
b) 
4 4
3
2
'
y x
y
xy

 . 
 
9. EQUAÇÃO DIFERENCIAL EXATA. 
 
 Uma equação diferencial da forma: 
 ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy  (**) 
é exata se existe uma função ( , )g x y tal que: 
( , ) ( , )dg M x y dx N x y dy  
 
Teorema. Se ( , )M x y e ( , )N x y são funções 
contínuas com derivadas parciais primeiras em 
2
, então 
a equação (**) é exata se, e somente se, 
 
( , ) ( , )M x y N x y
y x
 

 
 
 
Exemplo 9.1. A equação 
22 (1 ) 0xydx x dy   é 
exata. 
 
 Para resolver uma equação exata, temos que 
resolver inicialmente as equações: 
( , )
( , )
g x y
M x y
x



 
( , )
( , )
g x y
N x y
y



 
em relação à ( , )g x y . A solução de (**) será 
implicitamente dada por ( , )g x y c . 
 
Exemplo 9.2. Resolver as equações diferenciais 
abaixo. 
a) A equação do Exemplo 9.1. 
b) ( sen ) ( cos 2 ) 0x y dx x y y dy    
10. FATOR INTEGRANTE. 
 
Em geral, a equação diferencial: 
 ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy  (*) 
não é exata, porém multiplicando-a por um fator 
adequado, ela pode se tornar exata. 
 
A função ( , )I x y é denominada um fator 
integrante de (*) quando a equação: 
( , )[ ( , ) ( , ) ] 0I x y M x y dx N x y dy  
for exata. 
 
Exemplo 10.1. Mostre que as funções 
1 2
1
( , )I x y
x
  e 
2
1
( , )I x y
xy
  são fatores integrantes da equação: 
0ydx xdy  
 
Depois que (*) se torna exata, pode ser resolvida 
pelo processo estudado na seção precedente. Veremos 
agora como determinar um fator integrante ( , )I x y . 
 
• Se 
1
( )
M N
g x
N y x
  
  
  
, ou seja, é uma função 
que depende apenas de x , então: 
 
( )
( )
g x dx
I x e 
 
Exemplo 10.2. Resolver as equações diferenciais abaixo. 
a) ' 2y xy x  . 
b) 
2 2( ) 0x y x dx xydy    . 
 
• Se 
1
( )
M N
h y
M y x
  
  
  
, ou seja, é uma função 
que depende apenas de y , então: 
 
( )
( )
h y dy
I y e
 
 
Exemplo 10.3. Resolver as equações diferenciais abaixo. 
a) 
2 0y dx xydy  . 
b) 
4 3 2 4 2 2
(2 2 ) ( 3 ) 0
y y
xy e xy y dx x y e x y x dy     
 
• Se 0xM yN  , então: 
 
1
( , )I x y
xM yN


 
é um fator de integração de uma equação homogênea. 
 
Exemplo 10.4. Resolver a equação diferencial abaixo. 
4 4 3( ) 0x y dx xy dy   . 
 
 
 
2 
11. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES 
DE PRIMEIRA ORDEM. 
 
 Uma equação diferencial linear de 1ª ordem é 
da forma: 
 ' ( ) ( )y p x y q x  
 
Um fator integrante para esta equação é: 
 
( )
( , )
p x dx
I x y e 
Observe que este fator não depende de y . Após 
multiplicar a equação pelo fator integrante, podemos 
resolver a equação dada como uma equação exata ou por 
meio da fórmula: 
 
( )( )
( )
p x dxp x dx
y e q x e c
    
 
 
 
Exemplo 11.1. Resolver a equação 4
4
'y y x
x
  . 
 
Exemplo 11.2. Resolver o problema de valor inicial 
' seny y x  e (π) 1y  . 
 
Consideremos um corpo de massa m em queda 
vertical influenciada pela gravidade g e pela resistência 
do ar proporcional à velocidade do corpo. Admitamos 
que a gravidade e a massa permaneçam constantes e, por 
conveniência, escolhamos o sentido para baixo como 
sendo positivo. De acordo com a 2ª lei de Newton do 
movimento, temos: 
 
dv
F m
dt
 
onde F é a força resultante que atua sobre o corpo e v é 
a velocidade no instante t . Notemos que há duas foças 
atuando sobre o corpo: a gravidade, dada pelo peso do 
corpo ( )P mg e a resistência do ar igual a , 0kv k  . 
O sinal negativo indica que esta força atua “para cima”, 
que é o sentido contrário do movimento do corpo. 
Portanto, temos que: 
 
dv k
v g
dt m
  
é a equação do movimento do corpo. 
 
Exemplo 11.3. Um bote está sendo rebocado a uma 
velocidade de 6 m/s. No instante em que o cabo do 
reboque é largado, um homem no bote começa a remar 
no sentido do movimento, exercendo uma força de 10 N. 
Sabendo que o peso do homem e do bote é de 200 N e 
que a resistência ao deslocamento, em N, é de 2,6 v , 
sendo v a velocidade em m/s, achar a velocidade do bote 
no fim de meio minuto. Sendo g  10 m/s2. 
 
Exemplo 11.4. Uma certa massa está sendo levada em 
um trenó, sendo o peso total de 400N. Desprezando a 
resistência oferecida pelo gelo e sabendo que a resistência 
do ar, em newtons é de 7,5 vezes a velocidade v , em 
m/s, do trenó, achar: 
a) A força constante que atuando no trenó dará 
velocidade máxima limite de 10 km/h 
b) A velocidade e a distância percorrida no fim 48 
segundos. (Considere 10g  m/s²) 
 
12. EQUAÇÃO DE BERNOULLI. 
 
Denomina-se equação de Bernoulli aquela que 
é da forma: 
 ' ( ) ( )ny p x y y q x  
onde 0n  e constante. Observe que esta equação não 
é linear. A fim de transformar a equação de Bernoulli em 
uma linear, deve-se: 
• Dividir a equação por 
ny . 
• Fazer a substituição 
1 ny v  e, pela Regra da 
Cadeia, 
1
' '
1
ny y v
n
 

. 
 
Exemplo 12.1. Resolver as equações diferenciais abaixo. 
a) 3 4x
dy
y e y
dx
  . 
b) 2(cos sen )
dy
y y x x
dx
   
 
13. OUTRAS SUBSTITUIÇÕES. 
 
 Com substituições convenientes podemos 
transformar equações mais difíceis em outras cuja solução 
recai nas equações que já estudamos. Às vezes a 
substituição não é tão evidente. 
 
Exemplo 13.1. Resolver as seguintes equações 
diferenciais. 
a) (1 2 ) (1 2 ) 0y xy dx x xy dy    . 
b) 22 2 3 6
dy
xy y x
dx
   . 
c) 
2" 2 ( ')y x y . 
 
Lista de Exercícios: Guidorizzi, Volume 4 
• Equação Homogênea: Todas as questões, Seção 
10.6. 
• Equação Exata: Questões 1, 2 e 4, Seção 10.8. 
• Fator Integrante: Questões 1, 3, 4, 5, 6, 7, 12 
(opcional) e 13, Seção 10.9. 
• Equação de 1ª Ordem: Questões de 1 a 8, (5 e 6 são 
opcionais) e 13, Seção 10.4. 
• Equação de Bernoulli: Todas as questões, Seção 
10.5.