Cálculo Diferencial e Integral

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a 
xi uma vez que admitamos todas as outras variáveis constantes". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
 
 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que 
apresenta o valor das derivadas parciais, ao calcular a 
função f(x,y,z)=3x+5y−6zf(x,y,z)=3x+5y−6z: 
Nota: 10.0 
 
A fx=3;fy=5;fz=−6fx=3;fy=5;fz=−6 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. Então as derivadas parciais 
de f(x,y,z)=3x+5y−6zf(x,y,z)=3x+5y−6z são: 
 
fx=3fx=3 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo xx. 
fy=5fy=5 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo yy. 
fz=−6fz=−6 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo zz. 
 
(livro-base, p. 80). 
 
B fx=−3;fy=−5;fz=−5fx=−3;fy=−5;fz=−5 
 
C fx=5;fy=3;fz=−6fx=5;fy=3;fz=−6 
 
D fx=6;fy=5;fz=−3fx=6;fy=5;fz=−3 
 
E fx=−6;fy=5;fz=3fx=−6;fy=5;fz=3 
 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"No espaço Rn, n-dimensional estabelecemos as n-relações representadas por valores 
de conjunto domínio de uma função Dm((f)Dm((f), expresso por 
(x1,x2,...,xn)(x1,x2,...,xn), com respectiva imagem da função Im(f)Im(f) expressa por 
f(x1,x2,...,xn).f(x1,x2,...,xn)." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 76. 
 
Considerando o trecho de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo 
Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a 
função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1|f(x,y,z)=x2+y2|z−1| com 
domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}, identifique a 
alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z)f(x,y,z) no ponto (2,3,5)(2,3,5): 
Nota: 10.0 
 
A 132132 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para encontrar o valor de f deve-se substituir os valores de x,y e z por 2,3 e 5 respectivamente na função. Assim teremos: 
 
f(2,3,5)=22+32|√5−1|=4+9|√4|=132.f(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132. 
 
(Livro-base, p.76). 
 
B 145145 
 
C 133133 
 
D 115115 
 
E 154154 
 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
Se uma função f é contínua e derivável no intervalo fechado [a,b], é possível 
determinar o comprimento do arco da curva C, de a até b. Lembrando que a fórmula 
utilizada é C=∫ba√1+[f′(x)]2dxC=∫ab1+[f′(x)]2dx. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e 
Integral a Várias Variáveis e a função f(x)=2x−8f(x)=2x−8, identifique a alternativa 
correta que apresenta o comprimento do arco da curva dada por ff no intervalo 
fechado [0,2][0,2]: 
Nota: 10.0 
 
A 2√5u.c.25u.c. 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois aplicando a fórmula para calcular o comprimento da curva, teremos: 
 
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+22dx=∫20√5dx=2√5u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+22dx=∫025dx=25u.c. 
 
 
(Livro-base, p. 21-24). 
 
B 3√5u.c.35u.c. 
 
C 4√u.c.4u.c. 
 
D 5√8u.c.58u.c. 
 
E 6√u.c.6u.c. 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o extrato de texto a seguir: 
 
"A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a 
xi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
 
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que 
corresponde às derivadas parciais da 
função: f(x,y)=x2y2−3xy−13.f(x,y)=x2y2−3xy−13. 
Nota: 0.0 
 
A ∂f∂x=2xy2−3y+13 e ∂f∂y=2x2y−3x+13.∂f∂x=2xy2−3y+13 e ∂f∂y=2x2y−3x+13. 
 
B ∂f∂x=2y2−3y e ∂f∂y=2y−3.∂f∂x=2y2−3y e ∂f∂y=2y−3. 
 
C ∂f∂x=2xy2+3y e ∂f∂y=2x2y+3x.∂f∂x=2xy2+3y e ∂f∂y=2x2y+3x. 
 
D ∂f∂x=2x−3y e ∂f∂y=2y−3x.∂f∂x=2x−3y e ∂f∂y=2y−3x. 
 
E ∂f∂x=2xy2−3y e ∂f∂y=2x2y−3x.∂f∂x=2xy2−3y e ∂f∂y=2x2y−3x. 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. Assim, 
 
∂∂x(x2y2−3xy+13)=2xy2−3ye∂∂y(x2y2−3xy+13)=2x2y−3x.∂∂x(x2y2−3xy+13)=2xy2−3ye∂∂y(x2y2−3xy+13)=2x2y−3x. 
(livro-base, p. 80). 
 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o extrato de texto a seguir: 
 
"[Em integrais repetidas] na intenção de 
calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente 
integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de 
integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na 
quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade 
posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes 
de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 46.. 
 
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta 
o valor da integral repetida ∫21∫102xydydx∫12∫012xydydx: 
Nota: 10.0 
 
A 11 
 
B 3232 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então, 
∫21∫102xydydx=2∫21x[∫10ydy]dx=2∫21x[y22]10dx=2∫21x[122−022]dx=2∫21x12dx=∫21xdx=x22∣∣∣21222−12242−12=32∫12∫012xydydx=2∫12x[∫01ydy]dx=2∫12x[y22]01dx=2∫12x[122−022]dx=2∫12x12dx=∫12xdx=x22|12222−12242−12=32 
 
(Livro-base p. 43-47). 
 
C 1212 
 
D 5252 
 
E 7272 
 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho de texto a seguir: 
"Uma sequência numérica é usada em linguagem corrente para dar significado a uma 
sucessão de objetos e coisas que estão dispostos em ordem definida. Os números 
também são expressos em sequências que podem ser de algarismos pares, ímpares, 
decimais ou com um valor incremental [...]". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 101. 
 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que 
apresenta a lei de formação da sequência dos números pares positivos (n), 
considerando que n é um número natural diferente de zero: 
Nota: 10.0 
 
A an=2n 
Você acertou! 
Comentário: A sequência dos números pares positivos é 2, 4, 6, 8, 10, .... 
Como n começa em 2, pelo enunciado, 
para a alternativa b) teremos 2.1+1 = 3 (o primeiro número par positivo é 2); 
para a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2, 2+1=3 (o segundo número par é 4); 
para alternativa d) teremos 2.1-1 = 1 (o primeiro número par é 2); 
para a alternativa e) teremos 1-1=0 (o primeiro número par é 2); 
 
Para a alternativa a), a correta, temos: 2.1=2, 2.2=4, 2.3=6, 2.4=8,... continuando assim a sequência para n natural diferente de zero. Desta forma, obtemos a sequênciados números 
pares. 
 
(livro-base, p. 101). 
 
B an=2n+1 
 
C an=n+1 
 
D an=2n-1 
 
E an=n-1 
 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
Seja f uma função de duas variáveis x e y, diferenciável num ponto (x0,y0)(x0,y0) do 
domínio, e sejam as funções dadas por x(t)x(t) e y(t)y(t) diferenciáveis em t0t0, de modo 
que x(t0)=x0x(t0)=x0 e y(t0)=y0y(t0)=y0, então a função FF composta por ff com xx e yy é 
tal que: 
dFdt=dfdx⋅(x0,y0)⋅dxdt(t0)+dfdy⋅(x0,y0)⋅dydt(t0)dFdt=dfdx⋅(x0,y0)⋅dxdt(t0)+dfdy⋅(
x0,y0)⋅dydt(t0). 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e 
integral de várias variáveis e 
a função z=x3−4x2y+xy2−y3+1,z=x3−4x2y+xy2−y3+1, onde x=sentx=sent e y=co
st.y=cost., assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de zz em relação à 
variável tt: 
Nota: 10.0 
 
A dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent. 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois pela Regra da Cadeia, como xx e yy estão em função de tt, temos 
dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt.dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt. Portanto, dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(−4x2+2xy−3y2)(−sent)=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(−4x2+2xy−3y2)(−sent)=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent. 
 
 
(livro-base, p. 79) 
 
B dzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sentdzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sent 
 
C dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)costdzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)cos⁡t 
 
D dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent.dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent. 
 
E dzdt=(3x2−8xy+y2)costdzdt=(3x2−8xy+y2)cost 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"Na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente 
integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração 
g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade 
∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos quantidade posterior em 
relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração 
cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 46. 
 
 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis, dada a integral a dupla 
∫2−1∫20x2y3dydx∫−12∫02x2y3dydx , identifique a alternativa correta que apresenta o 
valor correspondente às integrais: 
Nota: 10.0 
 
A 6 
 
B 10 
 
C 12 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme cálculo a seguir: 
 
 
∫2−1∫20x2y3dydx==∫2−1x2∫20y3dydx=∫2−1x2⋅[y44]20dx=∫2−1x2⋅[244−044]20dx=∫2−1x2⋅[4−0]dx=∫2−14x2dx=4⋅[x33]2−1=4⋅[233−(−1)33]==4⋅93==12∫−12∫02x2y3dydx==∫−12x2∫02y3dydx=∫−12x2⋅[y44]02dx=∫−12x2⋅[244−044]02dx=∫−12x2⋅[4−0]dx=∫−124x2dx=4⋅[x33]−12=4⋅[233−(−1)33]==4⋅93==12 
 
(livro-base, p. 43-72). 
 
D 15 
 
E 16 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
No espaço tridimensional, estabelecemos três relações representadas por valores do 
conjunto domínio Dm(f), expresso por (x,y,z), com respectiva imagem Im(f) expressa 
pela função f(x,y,z). 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considere o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de 
várias variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1|f(x,y,z)=x2+y2|z−1| com 
domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}. Agora, assinale a 
alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z)f(x,y,z) no ponto (2,3,5)(2,3,5): 
Nota: 10.0 
 
A 132132 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme a seguinte solução: substituindo os valores de x, y e z em f(x,y,z) temos: 
 
f(2,3,5)=22+32|√5−1|=4+9|√4|=132.f(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132. 
 
(livro-base, p. 77). 
 
B 145145 
 
C 133133 
 
D 115115 
 
E 154154 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o extrato de texto a seguir: 
 
"[Em integrais repetidas] na intenção de 
calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente 
integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de 
integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na 
quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade 
posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes 
de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 46. 
 
 
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o 
valor da integral repetida ∫20∫20yzdzdy∫02∫02yzdzdy: 
Nota: 10.0 
 
A 0 
 
B 2 
 
C 4 
Você acertou! 
Comentário: Para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então, 
∫20∫20yzdzdy=∫20y[∫20zdz]dy=∫20y[z22]20dy=∫20y[222−022]dy=∫20y2dy=2∫20ydy=2y22∣∣∣20=2[222−022]=2⋅2=4∫02∫02yzdzdy=∫02y[∫02zdz]dy=∫02y[z22]02dy=∫02y[222−022]dy=∫02y2dy=2∫02ydy=2y22|02=2[222−022]=2⋅2=4 
 
(livro-base, p. 43-47). 
 
 
D 8 
 
E 16