prova calculo diferencial e integral II (2)

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Nota: 90
Disciplina(s):
Analise o seguinte problema:
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado por x1,x2x1,x2 e x3x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada por C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x2+3x3C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x2+3x3. Supondo que a empresa fabrica 3 unidades do primeiro produto, x1x1, uma unidade do segundo produto, x2x2, e quatro unidades do terceiro produto, x3.x3..
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 75-76.
Com base nos conteúdos estudados no RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, a alternativa que indica o valor correto para o custo de fabricação destes três produtos é dado por:
Nota: 10.0
	
	A
	
	120
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.)
	
	B
	
	150
	
	C
	
	180
	
	D
	
	200
	
	E
	
	220
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
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2x0,5x
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a função vetorial ⃗F(x,y,z)=2x2y^i+2yz^j+4xyz2^zF→(x,y,z)=2x2yi^+2yzj^+4xyz2z^, o divergente de ⃗FF→ é
Nota: 10.0
	
	A
	
	∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz.
	
	B
	
	∇⋅⃗F(x,y,z)=8xy+2z+4xyz.∇⋅F→(x,y,z)=8xy+2z+4xyz.
	
	C
	
	∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz.
	
	D
	
	∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy+2z+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=4xy+2z+8xyz.
Você assinalou essa alternativa (D)
Você acertou!
Observamos que ∇⋅⃗F(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z),∇⋅F→(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z), onde F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2.F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2. Logo,
∇⋅⃗F(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz.    (livro-base, 155-156)
	
	E
	
	∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz.
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
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2x0,5x
Leia o texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, calcule o valor da integral de linha I=∫Cyzdx+xzdy+xydzI=∫Cyzdx+xzdy+xydz dadas as equações paramétricas ⎧⎨⎩x=2ty=t+1z=4t+2{x=2ty=t+1z=4t+2com 0≤t≤10≤t≤1 e assinale a alternativa que corresponde a esse valor.
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	
	-12
	
	B
	
	24
Solução:
Fazendo as substituições x=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dtx=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dt na integral de linha, temos
I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)∣∣∣10=8+12+4=24.I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)|01=8+12+4=24.
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016.  p.153 a p.155
	
	C
	
	15
Você assinalou essa alternativa (C)
	
	D
	
	-20
	
	E
	
	30
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
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2x0,5x
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
O gráfico abaixo representa a área da região RR limitada pela curva y=x2y=x2 e pela reta xx. 
Considerando o texto acima e os conteúdos explorados no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que determina a área delimitada pela curva e pela reta do gráfico acima.
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	
	B
	
	
	
	C
	
	1
	
	D
	
	2
	
	E
	
	
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
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Leia o texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Considerando o texto acima e utilizando as técnicas de integração aprendidas ao longo da Videoaula "Exercícios" - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05 e do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que apresenta o valor correto de 
I.I.
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy.
Nota: 10.0
	
	A
	
	1212
	
	B
	
	3232
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Solução:
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy=∫02(x44+yx22)|x=0x=1dy=∫02(14+y2)dyI=(y4+y24)|02=(24+224)=64=32.
Fonte: Videoaula Exercícios - videoaula 2 - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05, 03'10 até 04'27 | e Livro-Base, p. 54-59.
	
	C
	
	5252
	
	D
	
	7272
	
	E
	
	9292
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
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Leia a seguinte passagem de texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por:
   
Nota: 10.0
	
	A
	
	6
	
	B
	
	10
	
	C
	
	12
Você assinalou essa alternativa (C)
Você acertou!
	
	D
	
	15
	
	E
	
	16
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
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Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a alternativa que corresponde ao valor da área da região R limitada pelas curvas y=x2y=x2 e y=√xy=x, do gráfico a seguir, é
Nota: 10.0
	
	A
	
	13u.a.13u.a.
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Solução:
A=∫10∫√xx2dydx=∫10y∣∣∣√xx2dx=∫10(√x−x2)dx=23x3/2−x33∣∣∣10=23−13=13u.a.A=∫01∫x2xdydx=∫01y|x2xdx=∫01(x−x2)dx=23x3/2−x33|01=23−13=13u.a.
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. p. 54-59
	
	B
	
	23u.a.23u.a.
	
	C
	
	43u.a.43u.a.
	
	D
	
	53u.a.53u.a.
	
	E
	
	73u.a.73u.a.
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
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2x0,5x
Leia a seguinte passagem de texto:
O uso de funções de várias variáveis permite modelar situações problema nos quais uma variável é afetada pelo comportamento de uma infinidade de outras variáveis. Entretanto, para o uso adequado dessa ferramenta é necessário aprender a calcular o valor de uma função de várias variáveis em um determinado ponto.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Seja AA um conjunto definido no espaço quadridimensional R4R4 e, a função f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2, que associa a quádrupla ordenada de números reais à soma de seus quadrados. 
Considerando o texto e os conteúdos discutidos no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, a alternativaque indica o valor correto de f(1,2,3,4)f(1,2,3,4) é:
Nota: 10.0
	
	A
	
	16
	
	B
	
	25
	
	C
	
	30
Você assinalou essa alternativa (C)
Você acertou!
f(1,2,3,4) = 1² + 2² + 3² + 4² = 1+ 4 + 9 + 16 = 30 
 livro-base:  p. 75-76
	
	D
	
	36
	
	E
	
	40
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
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2x0,5x
Leia o texto a seguir:
A integração definida permite, além de calcular o valor total de grandezas físicas, calcular a área de uma região específica definida por um determinado conjunto de curvas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=4xy=4x, no intervalo fechado [0,2][0,2], em torno do eixo das abscissas é dada por:
Nota: 10.0
	
	A
	
	16ππ
	
	B
	
	16ππ√1717 u.a.
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.)
	
	C
	
	√1717 u.a.
	
	D
	
	√17π17π u.a.
	
	E
	
	2√17217 u.a.
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
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2x0,5x
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, considere a área AA da região do primeiro quadrante limitada pela parábola y=x2y=x2, pelo eixo yy e pela reta y=4y=4. É correto afirmar que
Nota: 10.0
	
	A
	
	A=∫40∫√y0dxdy=163u.a.A=∫04∫0ydxdy=163u.a.
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Um esboço desta região é apresentado abaixo:
Note que esta região pode ser descrita como R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 0≤x≤√y}.R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 0≤x≤y}. Assim, 
A=∫40∫√y0dxdy=∫40(∫√y0dx)dy=∫40√ydy=[23√y3]∣∣∣40=163u.a.A=∫04∫0ydxdy=∫04(∫0ydx)dy=∫04ydy=[23y3]|04=163u.a.            (livro-base p. 54-59)
	
	B
	
	A=∫40∫√y0dydx=165u.a.A=∫04∫0ydydx=165u.a.
	
	C
	
	A=∫40∫√y0dxdy=165u.a.A=∫04∫0ydxdy=165u.a.
	
	D
	
	A=∫40∫√y0dydx=65u.a.A=∫04∫0ydydx=65u.a.
	
	E
	
	A=∫40∫√y0dxdy=67u.a.A=∫04∫0ydxdy=67u.a.
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