Cálculo Diferencial Integral

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"[Em integrais repetidas] na intenção de 
calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente 
integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de 
integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na 
quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade 
posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes 
de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 46. 
 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta 
o valor da integral repetida ∫21∫21xydydx∫12∫12xydydx: 
Nota: 10.0 
 
A 9494 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então, 
∫21∫21xydydx=∫21x[∫21ydy]dx=∫21x[y22]21dx=∫21x[222−122]dx=∫21x32dx=32∫21xdx=32x22∣∣∣21=32[222−122]=32⋅32=94∫12∫12xydydx=∫12x[∫12ydy]dx=∫12x[y22]12dx=∫12x[222−122]dx=∫12x32dx=32∫12xdx=32x22|12=32[222−122]=32⋅32=94 
 
(Livro-base p. 43-47). 
 
B 1212 
 
C 7474 
 
D 3434 
 
E 7272 
 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"Na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente 
integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração 
g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade 
∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos quantidade posterior em 
relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração 
cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 46. 
 
 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis, dada a integral a dupla 
∫2−1∫20x2y3dydx∫−12∫02x2y3dydx , identifique a alternativa correta que apresenta o 
valor correspondente às integrais: 
Nota: 10.0 
 
A 6 
 
B 10 
 
C 12 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme cálculo a seguir: 
 
 
∫2−1∫20x2y3dydx==∫2−1x2∫20y3dydx=∫2−1x2⋅[y44]20dx=∫2−1x2⋅[244−044]20dx=∫2−1x2⋅[4−0]dx=∫2−14x2dx=4⋅[x33]2−1=4⋅[233−(−1)33]==4⋅93==12∫−12∫02x2y3dydx==∫−12x2∫02y3dydx=∫−12x2⋅[y44]02dx=∫−12x2⋅[244−044]02dx=∫−12x2⋅[4−0]dx=∫−124x2dx=4⋅[x33]−12=4⋅[233−(−1)33]==4⋅93==12 
 
(livro-base, p. 43-72). 
 
D 15 
 
E 16 
 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o extrato de texto a seguir: 
 
"A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a 
xi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
 
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que 
corresponde às derivadas parciais da 
função: f(x,y)=x2y2−3xy−13.f(x,y)=x2y2−3xy−13. 
Nota: 10.0 
 
A ∂f∂x=2xy2−3y+13 e ∂f∂y=2x2y−3x+13.∂f∂x=2xy2−3y+13 e ∂f∂y=2x2y−3x+13. 
 
B ∂f∂x=2y2−3y e ∂f∂y=2y−3.∂f∂x=2y2−3y e ∂f∂y=2y−3. 
 
C ∂f∂x=2xy2+3y e ∂f∂y=2x2y+3x.∂f∂x=2xy2+3y e ∂f∂y=2x2y+3x. 
 
D ∂f∂x=2x−3y e ∂f∂y=2y−3x.∂f∂x=2x−3y e ∂f∂y=2y−3x. 
 
E ∂f∂x=2xy2−3y e ∂f∂y=2x2y−3x.∂f∂x=2xy2−3y e ∂f∂y=2x2y−3x. 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. Assim, 
 
∂∂x(x2y2−3xy+13)=2xy2−3ye∂∂y(x2y2−3xy+13)=2x2y−3x.∂∂x(x2y2−3xy+13)=2xy2−3ye∂∂y(x2y2−3xy+13)=2x2y−3x. 
(livro-base, p. 80). 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o extrato de texto a seguir: 
 
"[Em integrais repetidas] na intenção de 
calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente 
integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de 
integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na 
quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade 
posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes 
de integração cc e dd". 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 46. 
 
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o 
valor da integral repetida ∫10∫10xdydx∫01∫01xdydx: 
Nota: 0.0 
 
A 1414 
 
B 1313 
 
C 11 
 
D 22 
 
E 1212 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então, 
∫10∫10xdydx=∫10x[∫10dy]dx=∫10x[y]10dx=∫10x[1−0]dx=∫10xdx=[x22]10=122−022=12∫01∫01xdydx=∫01x[∫01dy]dx=∫01x[y]01dx=∫01x[1−0]dx=∫01xdx=[x22]01=122−022=12 
 
(Livro-base página 43-47). 
 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"Na equação da curva, em que y=f(x)y=f(x), considerando-se f e sua derivada (f') 
contínuas num trecho de intervalo fechado [a,b][a,b] e sendo a função f(x)f(x) maior 
que e igual a zero, com xx sendo um elemento que pertence ao intervalo [a,b][a,b], a 
área na superfície S gerada pelo giro da curva C ao redor do eixo das abscissas x será 
definida por: A=2π∫baf(x)√1+[f′(x)]2dxA=2π∫abf(x)1+[f′(x)]2dx ". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 18. 
 
 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície 
cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela 
equação y=3x+2y=3x+2 , no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das 
abscissas. Em seguida, assinale a alternativa correta que corresponde a esse valor: 
 
 
Nota: 10.0 
 
A 25π√2025π20 u.a. 
 
B 20π√1020π10 u.a. 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
 
A=2π∫20y(x)√1+[y′(x)]2dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10∫20(3x+2)dxA=2π√103(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√103=20π√10u.a.A=2π∫02y(x)1+[y′(x)]2dx=2π∫02(3x+2)1+32dx=2π10∫02(3x+2)dxA=2π103(3x+22)2|02=π103[(3⋅2+2)2−4]=60π103=20π10u.a. 
 
(livro-base, p. 15-20). 
 
 
C 22π√1222π12 u.a 
 
D 23π√1323π13 u.a. 
 
E 21π√1521π15 u.a. 
 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"No espaço Rn, n-dimensional estabelecemos as n-relações representadas por valores 
de conjunto domínio de uma função Dm((f)Dm((f), expresso por 
(x1,x2,...,xn)(x1,x2,...,xn), com respectiva imagem da função Im(f)Im(f) expressa por 
f(x1,x2,...,xn).f(x1,x2,...,xn)." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 76. 
 
Considerando o trecho de texto acima, os conteúdos do livro-baseCálculo 
Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a 
função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1|f(x,y,z)=x2+y2|z−1| com 
domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}, identifique a 
alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z)f(x,y,z) no ponto (2,3,5)(2,3,5): 
Nota: 10.0 
 
A 132132 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para encontrar o valor de f deve-se substituir os valores de x,y e z por 2,3 e 5 respectivamente na função. Assim teremos: 
 
f(2,3,5)=22+32|√5−1|=4+9|√4|=132.f(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132. 
 
(Livro-base, p.76). 
 
B 145145 
 
C 133133 
 
D 115115 
 
E 154154 
 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o extrato de texto a seguir: 
 
"[Em integrais repetidas] na intenção de 
calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente 
integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de 
integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na 
quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade 
posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes 
de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 46.. 
 
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta 
o valor da integral repetida ∫21∫102xydydx∫12∫012xydydx: 
Nota: 10.0 
 
A 11 
 
B 3232 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então, 
∫21∫102xydydx=2∫21x[∫10ydy]dx=2∫21x[y22]10dx=2∫21x[122−022]dx=2∫21x12dx=∫21xdx=x22∣∣∣21222−12242−12=32∫12∫012xydydx=2∫12x[∫01ydy]dx=2∫12x[y22]01dx=2∫12x[122−022]dx=2∫12x12dx=∫12xdx=x22|12222−12242−12=32 
 
(Livro-base p. 43-47). 
 
C 1212 
 
D 5252 
 
E 7272 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o extrato de texto a seguir: 
 
"[Em integrais repetidas] na intenção de 
calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente 
integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de 
integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na 
quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade 
posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes 
de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 46. 
 
 
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o 
valor da integral repetida ∫20∫20yzdzdy∫02∫02yzdzdy: 
Nota: 10.0 
 
A 0 
 
B 2 
 
C 4 
Você acertou! 
Comentário: Para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então, 
∫20∫20yzdzdy=∫20y[∫20zdz]dy=∫20y[z22]20dy=∫20y[222−022]dy=∫20y2dy=2∫20ydy=2y22∣∣∣20=2[222−022]=2⋅2=4∫02∫02yzdzdy=∫02y[∫02zdz]dy=∫02y[z22]02dy=∫02y[222−022]dy=∫02y2dy=2∫02ydy=2y22|02=2[222−022]=2⋅2=4 
 
(livro-base, p. 43-47). 
 
 
D 8 
 
E 16 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o excerto de texto a seguir: 
 
"Em geral, podemos concluir que a derivada direcional de um campo escalar numa 
determinada direção será o produto escalar dessa direção pelo gradiente do campo 
escalar". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 86. 
 
 
Considere o excerto de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e 
integral de várias variáveis e a função f(x,y)=lnx−lny.f(x,y)=lnx−lny. Agora, 
assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de ff no 
ponto P=(12,−13)P=(12,−13), na direção do vetor unitário u=(35,−45).u→=(35,−45). 
Nota: 10.0 
 
A ∂f∂ u(35,−13)=85.∂f∂u→(35,−13)=85. 
 
B ∂f∂ u(35,−13)=−135.∂f∂u→(35,−13)=−135. 
 
C ∂f∂ u(35,−13)=−65.∂f∂u→(35,−13)=−65. 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois notamos 
que ∂f∂ u(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅ u.∂f∂u→(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅u→. Assim, ∂f∂ u(1/2,−1/3)=∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5).∂f∂u→(1/2,−1/3)=∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5). Como ∂f∂x(x,y)=1x e ∂f∂y(x,y)=−1y,∂f∂x(x,y)=1x e ∂f∂y(x,y)=−1y, temos ∇f(1/2,−1/3)=(2,3)∇f(1/2,−1/3)=(2,3) e, 
portanto, ∂f∂ u(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65.∂f∂u→(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65. 
 
(livro-base, p. 86). 
 
D −57.−57. 
 
E −85.−85. 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a 
xi uma vez que admitamos todas as outras variáveis constantes". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
 
 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que 
apresenta o valor das derivadas parciais, ao calcular a 
função f(x,y,z)=3x+5y−6zf(x,y,z)=3x+5y−6z: 
Nota: 10.0 
 
A fx=3;fy=5;fz=−6fx=3;fy=5;fz=−6 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. Então as derivadas parciais 
de f(x,y,z)=3x+5y−6zf(x,y,z)=3x+5y−6z são: 
 
fx=3fx=3 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo xx. 
fy=5fy=5 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo yy. 
fz=−6fz=−6 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo zz. 
 
(livro-base, p. 80). 
 
B fx=−3;fy=−5;fz=−5fx=−3;fy=−5;fz=−5 
 
C fx=5;fy=3;fz=−6fx=5;fy=3;fz=−6 
 
D fx=6;fy=5;fz=−3fx=6;fy=5;fz=−3 
 
E fx=−6;fy=5;fz=3fx=−6;fy=5;fz=3