Lista 11 - Conceitos iniciais de frações IV

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Lista 11 
Conceitos iniciais de frações IV 
Frações e a reta numérica e 
comparando frações 
 
Comparando frações 
Frações são números ordenáveis. Isso significa que você pode as comparar e 
dizer se elas são iguais (=), maiores (>) ou menores (<) que as outras. 
 
Como comparar frações? 
Algumas relações 
• Antes de iniciar qualquer comparação, devemos ter em mente uma relação 
bem óbvia: um número pequeno é menor que um número grande, ou seja: 
Pequeno < Grande (1) 
Exs: 1 < 3 5 > 2 4 = 4 
• Se você dividir a relação (1) por qualquer número a, você terá: 
Pequeno
a
< Grande
a
 (2) 
Ou seja, se você comparar duas frações com o mesmo denominador, a 
menor será aquela que tiver o menor numerador. 
Exs: 2
5
	< 4
5
 
E é simples provar isso! Vamos ao nosso tradicional exemplo das barras de chocolate. 
Débora e Michelle compraram duas barras de chocolate e dividiram cada uma em cinco 
partes iguais. 
 
 
 
 
Michelle comeu 2
5
 da primeira barra. 
 
M M 
 
 
 
Débora comeu 4
5
 da segunda barra. 
 
M M 
 
D D D D 
 
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	 2 
Quem comeu mais chocolate? 
Basta comparar as duas figuras. A parte marrom, que indica quantas partes cada uma 
comeu, é bem maior na segunda figura do que na primeira. Ou seja, Débora comeu mais 
chocolate que Michelle. Isso ocorre porque, como já dissemos, 2
5
	< 4
5
 . 
Outros exemplos são: 7
11
	> 5
11
 e 3
4
	= 3
4
. 
• Se você multiplicar os fatores da relação (2) em cruz, você terá: 
Pequeno
a
< Grande
a
 (2) 
a . Pequeno < a . Grande* 
a
Grande
< a
Pequeno
 (3) 
*Aprenderemos a fazer esta manipulação algébrica na semana 12 de estudos! 
Ou seja, se você comparar duas frações com numeradores iguais e 
denominadores diferentes, a menor fração é a que tiver o maior 
denominador. 
Exs: 1
3
	< 1
2
 
Vamos provar isso usando novamente do exemplo das barras de chocolate. 
No dia seguinte, Débora e Michelle compraram mais duas barras de chocolate e dividiram 
a primeira em três partes iguais e a segunda em duas partes iguais. 
 
 
 
Michelle comeu 1
5
 da primeira barra. 
 
M 
 
 
 
Débora comeu 1
2
 da segunda barra. 
 
M 
 
D 
 
Quem comeu mais chocolate? 
Basta novamente comparar as duas figuras. A parte marrom, que indica quantas partes 
cada uma comeu, é maior na segunda figura do que na primeira. Ou seja, Débora 
novamente comeu mais chocolate que Michelle. Isso ocorre porque, como já dissemos, 
1
3
	< 1
2
 . 
Outros exemplos são: 2
5
	> 2
7
 e 3
8
	= 3
8
. 
 
Os métodos 
• Método 1: Multiplicando em cruz 
Dadas duas frações quaisquer: 
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	 3 
 n1
d1
 ? n2
d2
, onde n1 é o numerador da primeira fração, n2 é o numerador da segunda fração, 
d1 é o denominador da primeira fração e d2 é o denominador da segunda fração. 
Você pode utilizar a multiplicação em cruz para converter a comparação em 
inicial em outra equivalente a ela: 
n1 x d2 ? n2 x d1. 
Exs: 3
4
	> 2
5
 porque 3 x 5 > 4 x 2 ( 15 > 8). 
• Método 2: Convertendo em frações equivalentes 
Dadas duas frações quaisquer: 
n1
d1
 ? n2
d2
, onde n1 é o numerador da primeira fração, n2 é o numerador da segunda fração, 
d1 é o denominador da primeira fração e d2 é o denominador da segunda fração. 
Encontre o mínimo múltiplo comum (mmc) entre os denominadores destas 
frações (d1 e d2), converta as frações originais a frações equivalentes e com 
o mesmo denominador; em seguida, use a relação (2) para compará-las. 
Ex: 5
12
	< 7
16
 ; provando esta afirmação através do uso do método: 
 
1º) Encontramos o mínimo múltiplo comum (mmc) entre os denominadores das frações 
(12, 16). 
 
mmc (12, 16) = 
 
12, 16 2 
6, 8 2 
 3, 4 2 
3, 2 2 
3, 1 3 
1, 1 2 x 2 x 2 x 2 x 3 
mmc (12, 16) = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 
mmc (12, 16) = 48 
 
2º) Convertemos as frações originais em frações equivalentes e com o mesmo 
denominador. 
Sabemos que o novo denominador será o mínimo múltiplo comum entre os 
denominadores antigos, encontrado no passo anterior, ou seja, 48. 
Para transformar as frações originais em frações equivalentes e com denominador 48, 
basta utilizarmos o método que aprendemos na lista anterior e verificarmos por qual 
número o numerador e o denominador foram simultaneamente multiplicados. 
5
12
 = 5 x 4
12 x 4
 = 20
48
 
7
16
 = 7 x 3
16 x 3
 = 21
48
 
Logo: 5
12
 = 20
48
 e 7
16
 = 20
48
. 
3º) Usando a relação (2) para comparar as novas frações: 
Pequeno
a
< Grande
a
 (2) 
20
48
 < 21
48
 
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	 4 
Logo, conclui-se que 5
12
 < 7
16
 . 
Este método pode ser utilizado também para ordenar conjuntos de frações. 
Ex: 2
3
 < 3
4
 < 5
6
; provando esta afirmação através do uso do método: 
 
1º) Encontramos o mínimo múltiplo comum (mmc) entre os denominadores das frações 
(2, 4, 6). 
 
mmc (2, 4, 6) = 
 
2, 4, 6 2 
1, 2, 3 2 
 1, 1, 3 3 
1, 1, 1 2 x 2 x 3 
mmc (2, 4, 6) = 2 x 2 x 3 
mmc (2, 4, 6) = 12 
 
2º) Convertemos as frações originais em frações equivalentes e com o mesmo 
denominador. 
Sabemos que o novo denominador será o mínimo múltiplo comum entre os 
denominadores antigos, encontrado no passo anterior, ou seja, 12. 
Para transformar as frações originais em frações equivalentes e com denominador 12, 
basta utilizarmos o método que aprendemos na lista anterior e verificarmos por qual 
número o numerador e o denominador foram simultaneamente multiplicados. 
2
3
 = 2 x 4
3 x 4
 = 8
12
 
3
4
 = 3 x 3
4 x 3
 = 9
12
 
5
6
 = 5 x 2
6 x 2
 = 10
12
 
Logo: 2
3
 = 8
12
, 3
4
 = 9
12
 e 5
6
 = 10
12
. 
3º) Usando a relação (2) para comparar as novas frações: 
Pequeno
a
< Grande
a
 (2) 
8
12
 < 9
12
 < 10
12
 
Logo, conclui-se que 2
3
 < 3
4
 < 5
6
 . 
Frações e a reta numérica 
A reta numérica é uma reta onde são marcados e representados todos os 
números reais. 
Para construí-la, devemos seguir três passos básicos: 
1º) Tome uma reta qualquer e marque um ponto nela que terá o valor 0 (zero) 
e será chamado origem. 
 
 
 
 
0 
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	 5 
2º) Partindo da origem, escolhe um sentido positivo crescente na reta numérica. 
Por exemplo, supondo que o sentido escolhido seja da esquerda para a direita 
(como é feito em todos os livros de Matemática), os números à direita do zero 
serão positivos e os números à esquerda do zero serão negativos*. Além disso, 
qualquer número x à esquerda de um número y obedecerá à relação x < y. 
 
 
 
 
 
*Aprenderemos sobre números inteiros na semana 05 de estudos! 
 
Feito isso, a reta numérica está pronta para uso. 
 
Como colocar frações na reta numérica? 
1º) Marque na reta os pontos 1, 2, e assim por diante, medindo uma distância 
igual entre eles. 
2º) Divida a reta no mesmo número de partes iguais do denominador da fração. 
3º) Marque a fração em questão em um dos pontos. 
Ex: Marque a fração 3
5
 na reta numérica. 
1º) Marque na reta os pontos 1, 2, e assim por diante. 
 
 
 
 
2º) Divida a reta no mesmo número de partes iguais do denominador, ou seja, neste caso, 5. 
 
 
 
 
 
3º) Marque a fração em questão em um dos pontos. 
 
 
 
 
 
 
A reta numérica também pode ser usada para comparar frações. 
Exs: 
 
 
 
Podemos inferir que: 
1
4
 < 2
4
 < 3
4
 1
5
 < 2
5
 < 3
5
 < 4
5
 1
5
 < 1
4
 < 2
5
 < 2
4
 < 3
5
 < 3
4
 < 4
5
 < 1 
 
 
0 
+ - 
0 1 2 
0 1 2 
0 1 2 3
5
 
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	 6 
Exercícios 
 
1. Compare os números inteiros usando os símbolos de < (menor), = (igual) 
ou > (maior). 
a. 2 e 9 
b. 10 e 10 
c. 1 e 0 
d. 7 e 5 
e. 123 e 132 
2. Usando a relação (2), compare as frações usando os símbolos de < (menor), 
= (igual)ou > (maior). 
a. 3
7
 e 5
7
 
b. 5
6
 e 1
6
 
c. 2
6
 e 1
3
 
d. 3
11
 e 5
11
 
e. 13
25
 e 23
25
 
f. 1 2
3
 e 4
3
 
g. 2 4
5
 e 14
5
 
h. 2 e 7
3
 
i. 1 e 5
5
 
j. 1 5
4
 e 2 1
4
 
k. 3 2
5
 e 2 4
5
 
l. 2 1
5
 e 3 
m. 3 1
3
 e 2 4
3
 
n. 11
4
 e 2 1
4
 
3. Usando a relação (3), compare as frações usando os símbolos < (menor), 
= (igual) ou > (maior). 
a. 1
2
 e 1
3
 
b. 2
7
 e 2
5
 
c. 1 1
2
 e 3
2
 
d. 3 1
4
 e 2 3
5
 
e. 4
7
 e 4
3
 
f. 10
7
 e 10
11
 
g. 2 4
7
 e 2 4
5
 
h. 5
4
 e 5
6
 
i. 1 e 7
9
 
j. 3 2
7
 e 3 2
3
 
k. 1 e 1
3
 
l. 4
5
 e 4 
m. 1 2
5
 e 7
6
 
n. 13
7
 e 2 3
5
 
4. Usando o método da multiplicando em cruz (método 1), compare as frações 
usando os símbolos < (menor), = (igual) ou > (maior). 
a. 2
3
 e 3
4
 
b. 4
5
 e 6
7
 
c. 1 1
2
 e 1 3
5
 
d. 3
4
 e 5
7
 
e. 1
2
 e 3
4
 
f. 7
10
 e 8
11
 
g. 3
8
 e 4
9
 
h. 5
4
 e 15
12
 
i. 5
6
 e 7
9
 
j. 2 2
5
 e 2 5
2
 
k. 3
2
 e 2
3
 
l. 1 4
5
 e 27
15
 
m. 3
10
 e 4
13
 
n. 3
5
 e 4
7
 
5. Usando método da conversão em frações equivalentes (método 2), 
compare as frações usando os símbolos e < (menor), = (igual) ou > (maior). 
a. 3
5
 e 8
15
	
b. 3
8
 e 11
24
	
c. 3
4
 e 5
6
	
d. 4
15
 e 7
20
	
e. 4
12
 e 5
15
	
f. 5
6
 e 7
10
	
g. 2
9
 e 4
15
	
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	 7 
6. Escreva cada conjunto de frações em ordem crescente (do menor para o 
maior). 
a. 2
7
, 1
7
, 3
7
 
b. 3
5
, 3
11
, 3
7
 
c. 3
4
, 2
3
, 1
2
, 4
5
 
d. 5
12
, 3
10
, 2
5
 
e. 1
2
, 7
12
, 3
4
, 4
15
 
f. 1 1
4
, 1 5
24
, 1,	 11
8
	,	1 5
6
 
7. Escreva cada conjunto de frações em ordem decrescente (do maior para o 
menor). 
a. 3
5
, 4
5
, 1
5
 
b. 2
7
, 2
5
, 2
6
 
c. 5
6
, 3
4
, 2
3
, 6
7
 
d. 1
4
, 3
5
, 1
3
 
e. 7
12
, 3
4
, 2
3
, 9
10
 
f. 1 1
4
, 1 3
8
, 1 1
2
, 1 5
16
, 1 11
32
 
8. Usando a reta numérica e os símbolos de < (menor), = (igual) ou > (maior), 
compare as frações. 
 
 
 
a. 1
2
 e 6
12
	
b. 1
3
 e 3
10
	
c. 3
5
 e 7
12
	
d. 4
5
 e 5
6
	
e. 11
12
 e 9
10
	
f. 2
5
 e 5
12
	
g. 4
5
 e 3
4
	
h. 1
6
 e 1
5
	
i. 4
5
 e 3
4
	
j. 1
12
 e 1
10
	
9. Encontre o ponto na reta numérica que corresponde a cada uma das 
seguintes frações: 
 
 
 
a. 1
2
 
b. 3
4
 
c. 1
12
 
d. 1 1
4
 
e. 3
8
 
f. 3
24
 
g. 7
12
 
h. 1 5
24
 
i. 1 1
12
 
j. 1 1
8
 
 
10. Encontre a fração correspondente a cada ponto na reta numérica. 
 
 
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	 8 
 
11. Observe as seguintes frações: 
 
4
5
 , 2
2
 , 1
6
 , 5
3
 , 6
2
 , 5
5
 , 2
10
, 2
3
 , 4
3
 , 8
8
 , 5
7
 , 4
2
 , 7
7
 , 5
6
 
 
Agora, responda: 
a. Quais dessas frações são menores que 1? 
b. Quais dessas frações são iguais a 1? 
c. Quais dessas frações são maiores que 1? 
12. Cristina e Mariana estão lendo o mesmo livro. Cristina já leu 7
10
 do livro. 
Mariana já leu 5
10
 do livro. Qual das duas leu mais desse livro? Porque? 
13. Júnior correu 5
7
 de uma pista e Luís correu 4
7
 da mesma pista. Quem 
correu menos? Porque? 
14. Luciana percorreu a pé 9
12
 de uma distância. Helena percorreu a pé 11
12
 da 
mesma distância. Qual delas andou mais? Porque? 
15. Um pai tem uma caixa de doces para dividir entre seus filhos. Ele deu 
1/8 da caixa a Luís, 2/6 a Ari, 2/7 a Carla e 1/4 a Lia. Quem recebeu mais 
doces? 
16. (CESGRANRIO) Ordenando os números racionais p = 13/24, q = 2/3 e 
r = 5/8, obtemos: 
a. p < r < q b. q < p < r c. r < p < q d. q < r < p 
17. (UFGO) Uma fração equivalente a 3/4 cujo denominador é um múltiplo 
dos números 3 e 4 é: 
a. 6/8 b. 9/12 c. 15/24 d. 12/16
18. (UFMG) Considere o conjunto de números racionais M = 5
9
, 3
7
, 5
11
, 4
7
. 
Sejam x o menor elemento de M e y o maior elemento de M. Então, é correto 
afirmar que: 
a. x = 5
9
 e y = 4
7
 
b. x = 3
7
 e y = 5
9
 
c. x = 3
7
 e y = 4
7
 
d. x = 5
11
 e y = 5
9
 
19. (FUVEST) Na figura, estão representados geometricamente os números 
reais 0, x, y e 1. 
 
 
Qual a posição do número xy? 
a. À esquerda de 0 
b. Entre 0 e x 
c. Entre x e y 
d. Entre y e 1 
e. À direita de 1. 
20. (ENEM PPL 2014) André, Carlos e Fábio estudam em uma mesma 
escola e desejam saber quem mora mais perto da escola. André mora a 
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	 9 
cinco vinte avos de um quilômetro da escola. Carlos mora a seis quartos de 
um quilômetro da escola. Já Fábio mora a quatro sextos de um quilômetro 
da escola. A ordenação dos estudos de acordo com a ordem decrescente 
das distâncias de suas respectivas casas à escola é: 
a. André, Carlos e Fábio 
b. André, Fábio e Carlos 
c. Carlos, André e Fábio 
d. Calos, Fábio e André 
e. Fábio, Carlos e André 
21. (ENEM PPL 2016) Nas construções prediais são utilizados tubos de 
diferentes medidas para a instalação da rede de água. Essas medidas são 
conhecidas pelo seu diâmetro, muitas vezes medido em polegada. Alguns 
desses tubos, com medidas em polegada, são os tubos de 1
2
 , 3
8
 e 5
4
 . 
Colocando os valores dessas medidas em ordem crescente, encontramos: 
a. 1
2
 , 3
8
 , 5
4
 
b. 1
2
 , 5
4
 , 3
8
 
c. 3
8
 , 1
2
 , 5
4
 
d. 3
8
 , 5
4
 , 1
2
 
e. 5
4
 , 1
2
 , 3
8
 
22. (ENEM 3ª aplicação 2016) O técnico de um time de voleibol registra o 
número de jogadas e de acertos, por atleta, em cada fundamento, para 
verificar os desempenhos dos jogadores. Para que o time tenha um melhor 
aproveitamento no fundamento bloqueio, ele decide substituir um dos 
jogadores em quadra, por um dos que estão no banco de reservas. O critério 
a ser adotado é o de escolher o atleta que, no fundamento bloqueio, tenha 
apresentado o maior número de acertos em relação ao número de jogadas 
que tenha participado. Os registros dos cinco atletas que se encontram no 
banco de reservas, nesse fundamento, estão apresentados no quadro. 
 
Atleta Participação em bloqueios Número de acertos Número de jogadas 
I 20 30 
II 10 34 
III 19 32 
IV 3 4 
V 8 10 
 
 Qual dos atletas do banco de reservas o treinador deve colocar em quadra? 
a. I b. II c. III d. IV e. V
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	 10 
Lista 11 
Gabarito 
 
1. 
a. < b. = c. > d. > e. < f. < g. < 
2. 
a. < 
b. > 
c. = 
d. < 
e. < 
f. > 
g. = 
h. < 
i. = 
j. + 
k. > 
l. > 
m. < 
n. > 
3. 
a. > 
b. < 
c. = 
d. > 
e. < 
f. > 
g. < 
h. > 
i. > 
j. < 
k. > 
l. < 
m. > 
n. < 
4. 
a. < 
b. < 
c. < 
d. > 
e. < 
f. < 
g. < 
h. = 
i. > 
j. < 
k. > 
l. = 
m. < 
n. > 
5. 
a. > b. < c. < d. < e. = f. > g. < 
6. 
a. 1
7
 < 2
7
 < 3
7
 
b. 3
11
 < 3
7
 < 3
5
 
c. 1
7
 < 2
3
 < 3
4
 < 4
5
 
d. 3
10
 < 2
5
 < 5
12
 
e. 4
15
 < 1
2
 < 7
12
 < 3
4
 
f. 1 < 1 5
24
 < 1 1
4
 < 11
8
 < 1 5
6
 
7. 
a. 4
5
 > 3
5
 > 1
5
 
b. 2
5
 > 2
6
 > 2
7
 
c. 6
7
 > 5
6
 > 3
4
 > 2
3
 
d. 3
5
 > 1
3
 > 1
4
 
e. 9
10
 > 3
4
 > 2
3
 > 7
12
 
f. 1 1
2
 > 1 3
8
 > 11
32
 > 1 5
6
 > 1 1
4
 
8. 
a. = 
b. > 
c. > 
d. < 
e. > 
f. < 
g. > 
h. < 
i. > 
j. < 
9. 
a. M 
b. S 
c. C 
d. e 
e. J 
f. D 
g. O 
h. d 
i. a 
j. b 
10. 
A = 1
12
 
B = 1
6
 
C = 4
15
 
D = 11
30
 
E = 1
2
 
F = 7
12
 
G = 41
60
 
H = 47
60
 
I = 11
12
 
J = 1 1
12
 
11. 
a. As frações menores que 1 são 4
5
 , 1
6
 , 2
10
, 2
3
 , 5
7
 e 5
6
 . 
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	 11 
b. As frações iguais a 1 são 2
2
 , 5
5
 , 8
8
 e 7
7
 . 
c. As frações maiores que 1 são 5
3
 , 6
2
 , 4
3
 e 4
2
 . 
12. Cristiana leu mais porque 7
10
 > 5
10
 . 
13. Luís correu menos porque 4
7
 < 5
7
 . 
14. Helena andou mais porque 11
12
 > 9
12
. 
15. Ari foi quem recebeu mais doces. 
16. A 
17. B 
18. C 
19. B 
20. D 
21. C 
22. E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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	 12 
Lista 11 
Bibliografia 
 
• The Book of Fractions – Iulia e Teodoru Gugoiu 
• http://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-reta-
numerica.htm 
• http://sosprofessor-atividades.blogspot.nl/2011/09/comparando-
fracoes.html 
• http://www.gabaritodematematica.com/exercicios-basicos-sobre-fracoes/ 
• Apostila Bernoulli – Volume 01