Lista1 cálculo D - questões 5 à 11

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Cálculo D
Lista 1 - Questões 5 à 11
Discente:
Annie Gabrielle de Oliveira Silva
Docente:
Vilton Pinheiro
18 de outubro de 2021
Seja ψ : R→ R dada por
ψ(x) =
{
1 se x ∈ Q
−1 se x /∈ Q
Exercício 5. Seja γ : (−1, 1)→ R3a curva γ(t) = (t+ t2, t+ (cos(t))2ψ(t), t2).
(1) A curva γ é continua em algum t ∈ (−1, 1) ? Justifique.
(2) A curva γ é derivável em algum t ∈ (−1, 1) ? Justifique.
A função ficará dividida nos seguintes casos:
{
γ(t) = (t+ t2, cos2(t) se t ∈ Q⇒ γ′(t) = (1 + 2t,− sin(2t))
γ(t) = (t− t2, sin(2t)) se t /∈ Q⇒ γ′(t) = (1− 2t, 2t)
Fazendo uma análise da função, vemos graficamente que, quando o domínio é dado pelos
reais, as funções são contínuas para todo os intervalos. Assim, quando uma apresentar uma
descontinuidade, devido a restrição dos racionais, a outra "completará"a vacância. Portanto, a
função é descontínua para todos os pontos da curva. E, por conseguinte, não derivável.
Figura 1: Fonte: Criado pela autora.
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Exercício 7. Mostre que γ : R→ R2 dada por γ(t) = (t2, t3) é uma curva suave (i.e., é C∞) .
Entretanto, mostre que a reta tangente a γ não está definida em todo ponto.
Dado que uma curva suave é C∞, basta provarmos que a função é infinitamente derivável.
γ(t) = (t2, t3)
γ′(t) = (2t, 3t2)
γ′′(t) = (2, 6t)
γ(3)(t) = (0, 6)
γ(4)(t) = (0, 0)
A curva atingiu, na quarta derivada, uma função constante. Portanto ela é infinitamente
derivável e, assim, é uma curva suave. A reta tangente a curva é definida pela sua primeira
derivada γ′(t) = (2t, 3t2). A equação não parametrizada seria dada por:
γ′(t) = (2t, 3t2)
{
x = 2t⇒ t = x
2
(1)
y = 3t2 (2)
(1)−→(2)
y = 3 ·
(x
2
)2
y = 3 · x
2
4
A equação encontrada é a da reta tangente a curva. O único ponto em que a reta tem declividade
nula é o ponto (0, 0). Onde, a reta tangente não é definida.
2
Exercício 8. Mostre que γ : R→ R2 dada por γ(t) = (t2 + sin(t), 2 + t3) é uma curva suave
(i.e., é C∞). Entretanto, mostre que a reta tangente a γ não está definida em todo
ponto.
Dado que uma curva suave é C∞, basta provarmos que a função é infinitamente derivável.
γ(t) = (t2 + sin(t), 2 + t3)
γ′(t) = (2t+ cos(t), 3t2)
γ′′(t) = (2− sin(t), 6t)
γ(3)(t) = (− cos(t), 6)
γ(4)(t) = (− sin(t), 0)
A curva atingiu, na quarta derivada, uma função constante. A função seno é infinitamente
derivável, portanto temos que a curva é C∞ uma curva suave. A reta tangente a curva é definida
pela sua primeira derivada γ′(t) = (2t+cos(t), 3t2). A curva sempre terá retas tangentes dado que
não existe maneira de zerar sua primeira derivada.
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Exercício 9. Determine os pontos t ∈ R em que a curva γ : R → R3 dada por γ(t) =
(cos(t), cos(2t), cos(3t)) não tem reta tangente. A curva γ é uma curva suave?
As funções do tipo cosseno são infinitamente deriváveis, portantoC∞.
Exercício 10. Determine os pontos t ∈ R em que a curva γ : R → R3 dada por γ(t) =
(sin(−5t), sin(2t), sin(−3t)) não tem reta tangente. A curva γ é uma curva suave?
As funções do tipo seno são infinitamente deriváveis, portantoC∞.
Exercício 11. Determine os pontos t ∈ R em que a curva γ : R → R2 dada por γ(t) =
(|t|, 1 + 2t+ 3t2) não tem reta tangente. A curva γ é uma curva suave?
A curva γ(t) = (|t|, 1 + 2t+ 3t2) não é uma curva suave pois não existe um valor t que torne a
derivada γ′ = 0.
γ(t) =
(
|t|, 1 + 2t+ 3t2
)
γ′ =
(
1
|t|
, 2, 2t
)
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