equacoes-diferenciais br 2021

Prévia do material em texto

1. Classifique as equações diferenciais a seguir quanto ao tipo (ordinária ou parcial), ordem e 
grau: 
a) 
𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑥 + 5𝑦 
b) (3𝑥 + 2𝑦𝑦′′′)2 = 2 − (𝑦′′)3 
c) (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 
d) 
𝜕2𝑧𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑧𝜕𝑦2 = 0 
e) (𝑦′′′)4 + 2𝑦′′ − 5𝑦 − sen(𝑥) = 0 
f) 𝑦(5)(𝑦′′)2𝑦 − 𝑥𝑦6 = 1 
 
2. Verifique se as seguintes funções são soluções das equações diferenciais dadas: 
a) 𝑦 = 𝑥2 − 1 𝑥𝑦′′ − 𝑦′ = 0 
b) 𝑦 = 2𝑥 + 𝑥2 𝑥2𝑦′ − 5𝑥𝑦 = 0 
c) 1 + ln(𝑦) = 𝑥 𝑦𝑦’’ − (𝑦′)2 = 0 
d) 𝑦 = 𝑎 sen(3𝑡) 𝑦′′ + 9𝑦 = 0 
e) 𝑦 = 𝐶𝑥3 𝑥𝑦′ = 3𝑦 
f) 𝑦 = 𝐶1 cos(3𝑥) + 𝐶2sen (3𝑥) 𝑦′′ + 9𝑦 = 0 
g) 𝑦 = 𝑘𝑥3 𝑥3𝑦′′′ + 𝑥2𝑦′′ − 3𝑥𝑦′ − 3𝑦 = 0 
 
3. Determine a equação diferencial ordinária (EDO) que tem como solução geral a família de curvas: 
a) 𝑦2 = 𝑥3 + 𝑘 𝑘 ∈ ℝ 
b) 𝑦 = 𝑘𝑥2 𝑘 ∈ ℝ 
c) 𝑥 = 𝑦 − 1 + 𝑘𝑒−𝑦 𝑘 ∈ ℝ 
d) (𝑥2 − 1)𝑦2 = 𝑘 𝑘 ∈ ℝ 
e) Família de retas de inclinação 𝑚 passando pela origem. 
f) Família de circunferências com centro em 𝑂𝑋 passando por (0,2). 
 
4. Quais das funções: 𝑦1(𝑥) = 𝑥2, 𝑦2(𝑥) = 𝑥3, 𝑦3(𝑥) = 𝑒−𝑥 são soluções da equação (𝑥 + 3)𝑦′′ + (𝑥 + 2)𝑦′ − 𝑦 = 0? 
 
5. Determine a solução geral das equações diferenciais, e, se possível, determine a solução particular 
para a condição dada: 
Disciplina: Equações Diferenciais 
Professor(a): __________________________________________________ 
Aluno(a): _______________________________________________________ 
 
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: lorde-zoom (lordzagtsu@gmail.com)
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
 
2 
 
 
a) 𝑦′ = 𝑒𝑥−2𝑦 
b) 𝑦′ = sen(𝑥)𝑦 
c) 𝑦´ = 4𝑦 , considere a condição inicial 𝑦(1) = 4 
d) (𝑦 + 𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 
e) 𝑥𝑦′ cos (𝑦𝑥) = 𝑦 cos (𝑦𝑥) − 𝑥 
f) 2𝑥𝑒𝑦𝑑𝑥 + 𝑥2𝑒𝑦𝑑𝑦 = 0 , considere a condição inicial 𝑦(1) = 2 
g) 𝑦′ + 𝑦 𝑐𝑜𝑡𝑔 (𝑥) = 1 
h) 
𝑑𝑦𝑑𝑥 − 1cos(𝑥) − y tg(x) = 0 
i) (𝑦𝑥3 + 𝑦2)𝑑𝑥 = −2𝑥𝑦𝑑𝑦 
j) 𝑦′ + 𝑦𝑥−1 = 𝑥2 − 1 
k) 𝑦2 + 𝑦𝑥 − 𝑥2𝑦′ = 0 , considere a condição inicial 𝑦(1) = 4 
 
6. Para qual(is) valor(es) de 𝐾 a função 𝑦 = 3𝑥2 + 3𝐾 é uma solução da equação diferencial 
ordinária 2𝑦 − 𝑥𝑦′ − 10 = 0? 
 
7. Resolva as seguintes equações diferencias ordinárias não lineares (Riccati e Bernoulli): 
a) 𝑦´ + 1𝑥 𝑦 − (𝑥2 + 1)𝑦3 = 0 
b) 𝑦′ − 𝑒𝑥𝑦2 + 𝑦 = 0 
c) 
𝑦′𝑦3 + 1𝑥𝑦2 = (𝑥2 + 1)𝑦3 
d) 3𝑥𝑦′ − 𝑦 − 9𝑥4𝑦3 = 0 
e) 𝑦´ + 3𝑦 = 𝑦2 + 2, sendo uma solução particular 𝑦1 = 1 
f) 𝑦´ = 1 + 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2, sendo uma solução particular 𝑦1 = 𝑥 
g) 𝑦´ = 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2, sendo uma solução particular 𝑦1 = 2𝑥 
 
 
8. Determine a equação de deslocamento de uma partícula que se move na direção do eixo x, sabendo 
que sua velocidade instantânea é dada por 𝑣(𝑡) = 4 cos(2𝑡) e que sua posição no instante inicial 
é 𝑥𝑜 = 10𝑚. 
 
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: lorde-zoom (lordzagtsu@gmail.com)
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
 
3 
 
 
 
 
 
9. Em uma cultura, há inicialmente 𝑄0 bactérias. Uma hora depois, 𝑡 = 1, o número de bactérias 
passa a ser 3/2 𝑄0. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, 
determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique em relação a quantidade 
inicial. 
 
10. Um osso fossilizado contém 1/1000 da quantidade original do carbono 14. Determinemos a idade 
do fóssil. 
 
11. No modelo de crescimento exponencial a taxa de variação da população em relação ao tempo é 
proporcional à população presente. Segundo dados do IBGE, a população brasileira, 1960, era 
de 71 milhões, aproximadamente. E em 2017, a população contabiliza em torno de 207 milhões. 
Estime a população brasileira em 2050. 
 
12. Em um pedaço de madeira queimada (carvão), verificou-se que 85,5% do Carbono-14 tinha 
desintegrado. Sabendo que a meia vida do carbono radioativo C-14 é de 5 730 anos determine a 
idade aproximada da madeira (Foi este dado que arqueologistas usaram para datar pinturas pré-
históricas em uma caverna em Lascaux, França). 
 
13. O Carbono-14 é isótopo radioativo natural do elemento carbono presente em todos os 
organismos vivos. Enquanto o organismo permanece vivo a relação quantitativa entre o carbono 
14 e o carbono 12 permanece constante. O químico norte-americano Willard Libbs descobriu 
nos anos 50, a partir da morte de organismo que o carbono 14 se transforma em carbono 12 a 
uma taxa proporcional à quantidade de carbono 14 existente. O carbono 14 é, dentre os isótopos 
estáveis do carbono, aquele que possui a maior meia-vida: aproximadamente 5730 anos. 
Permitindo assim, a datação por carbono 14. 
 
Taxa de crescimento e decrescimento 
Crescimento populacional: a população cresce a uma taxa proporcional ao 
tamanho da população. 
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: lorde-zoom (lordzagtsu@gmail.com)
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
 
4 
 
No parque Nacional da Serra da Capivara, no Piauí, 
há indícios de que a região já era habitada pelo ser 
humano há milhares de anos atrás. O estudo ainda 
polêmico é contestado por parte da comunidade 
científica. Se os arqueólogos estiverem corretos, o sertão 
do Piauí abrigou a ocupação humana mais antiga das 
Américas, alterando a data, que gira em torno de 15 mil 
anos, para a chegada do homem às Américas, aceita até hoje. 
Segundo os arqueólogos brasileiros, em 1950, um dos métodos para datar o carvão de fogueira 
e instrumentos de pedra rudimentares utilizados para corte de carcaças de animais foi a datação 
do carbono 14. 
O material orgânico encontrado no Vale da Pedra Furada, continha 9% de sua quantidade 
original de carbono 14. Determine uma data provável dos artefatos que indicam a presença 
humana nas Américas. 
a) 20 mil anos 
b) 15 mil anos 
c) 30 mil anos 
d) 35 mil anos 
e) 40 mil anos
 
 
 
 
 
 
14. Um termômetro é removido de uma sala, em que a temperatura é de 700𝐹, e 
colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 100𝐹. Após 0,5 minuto, o 
termômetro marcava 500𝐹. 
a) Qual será a temperatura marcada no termômetro no instante 𝑡 = 1 minuto? 
b) Quanto tempo levará para o termômetro marcar 150𝐹? 
 
 
15. Foi descoberto o corpo de uma vítima de assassinato. O perito da polícia chegou à 1:00h da 
madrugada e, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver, que era de 34,80C. Uma hora mais 
Lei de resfriamento de Newton 
 A taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de 
temperatura entre o corpo e o meio ambiente. 
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: lorde-zoom (lordzagtsu@gmail.com)
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
 
5 
 
tarde ele tomou novamente a temperatura e encontrou 34,10C. A temperatura do quarto onde se 
encontrava a vítima era constante a 200C. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a 
hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva é 36,50C. 
a) 22:45 
b) 2:45 
c) 3:45 
d) A vítima ainda não morreu 
 
 
 
16. Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de 1/2 henry 
e a resistência, 10 ohms. Determine a corrente i, sabendo que a corrente inicial é zero. 
 
17. Uma força eletromotriz (fem) de 30 volts é aplicada a um circuito em série L-R no qual a 
indutância é de 0,5 henry e a resistência, 50 ohms. Encontre a corrente 𝑖(𝑡) se 0)0( i . 
Determine a corrente quando t . 
 
18. Resolva as equações diferenciais: 
a) 𝑥𝑦′′′ = 2 
b) 𝑥𝑦′′ − 𝑦′ = 𝑥2𝑒𝑥 
c) 𝑥2𝑦′′ + 𝑥𝑦′ = 1 
 
Circuito 
Em um circuito em série contendo somente um resistor e um indutor, de acordo com a segunda 
lei de Kirchhoff, a soma da queda de tensão no indutor ))/(( dtdiL e da queda de tensãono 
resistor )(iR é igual à voltagem ))(( tE no circuito (circuito em Série L-R) 
 𝐿 𝑑𝑖𝑑𝑡 + 𝑅𝑖 = 𝐸(𝑡) onde L e R são constantes conhecidas 
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: lorde-zoom (lordzagtsu@gmail.com)
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
 
6 
 
19. Determine a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas: 
a) 𝑦′′ − 𝑦′ − 30𝑦 = 0 
b) 𝑦′′′ − 3𝑦′′ + 3𝑦′ − 𝑦 = 0 
 
Respostas: 
1.) 
a) ordinária, 1ª ordem, 1º grau d) parcial, 2ª ordem, 1º grau 
b) ordinária, 3ª ordem, 2º grau e) ordinária, 3ª ordem, 4º grau 
c) ordinária, 1ª ordem, 1º grau f) ordinária, 5ª ordem, 1º grau 
2.) Somente item b NÃO é solução da E.D.O. 
3.) 
a) 2𝑦𝑦′ − 3𝑥2 = 0 d) 𝑦′ = − 𝑥𝑦𝑥2−1 
b) 𝑦′ = 2 𝑦𝑥 e) 𝑦′ = 𝑦𝑥 
c) 𝑦′(𝑦 − 𝑥) = 1 f) 𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑥𝑦𝑦′ + 4 = 0 
4.) Apenas 𝑦3 é solução. 
5.) 
a) 𝑒2𝑦 − 2𝑒𝑥 = 2𝑘 g) 𝑦 = −𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) + 𝑘 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
b) 𝑦2 + 2 cos(𝑥) = 2𝑘 h) 𝑦 = sen(𝑥) + 𝑘 cos(𝑥) 
c) ln(𝑦) = 4𝑥 − 16 i) 𝑦. 𝑥−1/2 − 15 𝑥5/2 = 𝑘 
d) ln(𝑥𝑦) = 𝑦 − 𝑥 + 𝐾 j) 𝑦𝑥−1 = 𝑥22 + 𝑥 + 𝑘 
e) sen (𝑥𝑦) = ln (𝑐𝑥) k) ln(𝑥) + 𝑥𝑦 = 14 
f) ln(𝑥) + 1 = 𝑦2 
6.) 𝑘 = 53 
7.) 
a) 
1𝑥2𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑥 = 𝑘 e) 
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: lorde-zoom (lordzagtsu@gmail.com)
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
 
7 
 
b) 𝑥𝑦2 − 𝑒−𝑥 = 𝑘𝑦2 f) 
c) 
1𝑥5𝑦5 = 52𝑥2 + 54𝑥4 + 𝑘 g) 
d) 
𝑥2/3𝑦2 − 6𝑥14/3 = 𝑘 
8.) 𝑥(𝑡) = 2 sen(2𝑡) + 10 
 
 
13.) a 
9.) aprox. 2 horas e 42 minutos 14.) a) 36,67ºF 
 b) aprox.. 33 min e 66 seg 
10.) aprox. 55.800 anos 
 
15.) a 
11.) aprox.384,6 milhões de 
pessoas 
 
16.) 𝑖 = 65 − 65 𝑒−20𝑡 
12.) aprox. 15.963 anos 17.) 𝑖 = 35 (1 − 𝑒−100𝑡) 
 𝑖 = 35 , para 𝑡 → ∞ 
 
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: lorde-zoom (lordzagtsu@gmail.com)
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
 
 
 
 8 
 
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: lorde-zoom (lordzagtsu@gmail.com)
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark