Cognição e Desenvolvimento da Linguagem Oral e Escrita e o Raciocínio Lógico-Matemático

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COGNIÇÃO E DESENVOLVIMENTO DA 
LINGUAGEM ORAL E ESCRITA E DO RACIOCÍNIO 
LÓGICO-MATEMÁTICO 
Parte II – Unidades V a VIII 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Juliane Feldmann 
Profa. Edna Barberato Genghini 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FELDMANN, Juliane 
GENGHINI, Edna Barberato 
 
 Cognição e desenvolvimento da Linguagem Oral e Escrita e do 
Raciocínio Lógico-matemático (livro-texto – Parte II – Unidades V a 
VIII) / Juliane Feldmann; Edna Barberato Genghini. – São Paulo: Pós-
Graduação Lato Sensu UNIP, 2019. 
 
141 p. : il. 
 
1. Fundamentos histórico-culturais para o ensino da matemática. 
2. Metodologias para a educação matemática no Brasil. 3.Avaliação 
da Matemática. 4.material manipulativo, concreto para aprendizagem 
matemática. Pós-Graduação Lato Sensu UNIP. III. Cognição e 
desenvolvimento da Linguagem Oral e Escrita e do Raciocínio Lógico-
matemático (livro-texto – Parte II – unidades V a VIII). 
 
 
COGNIÇÃO E DESENVOLVIMENTO DA LINGUAGEM ORAL E ESCRITA E 
DO RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO 
II Parte – Unidades V a VIII 
 
Professora conteudista 
JULIANE FELDMANN Pedagoga pela Universidade Regional de Blumenau -
SC; Psicopedagoga Institucional e Clínica pelo ICPG; Neuropsicopedagoga Clinica 
pelo CENSUPEG; Psicomotricista pela FMU; Coordenadora Pedagógica pela 
Prefeitura Municipal de SBC – SP – 13 anos de atuação como professora em sala de 
aula, com experiência em alfabetização; 12 anos atuando como psicopedagoga clinica 
clínica em consultório próprio; Coordenadora da Equipe Multidisciplinar do espaço 
Integrado; 12 anos ministrando cursos e palestras na área da educação; Docente em 
cursos de pós-graduação; Coordenadora do Curso de Pós Graduação em 
Neuropsicopedagogia Institucional e Clínica pela UNIP; Autora dos Livros: Aprender 
tem que ser Divertido. Ed. CEITEC – esgotado; Trio de Rimas. – Ed. Matrix; 
Pensamento e Emoções – Ed. Matrix; Sentimentos e Pensamentos – Ed. Matrix, 
Exercícios da Gratidão – Ed. Matrix. Autora de Jogos Neuropsicopedagógicos – 
www.neurototem.com.br – Te Conhecendo Melhor (Técnica Projetiva) – Jogo das 
Funções Executivas – Alinhando 3 – Bingo da Ortografia – De Olho nos Monstros – 
Labirinto Psicomotor – Tabuleiros de Percurso – As Pulgas do Gato – Enfeitando o 
bolo, Técnica dos Grampos de Roupa; Técnica das Esponja. 
 
Professora colaboradora/coordenadora: 
EDNA BARBERATO GENGHINI, Professora Universitária desde 2002. 
Atualmente no exercício da função de Coordenadora para todo o Brasil de três cursos 
ao nível de Pós-Graduação Lato Sensu: em PSICOPEDAGOGIA INSTITUCIONAL, 
DOCÊNCIA PARA O ENSINO SUPERIOR e em FORMAÇÃO EM EDUCAÇÃO A 
DISTÂNCIA, pela UNIP – UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIP/EaD, onde também 
atua como Professora Adjunta, nas modalidades SEI e SEPI. É Diretora e 
Psicopedagoga da MENTOR ORIENTAÇÃO PSICOPEDAGÓGICA LTDA. ME desde 
1991. Possui graduação em Economia Doméstica – Faculdades Integradas Teresa 
D'Ávila de Santo André (1980), graduação em Pedagogia pela Universidade 
Guarulhos (1985), Pós-graduação em Psicopedagogia pela Universidade São Judas 
(1987), Mestrado em Ciências Humanas pela Universidade Guarulhos (2002) e pós-
graduação Lato Sensu em Formação em Educação a Distância pela UNIP – 
Universidade Paulista (2011). É autora e coautora de livros Textos para os cursos de 
Pós-Graduação Lato Sensu em Psicopedagogia Institucional, Docência para o Ensino 
Superior e Formação em Educação a Distância da UNIP – EaD. Áreas de Interesse: 
Neurociências – Educação Inclusiva – Psicopedagogia Clínica e Institucional – 
Formação e Gestão em Educação a Distância – Formação de Docentes para o Ensino 
Superior. 
 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 6 
V. FUNDAMENTOS HISTÓRICO-CULTURAIS PARA O ENSINO DA 
MATEMÁTICA: POR QUE O PSICOPEDAGOGO PRECISA CONHECER? ....................... 10 
5.1 Uma história muito antiga .................................................................................. 10 
5.2 A História da matemática e a educação matemática ......................................... 10 
5.2.1 A origem dos números ....................................................................................... 11 
5.2.2 A pré-história dos números, uma contagem primitiva ........................................ 11 
5.2.3 As civilizações e seus sistemas de numeração ................................................. 12 
5.2.4 Considerações sobre as visões absolutistas do conhecimento matemático na 
prática pedagógica e sua influência prática psicopedagógica .............................................. 16 
5.2.5 O ensino da matemática – breve histórico ......................................................... 17 
5.2.6 Movimento da Matemática Moderna no Brasil ................................................... 18 
5.3 A História da matemática na formação do professor e do psicopedagogo ......... 20 
VI. METODOLOGIAS PARA A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO BRASIL ............... 23 
6.1 Pressupostos epistemológicos do pensamento lógico-matemático .................... 23 
6.2 Raciocínio lógico-matemático, segundo Piaget .................................................. 23 
6.3 A importância do conhecimento acerca do desenvolvimento cognitivo .............. 24 
6.4 Planejamento, conteúdo, material didático e avaliação no ensino de matemática 
da educação infantil ............................................................................................................. 25 
6.5 Números e sistema de numeração .................................................................... 27 
6.5.1 A sequência numérica 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .......................................................... 28 
6.5.2 Números e operações ....................................................................................... 31 
6.5.3 Operação com números naturais ....................................................................... 35 
6.5.3.1 Adição ............................................................................................................... 37 
6.5.3.2 Subtração .......................................................................................................... 37 
6.5.3.3 Multiplicação e divisão ....................................................................................... 39 
6.6 Metodologias para o ensino de matemática na educação de jovens e adultos .. 44 
6.7 Números racionais ............................................................................................. 46 
6.7.1 Fração ............................................................................................................... 47 
6.8 Tratamento da informação ................................................................................. 50 
6.9 Geometria, grandezas e medidas ...................................................................... 51 
6.10 Espaço e forma ................................................................................................. 55 
6.11 Metodologias para o ensino de matemática utilizando jogos ............................. 58 
6.11.1 Torre de Hanói ................................................................................................... 58 
6.11.2 Jogo de xadrez .................................................................................................. 60 
VII. AVALIAÇÃO DA MATEMÁTICA E AVALIAÇÃO PSICOPEDAGÓGICA .............. 65 
 
 
7.1 A avaliação psicopedagógica ............................................................................ 66 
7.2Provas do diagnóstico operatório ....................................................................... 69 
7.3 Aplicação das provas operatórias ...................................................................... 71 
7.3.1 Prova de classificação ....................................................................................... 74 
7.3.2 Prova de intersecção de classes ....................................................................... 76 
7.3.3 Prova de inclusão de classes ............................................................................ 77 
7.3.4 Prova de seriação de palitos .............................................................................. 78 
7.3.5 Prova de conservação ....................................................................................... 80 
7.3.6 Prova de conservação de superfície .................................................................. 81 
7.3.7 Prova de conservação de líquido ....................................................................... 84 
7.3.8 Prova de conservação de matéria ..................................................................... 86 
VIII. MATERIAIS MANIPULATIVOS, CONCRETOS PARA APRENDIZAGEM 
MATEMÁTICA ................................................................................................................... 115 
8.1 O lúdico como motivação nas aulas de Matemática ........................................ 117 
8.2 Materiais para intervenção psicopedagógica nas dificuldades de aprendizagem, 
raciocínio lógico e matemática ........................................................................................... 118 
 
 
 
6 
INTRODUÇÃO 
 
Caro(a) aluno(a): 
 
A disciplina Cognição e Desenvolvimento da Linguagem Oral e Escrita e do 
Raciocínio Lógico-Matemático (Parte II – unidades V a VIII) tem como foco o estudo 
das questões educacionais relacionadas à aquisição dos elementos matemáticos 
necessários para a formação do psicopedagogo institucional, esteja ele trabalhando 
nas escolas, empresas, ONGs, órgão governamentais, em clínicas e consultórios 
particulares ou em quaisquer outras instâncias onde o foco seja a aprendizagem de 
crianças, adolescentes e/ou adultos. 
As unidades estão organizadas de forma a permitir a revisão, complementação 
e atualização dos conhecimentos acerca das principais teorias de ensino-
aprendizagem relacionados ao pensamento lógico-matemático dentro do contexto 
histórico, como se apresentam as metodologias usadas ao longo do tempo e, o que é 
mais significativo para nós: como avaliar a matemática de forma processual e não 
como apenas um resultado numérico. Veremos quais devem ser as posturas do 
psicopedagogo frente aos desafios e mitos que envolvem o conhecimento da 
matemática, o cumprimento de regras e conhecer os materiais que facilitam as 
interações bem como as intervenções psicopedagógicas para oportunizar melhores 
ferramentas para a aprendizagem matemática. 
O objetivo desse livro-texto dos cursos de pós-graduação em Psicopedagogia 
e Neurociências e Psicopedagogia Institucional da UNIP EaD é ajudá-lo(a) a 
compreender as etapas do desenvolvimento cognitivo no que se refere às questões 
lógico-matemáticas e das questões educacionais relacionadas à aquisição dos 
elementos matemáticos necessários para a formação do psicopedagogo institucional, 
esteja ele trabalhando nas escolas, empresas, ONGs, órgãos governamentais, em 
clínicas e consultórios particulares ou em quaisquer outras instâncias onde o foco seja 
a aprendizagem de crianças, adolescentes e/ou adultos. 
O material que agora você tem em seu poder está dividido em quatro unidades 
didáticas distintas, porém complementares. Cada uma delas apresenta uma 
particularidade do tema e foi organizada tendo em vista facilitar seu percurso dentro 
da temática cognição e desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático. 
 
 
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Veja como estão organizadas: 
 
Unidade V – FUNDAMENTOS HISTÓRICO-CULTURAIS PARA O ENSINO DA 
MATEMÁTICA: Por que o psicopedagogo precisa conhecer? Como os povos 
primitivos contavam? A concepção de números abstratos. As civilizações e seus 
sistemas de numeração. O que dizem os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) 
sobre o ensino de matemática. A presença da matemática no dia a dia (visão 
platonista, visão formalista e visão intuicionista). Movimento da Matemática Moderna 
no Brasil. 
Unidade VI – METODOLOGIAS PARA A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO BRASIL 
Planejamento, conteúdos, material didático e avaliação no ensino de matemática da 
educação infantil. Números e sistema de numeração. Números e operações. 
Operação com números naturais. Metodologias para o ensino de matemática na 
Educação de Jovens e Adultos. Metodologia utilizando jogos. Números racionais. 
Tratamento da informação. Geometria, grandezas e medidas. Espaço e forma. 
Unidade VII – AVALIAÇÃO DA MATEMÁTICA E AVALIAÇÃO 
PSICOPEDAGÓGICA. O que alcançar na educação infantil. Provas do diagnóstico 
operatório. Prova de aritmética. Teste do desempenho escolar. Coruja Promat. Coruja 
Especialista. Protocolo de avaliação de habilidades cognitivo-linguísticas. Provinha 
Brasil. Sistema de Avaliação da Educação Básica (SAEB). Teste simples de 
discalculia. Discalculia. 
Unidade VIII – MATERIAIS MANIPULATIVOS, CONCRETOS PARA 
APRENDIZAGEM MATEMÁTICA. Como se aprende matemática? O lúdico como 
motivação nas aulas de matemática. Os materiais. 
 
Para estudar todos os temas indicados, os objetivos específicos da disciplina 
são: 
1) Ampliar a competência do psicopedagogo acerca das questões 
relacionadas à cognição e desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático nas 
diferentes etapas da aprendizagem desde a primeira infância (conhecimentos 
informais), na fase pré-escolar e no ensino fundamental, propiciando ao 
psicopedagogo um contexto de discussão teórico-prática que o auxilie no trabalho 
preventivo e proativo sobre os conhecimentos relacionados ao entendimento de como 
se desenvolvem o senso numérico e as atividades de contagem, bem como os 
cálculos, ao desenvolvimento do raciocínio lógico e do raciocínio abstrato/espacial em 
ambiente escolar; 
2) Construir conceitos sobre o desenvolvimento do raciocínio lógico em 
diferentes etapas do desenvolvimento, desde os conceitos concretos até os mais 
abstratos para que o psicopedagogo possa entender como intervir de forma mais 
eficiente em relação à matemática na abordagem sociointeracionista de ensino-
aprendizagem; 
3) Construir conceitos sobre a gênese e o desenvolvimento do raciocínio 
lógico em crianças, adolescentes e adultos, a partir do conhecimento da História e da 
evolução da matemática, compreendendo seus aspectos para inter-relacionar esses 
conhecimentos às neurociências e disciplinas afins; 
 
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4) Estudar a função do psicopedagogo enquanto educador matemático, 
como mediador entre o conhecimento adquirido socialmente pela criança e o 
conhecimento escolar, estimulando o avanço intelectual do aluno, na apropriação da 
linguagem matemática – do concreto ao abstrato, por meio da experiência com 
atividades significativas e com efetivas estimulações aos campos da contagem, 
cálculos e geometria que se fizerem necessárias; 
5) Vivenciar situações lúdicas, por meio de materiais manipulativos 
conceituais, jogos de estratégia, geométricos e numéricos e brincadeiras que 
provoquem a reflexão sobre a prática psicopedagógica, com vistas à autonomia na 
elaboração de projetos de trabalho produtivos, que fertilizem o perfil cidadão do 
educando, no interior das práticas sociais. 
6) Entender o caráter coletivo, dinâmico e processual da produção do 
conhecimento lógico-matemático, que ocorre de acordo com as necessidades e 
anseios dos sujeitos; 
7) Perceber a matemática como uma forma de expressão, isto é, como uma 
linguagem que é produzida e utilizada socialmentecomo representação do real e da 
multiplicidade de fenômenos propostos pela realidade, partindo das experiências 
vividas pela criança para atingir níveis mais complexos de abstração. 
8) Ampliar a competência do psicopedagogo institucional em relação às 
questões relacionadas ao conhecimento lógico-matemático e das neurociências, 
propiciando a ele um contexto de discussão teórico-prática que o auxilie no trabalho 
preventivo e proativo sobre os conhecimentos dos atendidos (aluno e/ou instituição); 
9) Alinhavar os conhecimentos acerca dos processos neuropsicológicos de 
aquisição do raciocínio lógico-matemático, com a práxis da sala de aula, de forma a 
capacitar o psicopedagogo institucional a atuar preventiva e proativamente nas 
dificuldades de aprendizagem. 
 
Reforçando o já dito, esses conteúdos serão abordados em quatro unidades de 
ensino, assim distribuídas: 
Unidade V: Fundamentos histórico-culturais para o ensino da matemática: Por 
que o psicopedagogo precisa conhecer? 
Unidade VI: Metodologias para a educação matemática no Brasil. 
Unidade VII: Avaliação da matemática e avaliação psicopedagógica. 
Unidade VIII: Materiais manipulativos, concretos para aprendizagem 
matemática. 
 
A Unidade V, Fundamentos Histórico-culturais para o ensino da 
matemática: por que o psicopedagogo precisa conhecer? Tem como objetivo 
geral apresentar a você, aluno(a), a corrente de pensamento histórico-cultural que 
entende a matemática como um conhecimento produzido e sistematizado pela 
humanidade, portanto histórico, com o propósito de interpretar, interagir e transformar 
a realidade. 
Na Unidade VI, Metodologias para a educação matemática no Brasil, 
veremos as principais metodologias para o ensino da matemática, capacitar o 
 
9 
psicopedagogo institucional a atuar preventiva e proativamente nas dificuldades de 
aprendizagem relacionadas ao processo de formação do pensamento e aquisição da 
linguagem lógico-matemática, oportunizando espaços de reflexão sobre o ensino e a 
aprendizagem da matemática e incentivando a formação contínua por meio da 
articulação dos conteúdos curriculares, sua organização, avaliação, bem como das 
metodologias adequadas ao processo ensino e aprendizagem na educação no Brasil, 
desde a Educação Infantil ao tratamento didático diferenciado no trabalho 
psicopedagógico na Educação de Jovens e Adultos. 
A Unidade VII, intitulada Avaliação da matemática tem como objetivo 
principal conhecer quais os principais instrumentos qualitativos e quantitativos 
utilizados para avaliação da matemática. Nessa unidade, iremos aprender como 
avaliar as competências necessárias para aprendizagem da matemática, entender as 
dificuldades, os fatores que dificultam a aprendizagem da matemática. 
Mediante aplicação desse conhecimento, busca-se, também, somar os 
conteúdos propostos na Unidade VIII – Material manipulativo, concreto para 
aprendizagem matemática. 
Lembramos a você, caro(a) aluno(a), que os conhecimentos não se esgotam 
com os assuntos aqui abordados e esperamos que você complemente seus estudos 
acessando as bibliografias recomendadas, bem como possa ampliar suas práxis por 
meio da vivência com os jogos e atividades lúdicas. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
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V. FUNDAMENTOS HISTÓRICO-CULTURAIS PARA O ENSINO DA 
MATEMÁTICA: por que o psicopedagogo precisa conhecer? 
 
Como dissemos na introdução, vamos apresentar a você, aluno(a), a corrente 
de pensamento histórico-cultural que entende a matemática como um conhecimento 
produzido e sistematizado pela humanidade, portanto histórico, com o propósito de 
interpretar, interagir e transformar a realidade. 
Entender a origem desse conhecimento é fundamental para que possamos 
atuar como psicopedagogos frente às dificuldades de aprendizagem individuais e/ou 
coletivas de nossos clientes desde a educação infantil ao ensino superior em 
quaisquer instâncias onde sejam exigidos conhecimentos lógico-matemáticos, seja 
em ambientes institucionais ou ambientes restritos como clínicas e consultórios. 
 
5.1 Uma história muito antiga 
 
Há muito, o pastor soltava suas ovelhas no pasto. Para saber quantas ovelhas tinha, 
ele fazia o seguinte: a cada ovelha do seu rebanho ele associava uma pedrinha e a 
guardava num saquinho. 
Quando ia recolher o rebanho, retirava uma pedrinha do saco para cada ovelha que 
encontrava. Assim, cada pedrinha retirada correspondia a uma ovelha. No final da 
contagem, se sobrasse pedrinha no saquinho, era porque alguma ovelha havia se 
extraviado. 
Foi assim que o homem aprendeu a contar: comparando quantidades. De um lado, 
a quantidade de pedrinhas, do outro, a quantidade de ovelhas. 
Contudo, para comparar, o homem usava principalmente o dedo das mãos. Surgiu 
daí a ideia comum aos dois conjuntos que ele comparava: o número. E ainda fazia marcas 
em pedaços de pau ou ossos. O registro mais antigo de que o homem primitivo já usava 
objetos para registrar quantidades é um osso com 29 entalhes feitos em uma fíbula (ou 
perônio) de um babuíno. É o osso de Lebombo, descoberto nos montes Libombos, na 
Suazilândia, e datado de aproximadamente 35.000 anos a.C. 
Poucos desses registros existem até hoje. Na antiga Tchecoslováquia foi 
encontrado um osso com 55 incisões profundas. Estavam dispostas em duas séries, uma 
com 25 incisões e outra com 30, e, em cada série, os riscos estavam dispostos em grupos 
de cinco. Isso há mais de 30 mil anos! 
Mas os homens não usavam apenas pedrinhas em contagens: eles também 
registravam números fazendo nós em cordas e por meio de outros objetos. Vamos 
conhecê-los? 
 
5.2 A História da matemática e a educação matemática 
 
Vamos conhecer um pouco da História da matemática para que possamos passar, 
com naturalidade, que a mesma está presente em nossas vidas desde os tempos remotos 
e, com isso, termos a tranquilidade de atuarmos junto aos nossos clientes, professores e 
 
11 
coordenadores escolares, desmistificando o “bicho papão” dessa disciplina tão importante 
para o desenvolvimento da humanidade. 
 
5.2.1 A origem dos números 
 
Para descobrirmos a origem dos números, é necessário conhecermos um pouco da 
História da humanidade. 
O uso dos algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0) nos parece tão comum que quase 
consideramos seu aprendizado como sendo uma condição inata do ser humano, assim 
como são o ato de falar e de andar. 
Alguns historiadores, como Georges Ifrah (1998), são auxiliados por diversas 
descobertas, como o estudo das ruínas de antigas civilizações, estudos de fósseis, o 
estudo da linguagem escrita e a avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos 
desde o princípio dos tempos. 
Olhando ao redor, observamos a grande presença dos números. Entretanto, o que 
se pretende discutir é a importância dos números, qual é sua função, sua necessidade na 
nossa vida. Não se pode datar o exato aparecimento da matemática, mas sabe-se que 
suas noções básicas são a escrita, pois a linguagem de sinais é bem mais fácil de ser 
compreendida do que a construção de frases bem moduladas que expressem ideias e que 
são comuns no dia de hoje. 
A base cognitiva para a construção da ideia de número, historicamente, é definida 
pela necessidade de registrar quantidades de objetos concretos e não pela 
necessidade/finalidade de facilitar o desenvolvimento abstrato da aritmética. 
 
5.2.2 A pré-história dos números, uma contagem primitiva 
 
Onde e quando essa aventura começou? Na Ásia, na Europa ou na África? Na 
época do homem Cro-Magnon, há 30 mil anos? Ou na época do homem de Neandertal? 
Não sabemos. O que temos como certeza é que houve um tempo em que o ser humano 
não sabia contar. Atualmente, ainda existem homens incapazes de conceber qualquer 
número abstrato e que não sabem nem que dois e dois agrupam-se em quatro. Um 
exemplodisso são as inúmeras hordas primitivas, tais como: o caso dos zulus e dos 
pigmeus na África, dos arandae e dos kamilarai, da Austrália, segundo Eves (2004). 
Fontes (1969, p. 2) afirma ainda que “como o incremento cultural não é dotado de 
aceleração uniforme, nem tampouco é sistematicamente orientado em um único sentido, 
os povos se apresentam em várias fases ou ciclos culturais”. 
O molde cognitivo implícito nessas representações caracteriza a marca humana 
presente na estratégia de criação do sentido numérico, relacionando os aspectos reais e 
imaginários que se entrelaçam na mente humana para manifestar o pensamento numérico. 
As investigações (arqueológicas, antropológicas e históricas) realizadas em 
diversas regiões do planeta têm mostrado que a sociedade humana se vale dos algarismos 
há 6000 anos. Sua história constitui-se em uma história universal a qual, mesmo 
descontínua e não linear, possui inúmeros fragmentos socioculturais que evidenciam o 
 
12 
movimento cognitivo para o qual convergiram os sistemas de numeração, construídos e 
utilizados pela humanidade em todo o planeta. 
 
5.2.3 As civilizações e seus sistemas de numeração 
 
Os sumérios, suposto povo que habitava uma região que hoje corresponde ao 
Iraque, registravam suas informações contábeis sobre placas de argila. Essa escrita foi de 
forma cuneiforme, ou seja, com uma grafia angulosa, feita com instrumento pontiagudo. 
De acordo com os estudos realizados, alguns historiadores chegaram à conclusão de que 
o sistema de numeração deles era aditivo e sexagesimal, ou seja, realizado na base 60, o 
que contribui até os dias de hoje na contagem do nosso tempo cronológico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: MENDES, Iran Abreu. Números – O Simbólico e o Racional Na História. 
 
O sistema de numeração hieroglífico, adotado pelos egípcios, era baseado no 
número 10, ou seja, depois da nona unidade, organizava-se a classe decimal superior 
(depois de nove 1, vem o 10; depois de nove números 10, vem o 100 e assim por diante, 
seu sistema era aditivo, admitindo sinais diferentes para unidade, dezena e centena. 
 
 
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Fonte: MENDES, Iran Abreu. Números – O Simbólico e o Racional Na História 
 
De acordo com as informações encontradas em Furon et al (1959, p. 144), o 
sistema hebraico de numeração tem sua explicação histórica na Bíblia, visto que esta 
parece ser a única fonte desse povo. Esse sistema era decimal e sexagesimal, vindo do 
hábito de processar a contagem com os dedos das mãos. Em hebraico, o nome das 
dezenas, de trinta a noventa, é o plural de três a nove. 
Os chineses na antiguidade definiam sua matemática como a “arte do cálculo” 
(suanshu), que consistia num vasto conjunto de práticas e correntes que se desenvolveram 
na China até 1911. Após essa data, ela se ocidentalizou e o saber matemático chinês 
tradicional tornou-se quase impenetrável para os que não tinham uma formação clássica. 
A língua chinesa possui termos silábicos para designar os dez primeiros números e as 
primeiras potências de 10, 100, 1000 e 10000. 
 
 
 
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Fonte: https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/numeracao-chinesa.htm 
 
Os antigos povos peruanos se utilizavam do sistema de contagem código quipu, 
um sistema de base decimal, organizado através de nós, distribuído sistematicamente, em 
casas decimais em linhas verticais, sendo que a ordem das casas decimais decrescia de 
cima para baixo de acordo com o número representado. 
Os nossos atuais números indo-arábicos se constituem com este nome devido a 
sua origem na Índia e sua popularização através da expansão realizada pelos árabes. 
Os números foram criados do 1 ao 9 e somente após foi aceito o número zero, para 
representar a ausência de quantidades no sistema decimal. Acredita-se que foi criado 
pelos babilônios. 
 
 
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Fonte: MENDES, Iran Abreu. Números – O Simbólico e o Racional Na História 
 
O fato é que a matemática está presente em nosso dia a dia de tal forma que não 
podemos, não devemos e, certamente, não queremos nos distanciar dela. As funções mais 
rotineiras de nossa vida têm sido realizadas por computadores: desde uma conta, até o 
controle de nosso dinheiro no banco, nosso pagamento de salário, e muitas outras 
atividades são controladas por máquinas que são, por sua vez, apoiadas na matemática. 
Nossa vida depende da matemática! 
Veja os exemplos das máquinas das UTIs hospitalares, dos equipamentos de 
tomografia e ressonância magnética, dos gráficos e curvas em exames de análise clínica, 
eletrocardio ou eletroencefalogramas, entre outros. 
Existe uma tendência cada vez mais crescente da “matematização” do mundo. 
Parece mesmo ser de senso comum que todo e qualquer problema cotidiano possa ser 
equacionado. Ou seja, será que tudo na nossa vida pode ser expresso como ax + by = c 
ou outra equação ou inequação qualquer? 
E, voltando ao assunto, de onde vêm os a, b, c, x e y? Quem os inventou e por quê? 
Os documentos históricos encontrados pela arqueologia que fornecem um pouco 
de informação a respeito das origens da matemática começam com os egípcios. 
Costumava-se definir a matemática como a ciência do número e grandeza. Isso já não é 
válido, pois certamente a matemática é muito mais do que números e grandezas. Hoje, a 
matemática que conhecemos é intelectualmente sofisticada. 
Entretanto, desde os primeiros tempos da raça humana, os conceitos de número, 
grandeza e forma ocupam a mente e formam a base do raciocínio matemático. 
 
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Originalmente, a matemática preocupava-se com o mundo que nos é perceptível aos 
olhos, como parte da vida cotidiana do homem. Pode-se, inclusive, tentar relacionar a 
persistência da raça humana no mundo com o desenvolvimento matemático, se 
assumirmos válido o princípio da “sobrevivência do mais apto”. 
No princípio, as relações de grandeza estavam relacionadas mais com contrastes 
do que com semelhanças: a diferença entre um animal e outro, os diferentes tamanhos de 
um peixe, a forma redonda da lua e a retilínea de um pinheiro. Acredita-se que o conjunto 
dessas informações imprecisas deve ter dado origem a pensamentos de analogias e aí 
começou a nascer a matemática. 
Da percepção das duas mãos, das duas orelhas, das duas narinas, à propriedade 
abstrata que chamamos número, foi um grande passo no caminho para a matemática 
moderna. 
 
5.2.4 Considerações sobre as visões absolutistas do conhecimento 
matemático na prática pedagógica e sua influência prática psicopedagógica 
 
Embora as correntes filosóficas absolutistas (racionalismo, logicismo, intuicionismo) 
tivessem bases filosóficas diferentes, é possível destacar em comum entre elas a 
consideração do conhecimento matemático como absoluto, verdadeiro, e como objeto puro 
da razão (logicismo e racionalismo) ou da intuição (intuicionismo). 
Na prática pedagógica, a visão platonista se manifesta por meio da apresentação 
dos objetos ideais e as relações verdadeiras que existem entre eles. Nesse caso, aos 
alunos cabe compreender tais objetos e proposições, ou seja: essa perspectiva supõe uma 
sala de aula na qual os alunos assumem uma postura passiva, diante de aulas expositivas 
durante as quais os conhecimentos matemáticos são expostos como verdades 
incontestáveis. 
Por outro lado, a visão formalista pode ser observada quando o professor parte de 
um exemplo familiar para os alunos e procura abstrair dali os conteúdos matemáticos para 
sistematizá-los. A organização do currículo de forma linear, cada conteúdo precedido de 
seus pré-requisitos, também mostra essa influência,assim como o trabalho com ênfase 
em aplicações de fórmulas e repetição de procedimentos. 
Essa visão reforça a ideia de que a matemática é um corpo separado da realidade 
(física), mas que pode ser a ela aplicada. O distanciamento pode dificultar a apreensão 
dos conceitos matemáticos pelos alunos, pois estes, geralmente, não sentem a 
necessidade de grande parte dos conhecimentos apresentados (excessivamente formais) 
em sua vida. 
A visão intuicionista da matemática está presente na sala de aula quando o 
professor apresenta o conhecimento como fruto de inspirações de alguns poucos gênios 
das ciências, fato este que pode contribuir para reforçar uma crença de que a matemática 
é um conhecimento inatingível para as pessoas comuns por apresentar demasiada 
complexidade. Essa crença tem, ao longo dos anos, afastado muitos alunos da escola e, 
portanto, da possibilidade de ter um contato com o conhecimento matemático produzido 
pela humanidade. 
Uma das atitudes que fazem com que alguns pensem que não conseguem pensar 
matematicamente vem também da questão cultural, pois antigamente o ensino da área de 
 
17 
exatas, além de não ser permitido a todos, inclusive às mulheres, limitava-se a uma 
pequena parte da burguesia. 
 
5.2.5 O ensino da matemática – breve histórico 
 
O ensino da matemática foi influenciado, em diversos momentos, por movimentos 
educacionais com o intuito de adequar a prática pedagógica às concepções predominantes 
em cada época. 
Nas décadas de 1960 e 1970, o ensino sofreu forte influência do Movimento da 
Matemática Moderna, sendo que no Brasil essa influência também predominou. Esse 
movimento tinha como foco a formação do pensamento científico e tecnológico, com o 
propósito de modernizar o ensino da matemática. 
As principais características do Movimento da Matemática Moderna foram: o 
pensamento axiomático, maior grau de generalização, alto grau de abstração, maior rigor 
lógico, uso de vocábulos contemporâneos, precisão da linguagem, método dedutivo e a 
forte influência do estruturalismo (NOVAES et al., 2008). 
Nessa perspectiva, a matemática é compreendida a partir das estruturas lógicas e 
formais, em que a linguagem matemática tem papel fundamental, aproximando a 
“matemática escolar” da “matemática pura”. Essa visão se manifestava na organização 
escolar, nos materiais didáticos e nas ações pedagógicas. 
 
Desse modo, a matemática a ser ensinada era aquela concebida como lógica, 
compreendida a partir das estruturas e que conferia um papel fundamental à 
linguagem matemática (BRASIL, 1998). 
 
Contudo, o excesso de abstração inerente à própria matemática, bem como o uso 
da linguagem simbólica comprometeram o ensino, o que desencadeou preocupações com 
a didática da matemática e, consequentemente, intensificaram as pesquisas nessa área, 
na busca de resolver as deficiências do processo de ensino da disciplina. 
Já na década de 1980, alguns grupos discutiam as questões de ensino e 
aprendizagem da matemática e sugeriam alternativas para as deficiências observadas na 
prática pedagógica, na perspectiva da matemática moderna. Nessa época, um grupo de 
professores americanos, o National Council of Teachers of Mathematics (NTCM), 
apresentou um documento chamado Agenda para ação, o qual chamava a atenção para 
os aspectos sociais, antropológicos e linguísticos na aprendizagem da matemática e 
destacava a resolução de problemas como forma de implementação dos conceitos dessa 
ciência. 
O documento americano influenciou propostas de ensino em todo o mundo. No 
Brasil, na década de 1990, foi elaborado um documento com a intenção de subsidiar a 
prática pedagógica, os Parâmetros Curriculares Nacionais, ou PCNs. 
 
 
 
18 
5.2.6 Movimento da Matemática Moderna no Brasil 
 
O surgimento do Movimento da Escola Nova veio juntamente com novas correntes 
educacionais surgidas no final do século XIX, na Europa e nos Estados Unidos, que 
começou a produzir reflexos no ensino primário brasileiro a partir da década de 1920. No 
Brasil, ficou conhecido como Reforma Francisco Campos versus Reforma Gustavo 
Capanema. 
As reformas que começaram a ocorrer em vários Estados, tentando colocar em 
prática as novas ideias, trouxeram a criação de publicações de livros com as novas 
correntes educacionais, com uma ampla discussão sobre as questões pedagógicas, 
fazendo surgir a Associação Brasileira de Educação, em 1924. Esse fato desencadeou o 
Movimento da Renovação da Educação Brasileira. 
Tais princípios geraram uma mudança radical no ensino das séries iniciais, em 
particular no de matemática. De uma “Matemática do Quadro-Negro”, emprestando uma 
expressão usada por Irene de Albuquerque, passaríamos a uma “Matemática de Atividade” 
(MIGUEL; VILELLA, 2008). 
As ideias modernizadoras começaram a penetrar no ensino de matemática na 
escola brasileira em nível secundário, a partir de 1928, com a proposta do Internato Colégio 
Pedro II. Essa ideia fora introduzida por Euclides Roxo, professor catedrático de 
matemática do Internato Colégio Pedro II e o maior responsável pela elaboração da 
proposta modernizadora brasileira. 
Apesar de Euclides Roxo afirmar que sua intenção era apenas apresentar outras 
ideias e opiniões sobre as questões mais relevantes acerca do ensino de matemática e 
que o livro que publicara (Matemática na escola secundária, 1937) não continha nenhuma 
ideia original, nenhum ponto de vista pessoal, a sua posição em defesa da modernização 
era transparente, claramente vista nas páginas de seu livro e percebida por sua atuação 
como professor e diretor no Internato Colégio Pedro II, naquela época (1930/1945). 
O fato, no entanto, só se deu com a reforma que Francisco Campos apresentaria 
posteriormente para a escola secundária (inicialmente), através do decreto n.º 19.890 de 
18 de abril de 1931 e depois consolidada pelo decreto n.º 21.241 de 4 de abril de 1932. 
Francisco Campos era o Primeiro Ministro do recém-criado Ministério da Educação 
e Saúde Pública (1930-1936) no início da era Vargas (1930-1945), que havia remodelado 
o ensino primário e normal de Minas Gerais, de acordo com as ideias do Movimento 
Renovador da Educação, acatando em sua reforma todas as ideias consagradas na 
proposta da Congregação do Colégio Pedro II, em relação ao ensino de matemática. A 
princípio, as ideias iniciais da reforma foram implantadas oficialmente em todas as escolas 
secundárias brasileiras. 
Francisco Campos havia dividido o curso secundário em dois ciclos (de cinco e dois 
anos): o primeiro fundamental e o segundo complementar, o último com orientação para 
as diversas opções de carreira universitária. Com essa lei de 1931, as universidades 
passaram a ter uma grande influência, com uma nova orientação de trabalho voltada para 
a pesquisa, a difusão cultural e com maior autonomia administrativa e pedagógica. 
Durante essa implantação, havia no cenário político um nome forte e de interesse 
do governo de Getúlio Vargas (1937-1945): Gustavo Capanema que, como Ministro da 
Educação, em 1939, retoma os trabalhos sobre o ensino secundário e começa a organizar 
as informações para uma futura reforma no ensino do curso secundário. 
 
19 
Esse estudo foi elaborado por uma comissão que tinha um relator: Euclides Roxo. 
Novamente, Euclides Roxo se faz presente no âmbito das discussões sobre a educação 
brasileira. Em 4 de abril de 1942, Gustavo Capanema promulga a Lei Orgânica do Ensino 
Secundário. Inicia-se, então, a implantação do programa para a reforma. Não podemos 
deixar de afirmar que Euclides Roxo foi o “pai” dessa reforma, pois lutou bravamente desde 
a década de 1920 até o início dos anos 1940, do século XX, tentando levar em frente todas 
as ideias e suas propostas. 
A nova escola secundária se tornaria aquela em que o Ministro Gustavo Capanema 
deixaria sua marca mais profundae com mudanças duradouras. Segundo a proposta do 
ministro, a escola secundária passaria a ser dividida econômica e socialmente para o 
trabalho. Com essa mudança, que para a época foi bem marcante, a escola foi dividida em 
educação superior, educação secundária, educação primária, educação profissional e 
educação feminina, ou seja: uma educação destinada à elite da elite; outra educação para 
a elite urbana; outra para jovens da população que seriam a grande massa necessária de 
trabalhadores para a utilização da riqueza potencial da nação, e outra ainda, somente para 
mulheres. 
A educação teria como grande dever estar a serviço da nação, com grande ênfase 
na educação moral e cívica, já que por ela se forma o caráter de uma nação, cidadãos que 
teriam ressaltadas as grandes virtudes que interessariam ao governo, ou seja: a disciplina, 
o sentimento de dever, a resignação nas adversidades nacionais, a presteza na nação e a 
exaltação patriótica. 
Esse momento da História do nosso país foi conhecido por Reforma Capanema, 
Tempos de Capanema e Estado Novo. 
 
 
Números – O simbólico e o racional na História. Nesse livro, o autor reorganiza a 
história de como os humanos, por necessidade, inventaram e desenvolveram métodos 
para contar, ordenar e quantificar. 
MENDES, Iran Abreu. Números – O simbólico e o racional na História. São Paulo, Ed. 
Livraria da Física, 2006. 
 
Como vimos até o presente momento, a História da matemática tem sido apontada 
como um recurso didático importante para a melhoria do ensino da disciplina. Documentos 
oficiais, como os PCNs e as Orientações Curriculares partilham dessa visão, destacando 
a importância da abordagem no processo de ensino e aprendizagem, para explicitar a 
dinâmica da produção histórica e social do conhecimento matemático, além de considerar 
que essa forma de trabalho pedagógico pode ser um aliado importante para a atribuição 
de significados aos conceitos matemáticos. 
Ao se conhecer a História da matemática, pode-se aprender que essa disciplina 
veio para resolver situações-problema e não criá-las, que todo conhecimento ou conceitos 
descobertos nesta área são resultados de investigação, observação das regularidades 
 
20 
existentes e que servem para chegar de fato a uma resolução e que a matemática e suas 
regras não foram criadas meramente para cálculos de difícil resolução. 
Essa forma de implementação dos conceitos matemáticos tem suporte no 
Positivismo de Comte (1798-1857), o qual: 
 
[…] via a abordagem história da Matemática como uma forma de proporcionar uma 
visão conjunta do progresso desta ciência e de apresentar os conceitos em um grau 
crescente de complexidade, da mesma forma como esta se desenvolveu na 
evolução da humanidade” (MOTTA, 2006). 
 
A matemática, nessa perspectiva, é considerada a primeira ciência a atingir o 
estado “positivo” em função de suas leis terem aplicação universal, o que a torna o ponto 
de partida para a educação científica. 
Motta (2006) verifica essa visão também na perspectiva de Piaget (1983), que 
defende: 
 
Para aprender Matemática, o sujeito teria que reconstruir as mesmas operações 
cognitivas que marcaram a construção histórica dos objetos matemáticos. O 
recurso à História da Matemática se apresentaria como uma opção para a busca 
de conflitos cognitivos que possibilitassem a passagem de uma etapa da 
construção do conhecimento para outra (MOTTA, 2006). 
 
Assim, aos sujeitos só restaria a oportunidade de se apropriar do conhecimento 
matemático já estruturado, refazendo os mesmos caminhos de seus criadores, 
ultrapassando as mesmas dificuldades que eles encontraram, o que levaria a criança a 
passar de um estágio cognitivo para outro. 
Conforme Motta (2006), essa perspectiva é partilhada por Bachelard (1884-1962) 
em seu livro A formação do espírito científico, de 1938, no qual apresenta a noção de 
obstáculo epistemológico, conceito posteriormente ampliado e introduzido na didática da 
matemática por Brousseau (MOTTA, 2006), para quem a História da matemática permitiria 
identificar os obstáculos epistemológicos superados na construção histórica de um 
conceito e os transformar em situações-problema que permitissem a reconstrução do 
conhecimento matemático. 
 
5.3 A História da matemática na formação do professor e do 
psicopedagogo 
 
A História da matemática tem sido considerada um meio importante para a 
formação do professor, já que pode contribuir de diversas formas para esse fim. Soares 
(2004) entende que o conhecimento do processo de desenvolvimento dessa ciência pode 
fazer com que o professor alcance uma visão ampla da matemática, proporcionando-lhe a 
abertura de muitas perspectivas no que se refere ao “fazer pedagógico”. 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais apresentam algumas considerações acerca 
das contribuições da História da matemática na formação do professor: 
 
21 
 Para que tenham elementos que lhes permitam mostrar aos alunos a 
matemática como ciência que não trata de verdades eternas, infalíveis e imutáveis, mas 
como ciência dinâmica, aberta à incorporação de novos conhecimentos; 
 Ressalta utilidade da História da matemática no sentido de que o conhecimento 
dos obstáculos envolvidos no processo de construção dos conceitos pode ajudar o 
professor a desenvolver estratégias para que os alunos superem suas dificuldades; 
 Para explicitar a dinâmica da produção histórica e social do conhecimento 
matemático, de modo que se caminhe para a superação da crença de que a matemática 
é um conhecimento produzido exclusivamente por alguns grupos sociais ou sociedades 
mais desenvolvidas; 
 Contribui para a contextualização da matemática, já que muitos de seus 
conceitos surgiram por necessidade de outras ciências; 
 Mostrar a importância da notação simbólica (linguagem) na constituição das 
formas e estruturas matemáticas, no processo histórico de construção dos objetos 
matemáticos por diferentes culturas; 
 Situar a matemática cronologicamente, em relação aos produtores e à sua 
própria constituição, para compreender as condições de sua produção. 
 
As considerações apontadas pelos PCNs estão de acordo com algumas iniciativas 
recentes que indicam um processo contínuo de formação, no qual o professor vê a sua 
prática como objeto de sua investigação e reflexão e busca aprofundamento dos conceitos 
com os quais lida na sua prática. A história da formação de um conceito é uma forma 
enriquecedora para a prática do professor polivalente, ou seja: o professor pode recorrer 
ao método de desenvolvimento do conceito como uma forma de aprendê-lo. 
Para organizar situações ricas capazes de contribuir para as crianças construírem 
o conceito de número, o professor precisa saber que as ideias que compõem o número 
não foram todas elaboradas num único momento de sua história: elas vieram se 
desenvolvendo à medida que o uso foi ficando mais complexo no decorrer da história da 
humanidade e que esse processo não foi simples, nem linear. Alguns entraves ocorreram 
nesses percursos. Por exemplo, os números negativos que demoraram para serem aceitos 
como números, obstáculo que também se observa na dificuldade dos alunos ao lidarem 
com eles na resolução de problemas. O conhecimento de como se deu esse processo 
pode dar ao professor mais segurança para construir estratégias de ensino do conceito 
para seus alunos. 
Para ao professor é muito importante ele saber a diferença de número, numeral e 
algarismo, pois quando o aluno chega para o atendimento psicopedagógico geralmente a 
família diz que a criança sabe os numerais de 1 até 10, escreve apenas mas não associa 
a quantidade e isso acontece pois cada termo é diferente entre si, numeral é a escrita da 
ideia de quantidade que é o número, enquanto que algarismo e a forma da escrita que os 
numerais podem ser representados,por exemplo com os algarismos romanos. 
No que se refere ao uso da História da matemática na sala de aula, há de se 
considerar o desenvolvimento cognitivo dos alunos, para não propor situações acima de 
suas capacidades. No caso do conceito de números, por exemplo, a história do surgimento 
dos números como resultado de contagens de ovelhas é muito usada para introduzir o 
assunto nas séries iniciais. 
 
22 
Encerramos aqui a unidade 5 do livro-texto Cognição e Desenvolvimento do 
Raciocínio Lógico-matemático. 
Esperamos que você tenha aprendido bastante com a História, a evolução dos 
números e a importância do conhecimento lógico-matemático para o desenvolvimento da 
humanidade. 
Pronto(a) para conhecer a próxima unidade? Então vamos lá! 
 
 
 
23 
VI. METODOLOGIAS PARA A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO BRASIL 
 
Agora que você já conheceu um pouco da História da matemática, vamos 
apresentar, nesta Unidade VI de seu livro-texto Cognição e Desenvolvimento da 
Linguagem Oral e Escrita e do Raciocínio Lógico-Matemático, as metodologias para a 
educação matemática no Brasil. 
Antes de mais nada, para que possamos fundamentar em bases sólidas nosso 
aprendizado, vamos apresentar como ocorre o desenvolvimento neurológico e cognitivo 
na criança, fundamentados nos pressupostos epistemológicos do pensamento lógico-
matemático de Jean Piaget. 
Pronto(a)? 
 
6.1 Pressupostos epistemológicos do pensamento lógico-matemático 
 
Os estudos sobre o desenvolvimento da criança realizados por Jean Piaget (1896-
1980), denominados Epistemologia Genética, mostram como o ser humano, do 
nascimento à idade adulta, é um ser que constrói o próprio conhecimento a partir de sua 
ação sobre os objetos do mundo. 
Para Piaget (1983), o desenvolvimento intelectual ocorre por meio de dois atributos 
inatos, os quais chama organização (construção de processos simples) e adaptação 
(mudança contínua), que ocorrem no indivíduo na interação com o meio. 
Nessa perspectiva, a construção do conhecimento se dá à medida que o novo 
objeto de conhecimento é assimilado pelo sujeito por meio das estruturas já constituídas, 
sendo que inicialmente o novo conhecimento produz conflitos internos, superados pela 
acomodação das estruturas cognitivas, e o objeto passa a ser percebido de outra forma. 
Assim, o meio em que o sujeito vive tem papel fundamental na aceleração ou 
retardamento do desenvolvimento. Daí a importância de promover situações diversas nas 
quais as crianças estejam expostas a novos desafios. 
 
6.2 Raciocínio lógico-matemático, segundo Piaget 
 
O raciocínio lógico-matemático, conforme Piaget (1983), consiste em uma 
construção mental que se deve a diversos estados de abstração. Ele é uma operação 
mental e consiste de relações que não podem ser observadas. Contudo, da mesma forma 
que o conhecimento físico, ele também é construído a partir das ações sobre os objetos, 
mas é preciso ficar claro que “o conhecimento lógico-matemático não é inerente ao objeto; 
ele é construído a partir das relações que a criança elabora na sua atividade de pensar o 
mundo” (SILVA, 2010). 
Piaget considera que a evolução do raciocínio lógico dos sujeitos pode ser resumida 
em quatro estágios de desenvolvimento mental, são eles: 
 Sensório-motor (do nascimento aos dois anos): o desenvolvimento 
predominante nessa etapa é o das percepções e movimentos. Na verdade, nem é possível 
 
24 
ainda dizer que a criança pensa; a evolução se dá na medida em que ela aprende a 
coordenar suas sensações e movimentos. 
 Pré-operacional (dos dois aos sete anos): nessa etapa, a lógica infantil sofre 
um salto, derivado da descoberta do símbolo, o que possibilita representar objetos e 
acontecimentos ausentes por meio de símbolo e signos diferentes (imitação retardada). A 
criança está centrada em si mesma, tanto no aspecto da afetividade quanto no 
conhecimento em função do egocentrismo, manifestação comum nessa fase, que a 
impede de transpor em pensamento, a experiência vivida, ou seja, há o predomínio do 
processo de assimilação sem esforço de acomodação. 
 Operatório concreto (dos sete aos doze anos): nesse estágio, a criança torna-
se capaz de realizar algumas operações concretas, que são resultado de ações mentais 
interiorizadas e reversíveis. No início dessa fase, o pensamento lógico ainda é muito 
dependente da manipulação concreta de objetos, mas no decorrer da fase, será capaz de 
operar com proposições verbais ou simbólicas. As operações lógicas, chamadas de 
infralógicas, referem-se às conservações físicas (conservação de quantidade, de peso e 
de volume) e constituição de espaço (conservação de comprimento, de superfície, de 
perímetro etc.) e as operações lógico-matemáticas partem de objetos já constituídos e 
operam relações entre eles. 
 Operatório formal (a partir dos 12 anos): neste estágio, pensamento lógico 
atinge o nível das operações abstratas. A criança é capaz de distanciar-se da experiência, 
de tal forma que pode pensar por hipótese. Aqui, o raciocínio hipotético-dedutivo torna-se 
possível e, com ele, a constituição de uma lógica formal, possibilitando a compreensão de 
relações lógicas entre diversas classes, ultrapassando aquelas relações efetivamente 
existentes. 
Assim, o bom senso do psicopedagogo deve levar em conta o contexto em que 
atua. Contudo, possuindo ele o conhecimento dos obstáculos epistemológicos inerentes 
aos conceitos matemáticos, pode compreender as dificuldades dos alunos e ajudá-los a 
superá-las. 
 
6.3 A importância do conhecimento acerca do desenvolvimento cognitivo 
 
Como vimos pelo conteúdo até então trabalhado, ao se deparar com problemas 
cuja estrutura lógica não está de acordo com o estágio de desenvolvimento em que se 
encontra, a criança, certamente, terá dificuldade para resolvê-los. Isso deve sinalizar para 
o professor a necessidade de retomar a construção do conhecimento em questão, de 
preferência utilizando situações provocadoras que levem a criança a buscar o novo 
conhecimento. 
O trabalho em duplas ou trios pode ser um caminho interessante para essa 
construção, principalmente se são alguns alunos que não construíram ainda o raciocínio 
necessário, pois os parceiros poderão ajudá-los a evoluir nesse sentido. 
Enfim, o professor precisa proporcionar uma grande diversidade de atividades para 
dar a oportunidade de todas as crianças se desenvolverem. Deve ainda estar atento para 
perceber qual a origem das dificuldades de cada criança. 
É importante a diversidade de ferramentas para oportunizar a aprendizagem 
matemática. O uso de materiais manipulativos com um bom planejamento de intervenção 
 
25 
é de extrema importância, pois colocará o aluno como protagonista de sua aprendizagem, 
além de que toda atividade executada na prática facilita para o professor identificar 
exatamente em qual momento se dá a dificuldade do aluno. 
Vigotsky elaborou um conceito nomeado como zona de desenvolvimento proximal, 
que define a distância entre o nível de desenvolvimento atual que o indivíduo tem para 
resolver com autonomia até o momento em que para resolver ele depende da colaboração 
de alguém, quer dizer é a série de informações que a pessoa tem a potencialidade de 
aprender, mas ainda não completou o processo. 
Sugerimos que, ao entrar em sala de aula, tenhamos a visão de Nenhum a menos 
em relação aos alunos. 
Nenhum a menos é um filme de produção chinesa de 1999, dirigido por Zhang 
Yimou. Ele conta a história de uma jovem de 13 anos, Wei Minzhi, que aceita a oferta de 
trabalhar como professora substituta na escola primária (paupérrima); seus alunos (do 1º 
ao 4º ano, na mesma classe) são um pouco mais jovens que ela, que pouco pode fazer a 
não ser escrever texto no quadro (giz controlado) e ensinar uma ou outra canção. 
Minzhi foi advertida pelo professorGao para não permitir o abandono de mais 
alunos, garantindo o pagamento de 50 yuans e mais 10 yuans se for bem-sucedida. 
Logo após sua estreia como professora, um aluno, Zhang Huike, é obrigado a ir 
trabalhar, pois vive só com a mãe doente e imersa em dívidas. Wei recusa-se a perder o 
aluno e parte em busca do menino, na esperança de retornar antes do professor titular. A 
partir daí, nasce uma honesta amizade entre a professora e seus estudantes por conta de 
um objetivo específico: trazer Huike de volta. Durante a busca são criadas ótimas situações 
em que a menina Wei põe em prática uma didática de ensino fundamentada na troca e no 
diálogo, convocando a garotada para resolver aquele problema real. 
A preocupação é transmitir os conteúdos básicos da matemática em situações– 
problema e, se possível, envolver o cotidiano do aluno de uma maneira eficiente e 
atualizada, fazendo com que desenvolva o pensamento lógico, já que a matemática é a 
ciência base de várias áreas do conhecimento, sendo, portanto fundamental seu domínio. 
Por isso, procuraremos formas (métodos) para ensiná-la, buscando maior eficiência no 
processo de ensino e aprendizagem no âmbito escolar, evitando a evasão. 
Assim, as ações de formação docente em serviço devem se consolidar em termos 
de uma discussão dos princípios norteadores, utilizando o currículo em vigor, situando-as 
no âmbito das recentes conquistas da pesquisa em educação matemática, de seleção e 
elaboração de materiais didáticos, no auxílio ao preparo das aulas e no seu 
acompanhamento e avaliação. 
 
6.4 Planejamento, conteúdo, material didático e avaliação no ensino de 
matemática da educação infantil 
 
Quando chegam à escola, as crianças já vivenciaram inúmeras situações 
envolvendo ideias matemáticas, como brincadeiras, histórias e jogos, convivendo 
naturalmente com elementos numéricos. Assim, as atividades pedagógicas deverão 
proporcionar a construção do conhecimento matemático, buscando conhecer sua clientela 
por meio de seus interesses e habilidades, considerando o seu nível cognitivo. 
 
26 
O conteúdo matemático precisa ser apresentado da forma natural, em meio a 
atividades lúdicas, durante as quais várias habilidades poderão ser desenvolvidas, como 
comunicação, movimentação corporal, associação, manipulação de objetos, socialização 
etc., ou seja, as atividades devem ter caráter múltiplo e levar em conta as capacidades 
cognitivas do grupo de alunos, o que está de acordo com a visão de Huete et al. (2003): 
 
Aparece na criança certa capacidade crítica e um sentimento de impossibilidade 
frente a certas coisas. O pensamento chega à lógica e adquire uma coerência 
antes inexistente, da qual são testemunho as numerosas aquisições intelectuais 
que fará a partir deste momento. No entanto, é preciso fazer uma ressalva 
importante em relação a esta lógica: a criança somente raciocina de uma maneira 
lógica quando pode manipular os objetos a que seu raciocínio se refere, 
mostrando-se incapaz de fazê-lo quando se trata de simples proposições verbais, 
inclusive quando se transfere esse raciocínio para outros objetos, razão pela qual 
a referida etapa é denominada pensamento “lógico-concreto” (HUETE et al., 
2003, p. 23). 
 
O autor se refere ao estágio pré-operatório de desenvolvimento proposto na teoria 
de Piaget, que coincide com a fase pré-escolar e vai dos dois até os sete anos em média 
e que propõe estimular o desenvolvimento de conceitos aritméticos e espaciais. Esses 
conceitos devem ser apresentados com a mesma complexidade em que aparecem no 
cotidiano. Para isso, entende-se que o professor deve promover situações nas quais a 
criança reconheça a necessidade de cada um dos conceitos, por exemplo: 
 Utilização da contagem oral, de noções de quantidade, de tempo e de espaço 
em jogos, brincadeiras e músicas junto com o professor e nos diversos contextos nos quais 
as crianças reconheçam essa utilização como necessária; 
 Manipulação e exploração de objetos e brinquedos em situações organizadas 
de forma a existirem quantidades individuais suficientes para que cada criança possa 
descobrir as características e propriedades principais e suas possibilidades associativas: 
empilhar, rolar, transvasar, encaixar etc. (BRASIL, 1998, p. 218). 
Assim como a criança aprende a falar falando, a andar, andando, ela deverá 
aprender a contar, contando. Nesse caso, ela deve ser exposta a situações diversas em 
que tenha que efetuar contagem. A própria sala de aula é cheia de oportunidades dessa 
natureza: contar quantos colegas estão presentes, os lápis de cor, os brinquedos, os 
personagens das histórias etc., ou seja, sempre que seja significante para as crianças. As 
brincadeiras são ótimas oportunidades para as crianças fazerem contagens, por exemplo, 
a popular brincadeira “esconde-esconde”, na qual uma criança conta, enquanto as outras 
se escondem. 
No que se refere às noções espaciais, as brincadeiras devem envolver obstáculos 
para as crianças passarem por cima, por baixo ou no meio, seja andando ou engatinhando, 
pois são propícias para a construção dos conceitos espaciais em um contexto significativo. 
Também são significativas as situações em que as crianças manipulam objetos com 
formas, tamanhos e materiais diferentes. O Referencial Curricular Nacional para educação 
infantil, buscando “oferecer visibilidade às especificidades dos conhecimentos 
matemáticos” (BRASIL, 1998, p. 219), organiza os conteúdos matemáticos em três blocos: 
numeração e sistema de numeração, grandezas e medidas, espaço e formas, destacando 
as habilidades a serem desenvolvidas. 
 
27 
Deve-se garantir na educação infantil o contato com o vocabulário matemático para 
que as crianças possam relacionar e compreender as ações futuras em relação às 
situações-problema com os quais que elas irão conviver. 
Segue o vocabulário matemático que deve ser explorado ao máximo pelas crianças, 
para que elas, ao lerem futuramente os textos, possam compreender o que é pedido: 
1. Noções de grandeza: grande, pequeno, maior, menor, mesmo tamanho, alto, 
baixo, largo, estreito, grosso, fino, comprido, curto. 
2. Noções de posição: dentro, fora, na frente de, atrás de, ao lado de, mais perto 
de, mais longe do primeiro, o último, no meio, de frente, de costas, à direita, à esquerda, 
acima, abaixo. 
3. Noções de direção e sentido: para frente, para trás, para cima, para baixo, para 
o lado, para a direita, para a esquerda, mesmo sentido, sentido contrário, setas, meia volta, 
uma volta. 
4. Noções de tempo: antes, depois, agora, mais tarde, ontem, hoje amanhã, dia, 
noite, iniciação as horas inteiras, velho, novo, moderno, antigo, mais velho de todos, 
começo, meio e fim, dia, semana, mês. 
5. Noções de capacidade: vazio, cheio, pouco cheio, muito cheio, quase cheio, 
quase vazio. 
6. Noções de massa: pesado leve, mais pesado, mais leve. 
7. Noções de quantidade: muito, pouco, o que tem mais, o que tem menos, 
mesma quantidade. 
 
6.5 Números e sistema de numeração 
 
Neste bloco são trabalhadas: a contagem, notação, escrita numérica e operações. 
As habilidades desenvolvidas são: 
 Utilizar contagem oral e de noções simples de cálculo mental; 
 Comunicar quantidade – Linguagem oral, notação numérica e/ou registros não 
convencionais; 
 Identificar o número nos diferentes contextos em que ele pode aparecer e a 
posição do número, com a explicitação de antecessor e sucessor; 
 Comparar as escritas numéricas com a identificação de regularidades. 
No cotidiano da sala de aula, as crianças vivem situações nas quais têm que fazer 
contagens em diferentes contextos e finalidades, onde o número pode ser usado para 
contar, medir, ordenar e codificar. Por exemplo: contar a quantidade de pessoas, incluindo 
ela, que estão na sala de aula, para isso terá que contar uma a uma cada pessoapresente, 
contando cada pessoa uma única vez, para perceber a sequência numérica, já que o último 
número corresponde à quantidade de pessoas na sala. Nesse caso, a finalidade do número 
é a contagem e o número é chamado de cardinal. 
Pode-se determinar a posição de um determinado aluno na fila, de acordo com a 
regra definida, por exemplo, crescente ou decrescente. Nesse caso, o número que 
representa essa posição é ordinal, pois tem a finalidade de ordenar. Há situações em que 
 
28 
é necessário determinar o tamanho de uma distância, e o número é o resultado de uma 
medição e expressa quantas vezes a unidade de medida usada se repete naquela 
distância. Além disso, o número pode assumir a finalidade de codificar, ou seja, identificar 
pessoas ou objetos. Na camisa dos jogadores de futebol, por exemplo, tem um número 
que os identifica, assim como a placa do carro, o telefone, entre outras situações. 
É importante que as crianças tenham contato com as diversas finalidades do 
número em situações distintas para que se familiarizem com elas, pois assim perceberão 
que o número está de acordo com o contexto e terão mais subsídios para construir o 
conceito de número, ou seja, abstrair a ideia de número como uma construção da mente 
humana. 
No processo de contagem podemos utilizar vários materiais como tampinhas, 
botões e outros mais específicos, como o material dourado, que apresenta uma codificação 
diferente para unidade, dezena e centena, ajudando na identificação do processo aditivo, 
e o ábaco de pinos aberto, que auxilia no processo de compreensão da questão posicional 
do nosso sistema de numeração decimal. 
 
 
6.5.1 A sequência numérica 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
O conhecimento da sequência numérica é o principal instrumento que a criança 
precisa para conhecer o significado de números e com ele fazer relações (BRASIL, 1998). 
Dominar a sequência implica conhecer: o nome de cada símbolo, seu antecessor e 
sucessor e a regra de sua formação. Isso permite fazer comparação entre os números e 
determinar qual é o maior e/ou o menor. 
Sugerimos que se inicie com a sequência numérica de um em um, para que a 
criança memorize, de forma significativa, os nomes de cada símbolo. Contudo, saber falar 
uma sequência numérica não significa compreensão do número, então utilizemos formas 
prazerosas para ajudar os alunos a memorizar os nomes dos símbolos, tais como: música, 
brincadeiras e jogos, sendo que a memorização deve ser acompanhada de significado. 
 
SUGESTÃO PARA CONTAÇÃO DE HISTÓRIA COM O 
LIVRO PARADIDÁTICO 
VICENTE, Ana. Pra Que Serve O Zero? [sl]: Mercuryo, 
[sd]. 
 
29 
 
 
Observemos, por exemplo, a parlenda que segue: 
Um, dois, feijão com arroz 
Três, quatro, feijão no prato 
Cinco, seis, falar inglês 
Sete, oito, comer biscoito 
Nove, dez, comer pastéis 
 
A parlenda está presente em muitos livros didáticos e muitos professores a utilizam 
em sua prática pedagógica para auxiliar a criança a memorizar a sequência numérica. 
Contudo, os nomes dos símbolos não estão relacionados a nenhuma das finalidades que 
o número pode ter (contar, ordenar, codificar, ou medir), são apenas palavras em uma 
rima. Por isso, sugerimos a utilização de algumas atividades significativas, que podem ser 
confeccionadas, como as feitas com caixas de leite. 
O Ensino Fundamental é dividido em dois ciclos, sendo o primeiro ciclo de 1º a 5º 
ano e o segundo do 6º ao 9º ano. A criança deve iniciar o Ensino Fundamental com 6 anos, 
e nessa fase já tem muitos conhecimentos matemáticos obtidos na etapa anterior de 
ensino e/ou de suas vivências, mesmo aquelas que não passaram pelo ensino formal. 
Analisemos a seguir os conteúdos, planejamentos e ações propostas para o 
desenvolvimento do trabalho pedagógico nas séries iniciais do Ensino Fundamental. Para 
isso, serão tomados como base os PCNs e as pesquisas e práticas nesse nível de ensino, 
para o qual os PCNs destacam os seguintes objetivos: 
 Construir o significado do número natural a partir de seus diferentes usos no 
contexto social, explorando situações-problema que envolvam contagens, medidas e 
códigos numéricos; 
 Interpretar e produzir escritas numéricas, levantando hipóteses sobre elas, com 
base na observação de regularidades, utilizando-se de linguagem oral, de registros 
informais e da linguagem matemática; 
 Resolver situações-problema e construir a partir delas os significados das 
operações fundamentais, buscando reconhecer que uma mesma operação relacionada a 
problemas diferentes e a um mesmo problema pode ser resolvida pelo uso de diferentes 
operações; 
 Desenvolver procedimentos de cálculo mental, escrito, exato, aproximado pela 
observação de regularidades e de propriedades das operações e pela antecipação e 
verificação de resultados; 
 Refletir sobre a grandeza numérica, utilizando a calculadora como instrumento 
para produzir e analisar escritas; 
 
30 
 Estabelecer pontos de referência para situar-se, posicionar-se e deslocar-se no 
espaço, bem como para identificar relações de posição entre objetos no espaço; interpretar 
e fornecer instrução, usando terminologia adequada; 
 Perceber semelhanças e diferenças entre objetos no espaço, identificando 
formas tridimensionais ou bidimensionais, em situações que envolvem descrições orais, 
construções e representações; 
 Reconhecer grandezas mensuráveis, como comprimento, massa, capacidade, 
e elaborar estratégias pessoais de medida. Utilizar informações sobre tempo e 
temperatura; 
 Utilizar instrumentos de medida, usuais ou não, estimar resultados e expressá-
los por meio de representações não necessariamente convencionais; 
 Identificar o uso de tabelas e gráficos para facilitar a leitura e interpretação de 
informações e construir formas pessoais de registro para comunicar informações coletadas 
(BRASIL, 1997, p. 37). 
Para atingir os objetivos propostos na lista anterior, alguns conteúdos matemáticos 
deverão ser contemplados com maior ênfase e amplitude em relação à etapa anterior. 
Essa seleção tem gerado muitas discussões. Contudo, há certo consenso em torno dos 
seguintes: números e operações (aritmética e álgebra), espaço e forma (geometria), 
grandezas e medidas (faz a interligação entre aritmética e geometria) e o tratamento da 
informação (estatística e probabilidade), sendo que este último não foi contemplado pelos 
PCNs na etapa anterior. 
A intervenção do professor deve levar em conta o papel da matemática na formação 
geral dos estudantes, contemplando, sempre que possível, os diversos aspectos nos quais 
estamos inseridos: social, ético, cultural, orientação sexual, saúde e ambiental, em função 
da demanda pelo domínio desses aspectos para a participação na sociedade. 
Assim, a formação geral do aluno pressupõe uma boa estrutura de raciocínio, o que 
também é evidenciado pelos PCNs, quando entendem que “[…] a sobrevivência numa 
sociedade que, a cada dia, torna-se mais complexa exigindo novos padrões de 
produtividade, depende cada vez mais de conhecimento” (BRASIL, 1997, p. 25). Tais 
considerações têm suporte na perspectiva de essencialidade da matemática, tanto no que 
se refere ao seu caráter formativo, que diz respeito à estruturação do pensamento e 
desenvolvimento do raciocínio lógico, quanto ao caráter instrumental, em função de a 
matemática ser uma linguagem ou ferramenta para diversas ciências. 
Ao iniciar o trabalho com uma turma, o professor, necessariamente, precisa saber 
quais conhecimentos os alunos trazem para, a partir daí, elaborar seu planejamento, 
buscando ampliar os domínios dos alunos e tendo como referência os conteúdos propostos 
para cada série. 
 
 
 
31 
6.5.2 Números e operações 
 
 
Disponível em: https://alunosonline.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos-suas-operacoes.htmlO principal objetivo das primeiras séries do ciclo I, no que se refere à matemática, 
é a consolidação do conceito de número, iniciada na educação infantil. Nesse caso, só 
após a construção da ideia de número pela criança é que o professor deverá promover o 
conhecimento da escrita dos algarismos e do sistema de numeração decimal, o que deve 
ser iniciado, de forma geral, no primeiro ano do primeiro ciclo. 
Essa compreensão não é simples porque o conceito de número e o sistema de 
numeração decimal também não o são; por isso, exigem muita dedicação dos professores 
para auxiliar os alunos nessa construção. Logo, os professores precisam de um 
conhecimento sólido e abrangente sobre esses conceitos. No entanto, algumas pesquisas 
apontam para o despreparo de professores da Educação Básica para trabalhar esse e 
outros conceitos matemáticos. 
No que se refere ao conceito de número, um equívoco comum é o entendimento de 
que o aluno que sabe contar tem construído esse conceito, outro é a confusão entre termos 
como número, numeral e algarismo. Esses equívocos, muitas vezes, ocorrem em função 
de o próprio professor não dominar o conceito e acabar transmitindo sua deficiência aos 
alunos. Nesse sentido, é preciso reiterar a necessidade de reflexão sobre a prática e 
formação contínua para amenizar as falhas da formação, mais especificamente no que se 
refere à matemática. 
Estando o conceito de número apropriado pelas crianças, o próximo passo é a 
escrita no número, o que implica ter claro que o número é a ideia que vem à mente quando 
contamos, ordenamos e medimos, ou seja, é uma abstração; o numeral é toda 
representação de um número, seja ela escrita, falada ou digitada, por isso é chamado de 
“nome do número” (um, dois, três…), mas que também pode ser escrito com os algarismos, 
ou seja, 1, 2, 3, (…). 
Nesse caso, algarismo é todo símbolo numérico que usamos para representar 
quantidades, o sistema hindu-arábico tem 10 algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Com 
eles, são construídos todos os números do sistema decimal, enquanto os algarismos 
romanos mais conhecidos são: I, V, X, L, C, D. 
As crianças têm dificuldades em compreender o(s) significado(s) do zero (0) quando 
se deparam com as quatro operações. Algumas pesquisas consideram que o zero deve 
se apresentado aos alunos depois do domínio dos números de 1 a 9, já que o primeiro 
contato da criança com o número é como resultado de contagens e não se conta o que 
 
32 
não existe. Neste caso, ele é apresentado como um símbolo que serve para se juntar aos 
outros nove algarismos para formar a dezena, centena e para indicar o conjunto que não 
tem elementos. Essa apresentação ocorre já na educação infantil na prática pedagógica 
(PADRÃO, 2008). 
Diversos estudos apresentam alguns significados atribuídos ao zero (0) na História 
da humanidade. São eles: 
 Elemento de uma contagem: zero (0) é o número que se atribui ao conjunto 
vazio, isto é, 0 = nada; 
 Valor posicional: zero (0) designa o número da ordem, em uma classe, que 
não tem elementos; 
 Valor de dado operatório: zero (0) é o elemento neutro da adição e anula o 
resultado de uma multiplicação; na potenciação convenciona-se: a0 = 1 e 00 é 
indeterminado. 
 Função de origem: zero (0) tem natureza contínua, assume o sentido de 
medida – unificação da reta numérica. 
O significado do zero (0) nesse nível de ensino precisa ser mais abrangente que 
aquele apresentado na educação infantil, nível em que só são apresentados os 
significados (1) e (4). Na prática pedagógica das séries do primeiro ciclo do Ensino 
Fundamental, observa-se ênfase no significado (2), ao se iniciar o trabalho com as 
operações (ausência de classe). 
No entanto, todos os significados devem ser apresentados gradativamente para 
que as crianças evoluam. O quadro valor de lugar (QVL) é um mecanismo muito usado 
para apresentar o sistema de numeração decimal. No caso da figura abaixo, ele foi 
trabalhado em conjunto com o material dourado, o que é interessante no início do 
processo. 
Partindo de uma concepção construtivista, ou seja, entendendo que o 
conhecimento é construído dando-lhe significado, o trabalho sobre a escrita dos algarismos 
é imperativo, para que a criança reconheça a necessidade de uma “convenção social” para 
o registro de contagens, o que pode ser possível com a promoção de situações-problema 
nas quais perceba que a memória não dá conta de guardar um grande número de 
informações e a necessidade de comunicação. Isso pode ser efetivado em situações como 
um jogo, uma pesquisa ou uma atividade em que um número seja escrito com os vários 
sistemas numéricos. Essa pode ser uma forma eficiente para o aluno perceber dificuldades 
em realizar alguns deles. 
 
É preciso considerar que o sistema posicional não é uma ideia simples. Para 
compreendê-lo é preciso capacidade de abstração, pois o mesmo símbolo pode 
representar quantidades diferentes, de acordo com sua posição. A História da matemática 
pode contribuir para dar sentido ao sistema de numeração decimal. 
Assim, estudar os diferentes sistemas de numeração usados no passado permite 
compreender melhor nosso atual sistema, pois conceitos como: base 10, valor posicional 
ou a importância do zero, tornam-se mais compreensíveis quando comparados a outros 
sistemas nos quais não valem as mesmas propriedades. 
 
 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disponível em: http://www.sintra-se.pt/calcumaticar/sistema-de-numeracao-binario-e-decimal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O cálculo mental é importante para o conhecimento dos números; seu uso precisa 
ser estimulado na escola, pois essa capacidade ajuda no desenvolvimento da atenção, da 
concentração e da memória e permite que as crianças desenvolvam seus próprios 
procedimentos, tornando-os mais autônomos, ou seja, sem se limitar ao uso de algoritmos. 
Além disso, o cálculo mental estimula o raciocínio, já que no processo de calcular 
mentalmente a criança é desafiada a procurar o melhor procedimento de cálculo; ao 
dominar essa forma de raciocínio, elas adquirem mais segurança para resolver situações-
problema, na escola e na vida, o que contribui para que adotem atitudes positivas em 
relação à matemática (FREITAS et al., 2010). O desenvolvimento do cálculo mental deve 
acontecer durante todo o ciclo, sendo que o nível de complexidade deve aumentar 
gradativamente. 
 
34 
 
 
Disponível em: http://seculomatematica.blogspot.com/2014/11/a-importancia-do-calculo-mental.html 
 
Uma estratégia para a estimulação do cálculo mental é incentivar algumas 
atividades em que os alunos possam fazer estimativas, pois ela está presente em nosso 
cotidiano e na sala de aula acaba sendo feita muito tecnicamente. Um exemplo é quando 
fazemos compra no mercado: não somamos exatamente os centavos, arredondamos para 
obter um número inteiro e assim estimar e verificar se teremos o dinheiro suficiente para 
comprar. 
Freitas et al. (2010) apresentam uma sugestão de uma atividade com jogo, 
chamado boliche. Nas séries iniciais, do Ensino Fundamental, os autores sugerem o uso 
desse jogo para o desenvolvimento de habilidades de cálculo mental e registros. O jogo 
consiste em dispor dez garrafas (pet) em forma de V e cada jogador deve jogar uma bola 
a partir de uma linha traçada visando derrubar as garrafas. O objetivo é verificar qual 
equipe consegue derrubar mais garrafas, após um número fixo de jogadas. 
Esse jogo possibilita o desenvolvimento da coordenação motora e da abstração por 
meio de cálculos mentais. Além disso, favorece o desenvolvimento da escrita, em função 
do registro de pontos e da autonomia dos estudantes, já que exige pouca intervenção do 
professor. 
É possível fazer adaptações no jogo para contemplar outros temas e aplicar emoutros 
ciclos do Ensino Fundamental. Por exemplo, se as garrafas forem numeradas, podem-se 
trabalhar as operações de adição e subtração, de acordo com o nível dos alunos 
(FREITAS, et al. 2010). 
 
 
35 
 
Disponível em: http://brincandocomosjogosmatematicos.blogspot.com/2015/12/boliche-matematico.html 
 
Para que a criança esteja bem preparada para trabalhar com as operações de 
adição e subtração, depois com a multiplicação e divisão, é fundamental que ela esteja 
segura para desenvolver estratégias mentais inicialmente pelos fatos básicos (são cálculos 
que devem ser realizados mentalmente, utilizando números de um só algarismo Ex.: 8 + 
7). 
Fazer decomposições de várias formas é uma habilidade que precisa ser 
desenvolvida desde a educação infantil. Por exemplo, o número 8 pode ser decomposto 
como: 1+7 ; 2+6 ; 3+5 ; 4+4 ; 5+3 ; 6+2 ; 7+1. Essa habilidade é útil para realização de 
cálculo mental e de operações com algoritmos. 
Vale lembrar que é importante dar liberdade para a criança expressar do seu jeito 
as formas de registro do que pensa, pois essas representações favorecem as intervenções 
posteriores, ressaltando que cada indivíduo tem a sua forma de organizar a forma como 
pensa. 
 
6.5.3 Operação com números naturais 
 
Para iniciar a apresentação de operações usando algoritmos, o professor precisa 
estar certo de que seus alunos tiveram contato com todos os elementos envolvidos no 
conceito de número (classificação, seriação/ordenação, sequência lógica, contagens em 
diferentes bases, inclusão, igualdade, desigualdade, intersecção, união de classes e 
conservação de quantidades contínuas e discretas). 
 
 
 
 
36 
 
 
Disponível em: https://sites.google.com/site/aprendendomathematica2012/introducao/home 
 
O algoritmo é uma forma prática de executar uma tarefa. Existem muitos tipos de 
algoritmos, uns exigem menos, outros exigem mais treino para utilizá-los, contudo todos 
requerem alguma prática para usá-lo com segurança. 
O primeiro algoritmo a ser apresentado à criança é o da adição. Ao introduzir o 
algoritmo da adição, o professor não deve apresentar uma operação que possa ser 
calculada mentalmente (fato básico), pois, assim, a criança não vê a necessidade de usar 
o algoritmo, a não ser que este seja usado como motivador; além disso, é importante que 
já nos primeiros exemplos sejam apresentadas adições com reserva, para que a criança 
perceba porque o processo se inicia pelas unidades, ou seja, da direita para a esquerda. 
Na figura a seguir, observa-se uma proposta interessante para a introdução do 
algoritmo e também poderia ser usada juntamente com objetos concretos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disponível em: http://estimulandomeusfilhos.blogspot.com/2014/05/dicas-para-comecar-ensinar-adicao-e.html 
 
As operações de adição e subtração aparecem muito cedo na vida das crianças. 
Antes mesmo da vida escolar, elas já entram em contato com essas operações, mas não 
as reconhecem formalmente, sendo as primeiras com as quais a criança tem contato na 
escola. 
 
 
37 
 
6.5.3.1 Adição 
 
São duas as ideias básicas da adição: a de acrescentar e a de juntar. A de 
acrescentar é quando uma quantidade já existente é acrescida de outra, da mesma 
natureza, enquanto juntar se refere a quando se reúnem duas quantidades já existentes. 
No procedimento de cálculo, identificar as ideias não é relevante. Contudo, ao se deparar 
com uma ou outra situação, essa percepção ajuda a decidir qual operação usar. Os 
exemplos que seguem são, respectivamente, a ideia de acrescentar e a ideia de juntar: 
 Ana tem 5 bonecas e no seu aniversário ganhou 2. Com quantas ela ficou? 
 Carlos tem 8 figurinhas e seu irmão tem 7. Quantas figurinhas os dois têm? 
É imprescindível que o processo de ensino e aprendizagem das quatro operações 
(adição, subtração, multiplicação e divisão) se dê de forma a considerar os seguintes 
elementos: situações-problema que justifiquem a operação; interpretação na linguagem 
natural e matemática; uma ação mental para identificar os objetos envolvidos e fazer 
relações; registro material (palito, material dourado, etc.) no início do processo; registro 
simbólico, que é o uso de procedimentos como o algoritmo ou outro; a socialização de 
resultados com argumentação e validação de procedimentos e resultados. Para esse 
último, o uso da calculadora pode ser interessante e motivador. 
Essa dinâmica é feita com a mediação do professor, que fará a sistematização dos 
conceitos levando em conta todas as estratégias apresentadas pelos alunos e deverá 
garantir a apresentação de uma boa diversidade de situações, que permitam ampliar a 
área de conhecimento do aluno ou renovar conceitos já assimilados. 
Estimular procedimentos aditivos antes dos subtrativos auxilia para que os alunos 
possam ter uma maior maturidade e facilidade de compreensão ao lidar com as operações 
de subtração. 
 
6.5.3.2 Subtração 
 
A subtração não é uma operação tão simples quanto a adição, que se demonstra 
ser afetivamente prazerosa. Quando nos referimos à subtração, podemos afirmar que a 
esta se apresenta dessa forma por vários motivos, pois possui um aspecto afetivo contrário 
já que tantas vezes está relacionada a situações de perda, envolvendo também ideias 
bastante diferentes e ainda utiliza-se um vocabulário nas situações que acaba confundindo 
o raciocínio das crianças e induzindo-as a erros. 
Toledo e Toledo (2009) afirmam tais dificuldades citando as pesquisas de Piaget 
que comprovam que, de início, o raciocínio das crianças se concentra em aspectos 
positivos da ação, percepção e cognição. Os aspectos negativos, como inverso e 
recíproco, só são construídos mais tarde. Neste mesmo contexto, Kamii (2005) também 
enfatiza os estudos de Piaget, que afirma que a subtração é um desenvolvimento surgido 
após a adição. 
Trabalhar com materiais que facilitem a compreensão do valor posicional do número 
pode ajudar a criança a entender o procedimento utilizado quando tiver que lidar com 
subtração de números com dois ou mais dígitos anos seguintes. Para Kamii (2005, p. 76): 
 
38 
 
Quando as crianças compreendem de fato o valor posicional dos números elas 
sabem que não tem sentido usar o termo “pedir emprestado” e resolvem os 
problemas de maneira gratificante, agradável porque entendem todo o 
procedimento utilizado. Dessa forma, diante de todo entendimento passam a criar 
os próprios procedimentos e não resolvem de maneira mecânica porque assim 
lhes foram apresentados. 
 
As nomenclaturas associadas ao algoritmo devem ser apresentadas. Contudo, 
memorizá-las não deve ser foco da aprendizagem. Ainda assim, o professor deve usar a 
linguagem matemática naturalmente para que os alunos se familiarizem com ela e 
consigam se comunicar sobre o assunto e compreender textos com esses termos. 
As ideias associadas à subtração são: de retirar (ideia subtrativa – tirar uma 
quantidade de uma quantidade maior); de comparar (ideia comparativa – observando duas 
quantidades saber qual a que tem mais ou menos); completar (ideia aditiva – tendo uma 
determinada quantidade, quanto falta para obter o total que preciso). Cada um dos três 
conceitos tem diferentes formas de registro e ação para a resolução. Observe os exemplos 
a seguir: 
 Na ideia de retirar, o subtraendo é parte do minuendo. No caso do trabalho 
com material concreto, tem-se apenas um valor, o total do qual será retirado o valor 
solicitado; no algoritmo, tem-se o minuendo e o subtraendo, procura-se o resto. Exemplo: 
Marcos tem 27 figurinhas e perdeu 9. Com quantas figurinhas ele ficou? 
 Já na ideia de comparar, têm-se duas coleções e deseja-se saber qual é maior 
ou menor. Com o material concreto, pode-se fazer a correspondência um a um. Aquela 
que tiver material sobrandoé maior; no algoritmo, tem-se o minuendo e o subtraendo, 
busca-se a diferença entre os dois ou resto. Exemplo: Selma tem 15 vestidos e Ana Claudia 
tem 12 vestidos. Quem tem mais vestidos? Quantos? 
 Na ideia de completar tem-se uma determinada quantia e se procura obter o 
que falta para chegar ao total. No material concreto, podem-se considerar duas coleções 
de tamanhos diferentes e busca-se saber quanto falta para ficarem iguais. No algoritmo, 
tem-se o total, que é o minuendo e o subtraendo, e o resto é o que se quer saber, ou seja, 
é o que falta para igualar as coleções. Um brinquedo custa R$ 500,00 e minha mesada é 
de R$ 200,00, quanto falta para comprar o brinquedo? 
É imprescindível que os alunos tenham vivência com cada uma das ideias 
apresentadas para que construam significado para a operação e consigam perceber, em 
qualquer situação-problema, qual algoritmo usar, se o da adição, subtração, multiplicação 
ou divisão. Muitas vezes, a situação não deixa claro qual seria esse procedimento, de 
acordo com o nível de representação. Conforme Carraher et al. (apud SCHLIEMAN, 1989), 
“cada problema tem uma estrutura lógica a qual, dependendo do estágio de 
desenvolvimento em que a criança se encontra, pode ser ou não compreendida”. Observe 
o exemplo que segue, ele requer a habilidade de reversão: 
 João tem 30 pontos no jogo. João tem 5 pontos a mais que Carlos. Quantos 
pontos o Carlos tem? 
Nessa situação-problema, não está implícita a operação subtração. O texto dá a 
entender que o subtraendo (5) seria somado e não subtraído, já que aparece o termo “a 
mais”, o que dá a ideia de adição. 
 
39 
Como é possível observar, a subtração é uma operação com um nível de 
complexidade maior que a adição. Por isso, requer muita dedicação do professor para 
auxiliar os alunos a adquirirem essa compreensão. Neste caso, as perspectivas atuais para 
o ensino da matemática nas séries iniciais ressaltam a necessidade de expor os alunos a 
situações diversas que exijam deles o uso de várias habilidades e dos seus conhecimentos 
prévios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disponível em: https://escolakids.uol.com.br/matematica/subtracao-com-reserva.htm 
 
A criança, durante todo o ciclo, deve ser estimulada a desenvolver o raciocínio 
lógico e o cálculo mental pode contribuir para esse desenvolvimento. 
Utilizar material concreto faz com que o aluno compreenda de forma rápida e 
agradável a ideia relacionada à operação, ou, quando não há material a disposição, 
precisamos permitir que o aluno crie seu próprio método de resolução, pois, representado 
com objetos dados de um problema, podemos tornar o aprendizado mais significativo. 
Diante desse tema, Zunino (1995, p. 37) pôde concluir que: 
 
É necessário então levar em conta que o fato de que uma criança resolva de uma 
determinada maneira uma situação especifica de subtração (ou de soma) não 
significa que ela resolverá da mesma maneira outra situação que envolva a 
mesma operação. 
 
6.5.3.3 Multiplicação e divisão 
 
Para introduzir o conceito das operações de multiplicação e divisão, devem ser 
apresentadas atividades com experiências concretas em múltiplas situações para que a 
criança chegue às representações dos fatos básicos e compreenda o significado das 
operações. 
A multiplicação pode ser trabalhada sob dois enfoques: como adição de parcelas 
iguais e como raciocínio combinatório. Contudo, recomenda-se iniciar o processo de 
ensino e aprendizagem pelo primeiro enfoque, em função desse ser mais natural para as 
crianças. 
Pode-se, inclusive, partir da soma, usando poucas parcelas e aumentando esse 
número, para que as crianças percebam a utilidade da nova operação. Por exemplo: 2 + 2 
+ 2 + 2 + 2 = 10 ou 2 x 5 = 10. É de fundamental importância apresentar uma grande 
 
40 
variedade de situações com objetos concretos para enriquecer a vivência das crianças, 
antes de apresentar o algoritmo. 
 
 
Disponível em: http://bancodeatividades.blogspot.com/search?updated-max=2009-08-28T11:08:00-
03:00&max-results=20&reverse-paginate=true&start=6&by-date=false 
 
Como raciocínio combinatório, os alunos precisam ser expostos a situações em que 
duas coleções de objetos ou pessoas devam ser combinadas. A própria sala de aula pode 
servir como objeto de estudo, por exemplo: escolher na sala dois grupos, um de meninos, 
outro de meninas e questionar quantas duplas podem ser formadas. É interessante fazer 
todas as combinações possíveis para que percebam a invariabilidade do total de duplas, 
mesmo com a mudança de parceiros. 
Aconselha-se fazer grupos pequenos para a experimentação não ficar cansativa, o 
que pode dificultar a observação dos resultados pelos alunos. Existem muitas atividades 
motivadoras para as crianças envolvendo o conceito de combinatório, raciocínio 
fundamental para a formação da lógica matemática. A atividade a seguir pode ser 
confeccionada em EVA ou papel, juntamente com as crianças, mas é possível encontrar 
esse material pronto: 
 
 
41 
 
 
Disponível em: 
http://www.apoioescolar24horas.com.br/salaaula/estudos/matematica/484_raciocinio_combinatorio/index.htm 
 
Inicialmente, a criança vai contar os resultados, mas o professor deverá mostrar, 
por meio da apresentação, usando diversas quantidades de objetos, a regularidade. Ou 
seja: é a multiplicação das quantidades de cada coleção. No exemplo, faz-se: 4 x 2 = 8. A 
criança precisa do concreto, para depois passar para o abstrato. 
 
Algoritmo da multiplicação 
 
Depois de dominar os fatos básicos, as crianças precisam ser expostas a situações 
mais complexas para que evoluam. Seguem exemplos de diversas possibilidades para a 
construção do entendimento e de soluções na multiplicação, que a princípio devem ser 
apresentadas a elas em material concreto. Nesse caso, utilizamos o material dourado. Por 
exemplo: 13 x 4. 
 
Figura – Material dourado: a compreensão do algoritmo 
 
Disponível em: http://educar.sc.usp.br/matematica/m3p2t5.htm. Acesso em: 13/02/2019 
 
42 
 
Pode-se fazer decomposição: 
 Por soma de parcelas: 13 + 13 + 13 + 13 = 52 (pode ser usado o algoritmo da 
soma); 10 + 3 + 10 + 3 + 10 + 3 + 10 + 3 = somando as dezenas e as unidades, tem-se: 
40 + 12= 52; 
 Por multiplicação da parcela decomposta: (10 + 3) x 4 = 40 + 12 = 52; 
 Pelo algoritmo; 
 
 
As situações devem ser analisadas junto com as crianças para que, ao chegar ao 
algoritmo, elas tenham construído o significado da operação. A divisão também encerra 
duas ideias: a divisão-repartição e divisão-comparação ou medida. 
 
Divisão-repartição 
 
A ação de repartir se encontra em situações nas quais é conhecido o número de 
grupos que deve ser formado com certo total de objetos e é preciso determinar a 
quantidade de objetos de cada grupo. Por exemplo: 
 Carlos guarda suas bolas de gude em uma caixinha dividida em 6 espaços. Se 
ele tem 18 bolas, pergunta-se: quantas bolas haverá em cada espaço? 
Nesse tipo de situação, a criança pode optar por distribuir as 18 bolas nas caixas, 
uma em cada orifício, até esgotar as bolinhas. A intervenção do professor deve ser no 
sentido de fazê-la perceber que ficaram 3 bolinhas em cada orifício. Isso se ela não 
perceber sozinha. Após a atividade concreta, ou em conjunto com ela, apresenta-se o 
cálculo, utilizando-se diversos procedimentos, como por desenhos, esquemas e algoritmo. 
 
Divisão-comparação ou medida 
 
Envolve situações nas quais é preciso saber quantos grupos são formados com 
certo total de objetos, sendo conhecida a quantidade que cada grupo deve ter. Por 
exemplo: 18 bolas serão separadas em subconjuntos de 3 bolas cada um. Quantos 
conjuntos serão feitos? 
Neste caso, a criança não tem a caixa, pois esta já tem os 6 orifícios, então essa 
situação não constituiriaum problema para ela. Assim, inicialmente a criança tem as 18 
bolas (ou qualquer outro objeto) sobre a carteira e sabe que deve formar grupinhos de 3 
 
43 
bolas. Espera-se que ela aplique a estratégia de separar as bolinhas de 3 em 3 e contar a 
quantidade de grupos formados. O professor deve, então, por meio de questionamentos, 
sistematizar a operação utilizando diversos procedimentos. Durante a atividade, qualquer 
estratégia utilizada pelas crianças deve ser discutida socialmente e os alunos devem ser 
estimulados a fazer vários procedimentos para enriquecer as possibilidades de raciocínio. 
 
 
 
Algoritmo da divisão 
 
Depois de dominar os fatos básicos da divisão, as crianças precisam ser expostas 
a situações mais complexas para que evoluam. Observe o exemplo que segue e as 
diversas possibilidades de soluções que devem ser apresentadas aos alunos. Exemplo: 
dividir 798 : 6 
 
Figura 
 
Disponível em: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4p2t6.htm. Acesso em: 14/02/2019 
 
Para dividir, separam-se à esquerda do dividendo tantos algarismos quantos haja 
no divisor, ou mais um, se o número que resultar for menor que o divisor. Em seguida, faz-
se a divisão desse primeiro dividendo parcial por todo o divisor, obtendo-se assim o 
primeiro algarismo do quociente e o primeiro resto parcial. À direita do resto dessa divisão 
parcial, acrescenta-se o algarismo do dividendo total, formando o segundo dividendo 
parcial, que se divide pelo divisor para obter-se o segundo resto parcial. Continua-se assim 
até esgotar os algarismos do dividendo. 
 
 
44 
Figura 
 
Disponível em: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4p2t6.htm. Acesso em: 14/02/2019 
 
Como é possível observar, a compreensão do algoritmo da divisão não é simples, 
pois depende da compreensão do sistema de numeração, do domínio da subtração e da 
experiência com estimativas e cálculo mental. Por isso, é necessário um trabalho rico em 
atividades em contextos diferentes e de interesse das crianças. É o desenvolvimento de 
diversas atividades e procedimentos que dará a elas oportunidade de se sentirem seguras 
para enfrentar problemas que envolvem a divisão. 
Hoje há um largo consenso de que o cálculo mental é muito importante para o 
conhecimento dos números. Há inúmeros motivos que justificam o emprego do cálculo 
mental: ele auxilia no desenvolvimento da atenção, da concentração e da memória. 
Permite ainda que as crianças desenvolvam seus próprios procedimentos de cálculos, não 
se limitando a um único processo, o que as torna mais autônomas, pois têm maior 
liberdade de escolher caminhos para obter soluções para um problema. Além disso, ele 
possibilita compreender com mais facilidade técnicas de cálculo. 
E o mais importante, estimula o raciocínio, uma vez que, para as crianças, há 
sempre um desafio, isto é, a procura do melhor procedimento de cálculo. As crianças que 
dominam técnicas de cálculo mental demonstram, em geral, mais segurança ao resolver 
situações-problema do dia a dia (FREITAS et al., 2010). 
O estudo do cálculo mental deve permear todo o Ciclo I do Ensino Fundamental. 
Inicialmente, as crianças podem usar os dedos ou outros materiais de manipulação, como 
tampinhas, grãos, ou material dourado. Contudo, à medida que os números crescem, elas 
devem ser estimuladas a descobrir as propriedades e desenvolver maneiras mais práticas 
e eficientes para efetuar cálculos. 
 
6.6 Metodologias para o ensino de matemática na educação de jovens e 
adultos 
 
A educação de jovens e adultos é uma modalidade de ensino que atende às 
pessoas com mais de 15 anos, dando-lhes a oportunidade de retomar sua formação, no 
ensino fundamental ou médio. 
A proposição de práticas pedagógicas e a organização curricular para o público da 
Escola de Jovens e Adultos (EJA) devem levar em conta o modo particular de ser desses 
alunos, de sua cultura, valores, interesses e vivências. 
O parecer n.º 11 de maio de 2000 do CNE considera que a educação de jovens e 
adultos tem a função de reparar um direito que lhes foi negado: o de uma escola de 
 
45 
qualidade; de igualdade de oportunidades no mundo do trabalho e em todos os aspectos 
da vida social, e garantir ainda acesso à educação permanente, considerando a 
incompletude do ser humano. 
As recomendações para a educação de jovens e adultos supõem a consideração 
de alguns princípios: 
 Sua inserção num modelo educacional inovador e de qualidade, orientado para 
a formação de cidadãos democráticos, sujeitos de sua ação, valendo-se de educadores 
que tenham formação permanente como respaldo da qualidade de sua atuação; 
 Currículo variado, que respeite a diversidade de etnias, de manifestações 
regionais e da cultura popular, cujo conhecimento seja concebido como uma construção 
social fundada na interação entre a teoria e a prática e o processo de ensino e 
aprendizagem como uma relação de ampliação de saberes; 
 A educação de jovens e adultos deve abordar conteúdos básicos, 
disponibilizando os bens socioculturais acumulados pela humanidade; 
 As modernas tecnologias de comunicação existentes devem ser colocadas à 
disposição da melhoria da atuação dos educadores; 
 A articulação da educação de jovens e adultos à formação profissional, no atual 
estágio de desenvolvimento da globalização da economia, marcada por paradigma de 
organização do trabalho, não pode ser vista de forma instrumental, mas exige um modelo 
educacional voltado para a formação do cidadão e do ser humano em todas as suas 
dimensões; 
 O respeito aos conhecimentos construídos pelos jovens e adultos em sua vida 
cotidiana. 
A prática pedagógica na educação de jovens e adultos pressupõe um ensino na 
perspectiva da resolução de problemas, considerando os conhecimentos que os alunos 
trazem e diversificando as estratégias metodológicas de acordo com os conteúdos e 
necessidades dos grupos de alunos. 
Essa dinâmica requer uma prática reflexiva. Particularmente, os professores de 
matemática devem problematizar o que ensinam, buscando a compreensão dos alunos 
em meio a um processo contínuo de construção dos saberes. Os alunos devem ser 
levados a um processo de desequilíbrio e equilíbrio sobre o que pensam saber de suas 
vivências, para chegar ao conhecimento sistematizado, sem, contudo, desvalorizar sua 
cultura, suas crenças e seus saberes. 
Para garantir essa reflexão, é necessário promover atividades que partam do 
cotidiano. Podem ser as experiências culinárias, aproveitar a profissão do aluno para 
aproveitar as situações que ele vive diariamente e propor o uso da calculadora de forma 
funcional e mais aplicada aos cálculos que na vida social não fazemos no papel e sim com 
auxílio do instrumento. 
A avaliação na educação de jovens e adultos é contínua e cumulativa, prevalecendo 
os aspectos qualitativos. Contudo, pesquisas mostram que o sistema educativo não tem 
tratado o público da EJA com uma escola de qualidade, como lhes é devida, dispensando-
lhe tratamento diferente daquele dado ao ensino regular no que se refere aos benefícios e 
benfeitorias. 
 
 
46 
6.7 Números racionais 
 
Os números racionais, na forma decimal, fazem parte da vida da criança desde 
cedo, devido, sobretudo, ao uso do dinheiro. Mesmo se a criança não conhece, 
formalmente, ela sabe identificar quanto é, por exemplo, um real e vinte centavos, 
cinquenta centavos etc. Ela, certamente, já tomou contato com registros decimais em 
jornais, televisão ou folhetos com preços de produtos. Ou seja, os números decimais são 
mais familiares para as crianças do que as frações. Contudo, conforme Freitas (2010), na 
prática pedagógica é comum os números fracionários serem apresentados primeiro e só 
depois os decimais. Na perspectiva desse pesquisador, o estudo do número na forma 
decimal pode ser feitoconjuntamente com o das frações com o uso do material dourado. 
Esta pode ser uma atividade interessante em função da familiaridade dos alunos 
com o material. Várias relações podem ser feitas: 
 
 
Disponível em: https://www.estudokids.com.br/numeros-racionais-o-que-sao-numeros-
positivos-e-negativos/ 
 
Quantidades: 
1 10 100 1000 
Representação de cada quantidade em relação ao todo: 
 1000
1
= 0,001 1000
10
 = 0,01 1000
100
 = 0,1 1000
1000
 = 1 
 
Entretanto, existe um consenso na educação matemática de que o primeiro contato 
dos alunos com os números racionais, no espaço escolar, seja em situações reais, nas 
quais eles percebam que dificilmente uma unidade de medida cabe em um número exato 
de vezes na grandeza medida. O sistema monetário também é recomendado para o ensino 
dos números decimais, pois é familiar às crianças. 
 
47 
No que se refere ao estudo das frações, a situação na qual os alunos fazem 
medições, discutem resultados, elaboram hipóteses é facilmente executável na própria 
sala de aula ou na escola e constitui uma forma de construir o conceito de fração de forma 
significativa, conforme Lima (1989). Também é considerado fundamental que os alunos 
tenham contato com os vários significados que a fração tem, conforme explicitado a seguir: 
 
 
Números Racionais 
Disponível em: <https://www.estudokids.com.br/numeros-racionais-o-que-sao-numeros-
positivos-e-negativos/>. 
 
6.7.1 Fração 
 
Este significado está presente na situação apresentada anteriormente com o 
material dourado, ou seja, é o número de partes tomadas do número total de partes. A 
ação da criança nesse caso é analisar a equivalência e a ordem da fração por meio da 
percepção. Tais ações levam os alunos a desenvolverem seus raciocínios sobre fração 
baseados principalmente na percepção em detrimento das relações lógico-matemáticas 
nela envolvidas. 
Esse significado está em situações onde (m) é a parte e (n) o total de partes e cada 
parte poderá ser representada com 
n
m
. No exemplo com material dourado apresentado 
anteriormente, pode-se tomar para análise os cubos menores; tomando um deles e 
comparando-o com o total tem-se 
1000
1
, ou seja, é um cubo em um total de 1000 cubos. 
Agora, tomando-se para análise uma barra (com 10 quadradinhos), tem-se 
1000
10
, ou seja, 
são 10 cubos em um total de 1000 cubos e assim por diante. 
 
 
 
48 
Fração com significado número 
 
A fração tem esse significado quando é tomado como 
b
a
, expressando um número 
na reta numérica. Nesse caso, é preciso que ela seja compreendida como um número e 
não como dois números um sobre o outro. Por exemplo, o número 
2
3
 está localizado na 
reta numérica, entre 1 e 2. No processo de ensino e aprendizagem com crianças do 
primeiro ciclo, vemos como fundamental o trabalho conjunto com a representação 
fracionária e a decimal, já que esta última é de fácil localização na reta numérica. 
Essa concepção está presente no exemplo dado para iniciar o trabalho com as 
frações, ou seja, na ideia de que algumas grandezas, ao serem medidas, não são 
expressas por números inteiros. 
 
Fração como medida 
 
Está presente nesse significado a ideia de dividir uma unidade em partes iguais 
(subunidades) e observar quantas dessas partes caberão naquela que se quer medir. 
Exemplo: numa lata cabem 13 litros de líquido. Quantos copos de 2 litros é preciso para 
enchê-la? 
 
Fração com significado de operador multiplicativo 
 
Esse significado está associado a um papel de transformação, isto é, uma ação que 
se deve imprimir sobre um número transformando o seu valor nesse processo. Ou seja, a 
fração é um multiplicador do número inteiro que o transforma. Exemplo: nas férias 
passadas, 
3
2
 dos 27 alunos viajaram. Quantos alunos viajaram nas férias? Para 
responder essa pergunta, deve-se fazer: 
3
2
 x 27 = 18. Daí a ideia de operador 
multiplicativo. 
 
Fração com significado de quociente 
 
Esse significado está presente em situações associadas às ideias de partição ou 
divisão, em que o quociente representa o tamanho de cada grupo e quando se conhece o 
número de grupos a serem formados. Exemplo: dividir três chocolates igualmente para 
quatro pessoas, que fração representa o que cada um irá receber? Conforme Magina 
(2010), situações com esse significado: 
 
49 
 
Podem ser usadas para as crianças se apropriarem do invariante de ordenação 
das frações por meio do raciocínio lógico: quanto mais crianças para dividirem o 
bolo, menor o pedaço de bolo que cada uma receberá. Esta relação inversa entre 
o divisor e o quociente poderia ajudar as crianças a entenderem que quanto maior 
o denominador, menor a parte. […] poderia também usar a razão para ajudar as 
crianças a entenderem o invariante de equivalência de frações: dada uma mesma 
razão entre crianças e bolos, a fração correspondente será equivalente, mesmo 
que o número de bolos e crianças possa diferir nos exemplos. 
 
É preciso considerar ainda que a compreensão do conceito de números racionais, 
na forma fracionária, exige que a criança tenha adquirido a conservação de quantidade 
contínua (área, comprimento, volume etc.) e discreta (grupo de objetos), o que 
compreende, conforme Lima (1989), “a conservação de quantidade (contínua ou discreta) 
permanece invariável, enquanto outros aspectos (forma, posição etc.) se modificam” 
(LIMA, 1989, p. 82). 
 
 
Disponível em: https://www.hypeness.com.br/2015/12/professor-usa-pecas-de-lego-para-ensinar-
matematica/ 
 
Existem muitos jogos para consolidar o conceito de fração, o que pode ser 
motivador para despertar as crianças a participarem do processo de ensino e 
aprendizagem. Alguns jogos estão disponíveis na web e nos livros didáticos, como o 
dominó de frações. 
Juntamente com o estudo das frações, é possível trabalhar a porcentagem, já que 
essa é uma fração cujo denominador é 100. Assim, podem-se trabalhar as representações 
fracionárias e decimais para chegar à percentual. Essa forma de tratamento pode contribuir 
para a criança atribuir significado às representações. Por exemplo: em uma sala de aula, 
dos 30 alunos, 10 faltaram na véspera do feriado. Qual a porcentagem de alunos que 
faltaram? Para chegar a um resultado, pode-se fazer: 30
15
 = 0,5 x 100 = 50%. O trabalho 
com porcentagens pode ser enriquecido com textos de revistas ou jornais, nos quais elas 
aparecem em contextos que podem despertar o interesse dos alunos e ajudá-los a 
compreender a importância deste conceito. 
 
50 
6.8 Tratamento da informação 
 
 Ler e interpretar diferentes textos em diferentes linguagens; 
 Analisar e interpretar informações, fatos e ideias; 
 Ser capaz de coletar e organizar informações, além de estabelecer relações, 
formular perguntas; 
 Selecionar e mobilizar informações. 
São habilidades básicas para o exercício da cidadania. 
Os PCNs propõem para o primeiro ciclo a introdução de noções de probabilidade, 
estatística e análise combinatória, tendo por objetivo despertar na criança o espírito de 
investigação e a capacidade de organização de informações, além da interpretação de 
dados. 
Inúmeras informações divulgadas incluem dados numéricos (índices, taxas, 
porcentagens, valores em dinheiro etc.). Há um ramo da matemática, a estatística, que 
visa organizar, resumir, apresentar e interpretar as informações. A estatística trabalha com 
médias, porcentagens, tabelas, gráficos etc. 
Nesse caso, as intervenções do professor podem se dar, inicialmente, com análise 
e discussão sobre informações veiculadas nos jornais, nas revistas ou na televisão, para 
que as crianças aprendam a ler e a interpretar as informações estatísticasveiculadas por 
meio de tabelas, gráficos simples, porcentagens etc. 
Contudo, as atividades investigativas, nas quais as crianças participam ativamente 
do processo de ensino e aprendizagem, podem ser executadas com relativa tranquilidade 
na própria sala de aula, com temas de interesse deles. A população de estudo podem ser 
os alunos da própria escola. Nesse tipo de atividade, podem-se desenvolver na criança 
diversas habilidades e raciocínios em função do caráter interdisciplinar da estatística. Um 
projeto, por exemplo, pode ser desenvolvido abrangendo diversos conteúdos da 
matemática (probabilidade, combinatória, porcentagem, geometria) e de outras disciplinas, 
de acordo com o tema. Em seu projeto de mestrado, Sousa (2010) desenvolve uma 
pesquisa com crianças da educação infantil, observando a construção do conhecimento 
estatístico por meio de um projeto de investigação estatística. Esse projeto também pode 
ser implantado com turmas do ensino fundamental, ampliando e aprofundando conceitos 
de forma significativa. 
 
Os gráficos 
 
Os gráficos são utilizados para visualização e interpretação de informações e 
dados. Eles são uma representação constituída por formas geométricas e sua origem está 
em dados numéricos resultantes de pesquisas, organizados em uma tabela. 
São classificados segundo sua forma: COLUNAS – BARRAS – LINHAS – 
SETORES 
 
 
 
51 
6.9 Geometria, grandezas e medidas 
 
Em sua vivência fora da escola, a criança tem contato com embalagens de diversos 
tamanhos e formatos, como caixas, bolas e outros objetos que podem ser explorados para 
a construção do pensamento geométrico. 
A geometria plana deve ser introduzida a partir do estudo da geometria espacial, já 
que o mundo em que vivemos é tridimensional. Portanto, a geometria espacial é muito 
mais natural para a criança, e a plana, por ser muito mais abstrata, exige mais raciocínio. 
Desse modo, é razoável iniciar o estudo pela exploração de objetos conhecidos das 
crianças, como as caixas, que servem não somente para trabalhar a geometria espacial 
como a plana, uma vez que podem ser manuseadas, recortadas, planificadas e então têm-
se exemplos de polígonos e segmentos de reta. 
Nesse sentido, é possível trabalhar com embalagens que podem ser trazidas pelas 
crianças; elas podem fazer coleções de acordo com os formatos, o que favorece a 
compreensão de agrupamentos e as familiariza com as diversas formas geométricas. 
Existe um equívoco no ensino de geometria, por parte de professores, 
pesquisadores e livros didáticos, no que se refere à consideração de uma embalagem 
como um sólido geométrico. Em verdade ela não o é, já que tem “espaço” dentro dela, ou 
seja, ela é “oca”; o que se pode dizer é que uma embalagem tem o formato do sólido, 
apenas isso. Para trabalhar com a ideia de sólido geométrico, existem modelos prontos 
em diversos materiais, mas também podem ser feitos com massa de modelar ou trabalhar 
com barras de sabão, pois elas podem ser cortadas para fazer decomposições ou 
transformações. 
A História da matemática pode ser um recurso eficiente para o estudo dos conceitos 
de perímetro e área, partindo das formas de medir terras, usadas por civilizações antigas. 
A modelagem matemática também é um recurso interessante para o estudo da geometria, 
já que com ela os alunos são ativos no processo e a própria escola pode servir de cenário 
no processo investigativo, no qual o objetivo pode ser verificar o espaço (área) que cada 
aluno ocupa na sala de aula, por exemplo. Alguns jogos também são boas opções de 
desenvolver o pensamento geométrico, como o tangram. 
Medir nada mais é que comparar grandezas de mesma natureza. A compreensão 
deste tema constitui um dos objetivos da escola por ser necessário à compreensão do 
mundo. Em muitos momentos estamos envoltos em situações em que é preciso fazer 
medições, compreender processos de medições e encontrar medidas apropriadas para 
uma grandeza. É evidente então que as grandezas e medidas são ferramentas 
fundamentais para se apropriar do conhecimento tecnológico e científico. 
Grandeza é o nome dado a alguma coisa que pode ser medida. Uma delas é o 
comprimento, usado para saber a altura de uma parede, por exemplo. Já quando se 
menciona algo que seja leve ou pesado, refere-se à grandeza massa. Para saber se 
alguma coisa está quente ou fria, a grandeza correspondente é a temperatura etc. 
O professor deve tomar como ponto de partida para o desenvolvimento do estudo 
o conhecimento que os alunos já possuem de suas vivências e do estudo de séries 
anteriores. Contudo, para saber quais são os conceitos e com que profundidade eles foram 
assimilados, é preciso promover situações-problema, nas quais os alunos precisem utilizar 
seus conhecimentos prévios sobre o tema. Nesse processo, é importante observar que 
ações precisam ser tomadas para auxiliar os estudantes na sua evolução, levando em 
 
52 
conta, no processo de ensino e aprendizagem, alguns aspectos fundamentais em relação 
ao processo de medição: 
 Escolher uma unidade adequada para o objeto a ser medido, ou seja, para medir 
comprimento de um objeto usa-se o metro, a quantidade de um líquido, o metro cúbico, a 
área de um terreno, o metro quadrado, o tempo, o relógio, o valor de um serviço em moeda 
e assim por diante. 
 A unidade escolhida arbitrariamente deve ser da mesma natureza do atributo 
medido e levar em conta o tamanho do objeto a ser medido e a precisão pretendida. Ou 
seja, é imprescindível a compreensão de que cada unidade de medida tem seus múltiplos 
e submúltiplos e que os instrumentos de medição também devem ser adequados para 
cada um deles. Por exemplo, seria muito difícil medir a distância da escola até a casa dos 
alunos com uma régua, apesar de ela ser um instrumento de medida linear (comprimento). 
Nesse caso, seria preciso um instrumento com uma unidade maior, como uma fita métrica, 
ou uma trena, por exemplo. 
 Quanto maior o tamanho da unidade, menor é o número de vezes que ela será 
utilizada para medir um objeto. Tomando como referência o exemplo da distância da escola 
à casa de um aluno, podem-se questionar quantas vezes o submúltiplo do metro (cm) com 
o qual a régua é graduada caberia nessa distância. 
Para que a criança construa significado para as medidas, ela precisa vivenciar 
experiências significativas, participando ativamente do processo, dividindo com seus 
colegas e professor suas percepções, observando as dos outros. Por isso, metodologias 
como a modelagem matemática e a resolução de problemas numa perspectiva 
investigativa são propícias para o estudo, em verdade, acreditamos que sejam 
fundamentais. 
Em seu cotidiano, as crianças se deparam com termos e situações que envolvem 
medidas. Termos como perto, longe, grande, pequeno, quente, frio, alto, baixo, são 
comuns nas falas das pessoas no meio social das crianças e refletem aspectos das 
medidas. As atividades planejadas com o intuito de desenvolver os conceitos matemáticos 
devem levar em conta a vivência que os alunos trazem e ampliar as possibilidades de eles 
evoluírem nesse conhecimento. 
 
 
53 
 
Exemplo de aplicação 
Estimar a medida de grandezas 
Todos os objetos estão cheios de água. 
 
Disponível em: https://novaescola.org.br/conteudo/317/prova-brasil-de-matematica-5-ano-grandezas-e-medidas 
 
Qual deles pode conter exatamente 1 litro de água? 
 
(A) A caneca. 
(B) A jarra. 
(C) O garrafão. 
(D) O tambor. 
 
Análise: o caminho é identificar grandezas mensuráveis que fazem parte do dia a dia e 
conhecer unidades de medida, no caso, o litro. 
 
Orientações: desafios contextualizados – baseados nas práticas adquiridas pelas crianças 
na convivência social –, nos quais se analisa em que circunstâncias as estimativas são 
mais ou menos precisas, são ideais.Por exemplo: pergunte quantas laranjas são 
necessárias para obter 1 quilo. Alguns dirão que depende do tamanho. Se forem grandes 
e pesadas, seis. Se forem menores, oito. Dessa forma, essa habilidade vai se ampliando. 
 
É fundamental que as crianças conheçam (manipulando/usando) os diversos 
instrumentos de medida convencionais (fita métrica ou régua, relógio, balança) e não 
convencionais (palmo e/ou passos, braços etc.). Sugere-se que no início se utilizem as 
medidas não convencionais para que percebam a necessidade de padronização. 
Na abordagem de qualquer conteúdo, o professor deve atentar para o 
conhecimento prévio de cada estudante, já que a maioria deles já viu alguém usar algum 
 
54 
tipo de medida. Por isso, é pertinente partir da realidade da comunidade com a qual se 
trabalha. Realize investigações para saber quais as medidas usadas pelos pais dos alunos, 
se são braças, polegadas, léguas etc. Para contemplar as diversas formas de medidas, 
tais como: unidade de tempo, no caso, horas, dias, mês e ano, podemos construir e 
acompanhar um calendário que pode ajudar as crianças a se familiarizarem com ele e 
compreenderem o seu significado. 
Quanto à medida de massa, o grama e seus múltiplos e submúltiplos, é possível 
promover diversas situações-problema interessantes nas quais a criança experimenta o 
instrumento de medida, a balança, com objetos de diversos materiais e tamanhos, fazendo 
comparações entre as massas de objetos, dos colegas e a própria. Essa atividade pode 
ser propícia para explorar a noção de estimativa, tomando como referências os objetos e 
pessoas do meio em que as crianças vivem. Algumas indagações possíveis são: 
 Associadas à ideia de transformação, ou seja, alteração de um estado inicial, 
que pode ser positiva ou negativa; 
Exemplo: 
1. Há um ano, Carlos media 1,57 m. Nesse último ano, ele cresceu 0,12 m. Qual 
é a altura de Carlos hoje? 
Essa situação pode gerar outras, conforme exemplos abaixo: 
2. Hoje, Carlos mede 1,83 m de altura. Nesse último ano, ele cresceu 7 cm. Qual 
era sua altura há um ano? 
3. Há um ano, a altura de Carlos era de 1,67 m e hoje é de 1,76 m. Quanto ele 
cresceu nesse último ano? 
 Associadas à ideia de comparação; 
Exemplos de transformação e comparação (BRASIL, 1998b, p. 108): 
1. Carlos pesa 65,5 kg e Paulo 7,5 kg a mais que Carlos. Qual é o peso de Paulo? 
Alterando-se a formulação do problema e a proposição da pergunta, podemos gerar 
várias outras situações. Exemplos: 
2. Carlos está pesando 87 kg e Paulo 76 kg. Qual é a diferença de peso entre 
eles? 
3. Carlos pesa 54 kg e Paulo pesa 7 kg a menos que Carlos. Qual é o peso de 
Paulo? 
 
É imprescindível que as crianças façam comparações e reflexões sobre os 
resultados observados nas experiências para socializar impressões ou dúvidas e 
consolidar os conhecimentos adquiridos. A atividade acima pode ser replicada em sala de 
aula utilizando-se a altura e/ou a massa de alguns alunos, envolvendo-os numa situação 
real. 
Outra grandeza que as crianças têm contato no seu dia a dia é o dinheiro. Como o 
dinheiro representa o valor dos objetos, dos serviços e do trabalho, é possível estabelecer 
várias relações referentes a números e medidas. Conforme o referencial curricular: 
As cédulas e moedas têm um valor convencional, constituindo-se em rico material 
que atende a várias finalidades didáticas, como fazer trocas, comparar valores, fazer 
operações, resolver problemas e visualizar características da representação dos números 
 
55 
naturais e dos números decimais. Além disso, o uso do dinheiro constitui-se uma 
oportunidade que por si só incentiva a contagem, o cálculo mental e o cálculo estimativo 
(BRASIL, 1998, p. 229). 
São muitas as situações-problema possíveis usando o dinheiro, considerando, 
claro, o nível cognitivo das crianças, como no exemplo apresentado a seguir. 
 
1. Luís quer comprar uma camisa do Brasil que custa R$ 58,00, mas ele só 
tem R$ 23,00. Quanto ele precisa para comprar a camisa? 
Assim, no que se refere a grandezas e medidas, as atividades propostas devem 
propiciar a compreensão do processo de medição como uma comparação de grandezas. 
 
6.10 Espaço e forma 
 
A criança constrói suas primeiras noções espaciais por meio dos sentidos e 
movimentos, de acordo com seu meio, ou seja, de sua vivência. As experiências da criança 
com os diversos objetos devem ser multiplicadas para que ela possa construir uma rede 
de conhecimentos relativos ao pensamento geométrico, desenvolvendo a visualização 
para posterior abstração. Os conteúdos referentes a esse bloco na educação infantil são, 
conforme o referencial curricular nacional: 
 Explicitação e/ou representação da posição de pessoas e objetos, utilizando 
vocabulário pertinente nos jogos, nas brincadeiras e nas diversas situações nas quais as 
crianças considerarem necessária essa ação; 
 Exploração e identificação de propriedades geométricas de objetos e figuras, 
como formas, tipos de contorno, bidimensionalidade, tridimensionalidade, faces planas, 
lados retos etc.; 
 Representações bidimensionais e tridimensionais de objetos; 
 Identificação de pontos de referência para situar-se e deslocar-se no espaço; 
 Descrição e representação de pequenos percursos e trajetos, observando 
pontos de referência; 
Para desenvolver o pensamento geométrico das crianças nas séries iniciais, elas 
precisam ser expostas a situações ricas e provocadoras para incentivá-las a evoluir suas 
percepções. Por isso, é fundamental propor atividades em que a criança estabeleça pontos 
de referência a sua volta para efeitos de localização, pois para orientar-se no espaço é 
preciso começar por se orientar a partir de seu próprio corpo. Conforme o Referencial 
Curricular para Educação Infantil: 
As relações espaciais entre os objetos envolvem noções de orientação, como 
proximidade, interioridade e direcionalidade. Para determinar a posição de uma pessoa ou 
de um objeto no espaço, é preciso situá-lo em relação a uma referência, seja ela outros 
objetos, pessoas etc., parados ou em movimentação (BRASIL, 1998, p. 23). 
Assim, é vivenciando situações que explorem o espaço ao seu redor que as 
crianças evoluirão para coordenar suas ações e percepções e coordenar seus 
movimentos, o que lhes permitirá a construção de sistemas de referências mentais mais 
 
56 
amplos e lhes possibilitará “estreitarem a relação entre o observado e o representado” 
(BRASIL, 1998, p. 230). 
Esse documento destaca a necessidade de proporcionar às crianças a exploração 
espacial em três perspectivas: as relações espaciais contidas no objeto, que podem ser 
percebidas na manipulação deste; relações espaciais entre os objetos, que são aquelas 
que envolvem “noção de orientação” no que se refere à proximidade, interioridade e 
direcionalidade, o que exige a noção de referência; e, por fim, as relações ocorridas nos 
deslocamentos, que envolvem a noção de distância, de tempo etc. 
 
 
57 
 Exemplo de aplicação – Espaço e forma 
 
Localizar objetos e pontos numa cena ou num mapa 
O brinquedo preferido de João está no seu lado esquerdo. Qual é o brinquedo 
preferido do João? 
 
a) Peteca. 
b) Pipa. 
c) Bola. 
d) Bicicleta. 
 
 
Para se apropriar das características dos objetos, as crianças deverão manuseá-
los, analisando-os e comparando-os. Nessa exploração, elas observam as propriedades 
reais do objeto, para depois abstrair suas formas e propriedades. Contudo, essa 
exploração deve ser estimulada pelo professor em situações planejadas com objetivos 
claros. Após a familiarização com os objetos pelas crianças, estas deverão ser expostas a 
situações em que tenham que construí-los das diversas formas possíveis: desenho, recorte 
de papel, colagens, dobraduras, modelos em massa de modelar,argila etc. 
Por meio da experimentação, as crianças começam a discernir as características 
de um objeto e a usar as propriedades para formar conjuntos, como: objetos redondos, 
com três lados, com quatro lados, os vermelhos etc. 
 
 
58 
 
Saiba mais sobre outros Descritores em: 
http://internas.netname.com.br/arquivos/telesala/DESCRITORES-DE-
MATEMATICA_5O_ANO_25E26_05_11-EFI.pdf – Acesso em: 24.02.19 
 
6.11 Metodologias para o ensino de matemática utilizando jogos 
 
Neste item, explicitaremos como o jogo pode ser utilizado para enriquecer as aulas 
e envolver os alunos na construção lúdica e alegre do conhecimento matemático, tendo o 
cuidado de transmitir a história e/ou lenda que despertar a curiosidade do educando. 
 
6.11.1 Torre de Hanói 
 
Na busca de subsídio para a utilização da Torre de Hanói como instrumento de 
aprendizagem em matemática, mais especificamente no desenvolvimento do conceito de 
potenciação, encontramos um livro do professor Nilson José Machado (1992), com o texto 
O jogo como alegoria: a parábola da Torre de Hanói, onde ele cita o poeta inglês C. Lamb 
(1775-1834) com a frase “o homem é um animal que joga”, entendemos que há 
necessidade de explorar essa possível definição do homem para ilustrar a importância da 
dimensão alegórica do jogo e do envolvimento do homem com o outro. 
Disponível em: https://www.revivaviver.com/torre-de-hanoi-um-jogo-educativo-e-
pedagogico 
 
Na sala de aula, o jogo pode favorecer uma situação onde o aluno se expõe e se 
relaciona com o outro. A atividade didática educativa desenvolvida por meio do jogo pode 
ser lúdica, trazer divertimento, realizar-se na forma de uma brincadeira, utilizar estratégias 
práticas e úteis, ter significado metafórico e uma dimensão alegórica na aceitação de 
desafios em conteúdos escolares, desenvolvendo o sentido amplo da capacidade de 
projetar. Nesse caso, o conhecimento matemático da potência é importante, 
transformando as situações existentes em aula, buscando explicações, deduzindo e 
justificando as ações. 
Esse jogo teve sua origem num mito indiano e foi inventado, ou adaptado, no mundo 
ocidental, pelo matemático Édouard Lucas e vendido como brinquedo em 1883. A Torre 
de Hanói está relacionada a um mito que conta que, no templo de Benares, na Índia, sob 
 
59 
a cúpula que marcava o centro do mundo, existia uma placa de latão com três pinos de 
diamantes. Durante a criação, Brahma colocou 64 discos de ouro puro em um dos pinos, 
tendo tamanhos diferentes, sendo que o maior está sob todos os outros, que são colocados 
em ordem decrescente de tamanho. A torre foi chamada de Torre de Brahma. 
Dia e noite os sacerdotes trocavam os discos de um pino para outro de acordo com 
as leis imutáveis de Brahma, que dizia que o sacerdote do turno não poderia mover mais 
que um disco de cada vez e que o disco fosse colocado no outro pino de maneira, de tal 
modo que o de baixo nunca fosse menor que o de cima. Quando todos os 64 discos 
tivessem sido transferidos do pino que Brahma colocou no dia da Criação para o outro 
pino, o mundo deixaria de existir. Dizem os sábios que o mundo foi criado há 4 bilhões de 
anos, aproximadamente, e os monges, desde a sua criação, estão movendo os discos, na 
razão de 1 disco por segundo. 
Segundo o mito, a vida decorrerá durante a realização de tal tarefa de 
transferência e, antes que os sacerdotes consigam levar a cabo a missão que 
receberam, o templo transformar-se-á em pó e o mundo desaparecerá, com o 
estrondo de um grande trovão (MACHADO, 1992, p. 44). 
O objetivo do jogo é transferir os discos de uma das torres para outra, com o menor 
número de movimentos possíveis. As regras são: movimentar um disco de cada vez, 
colocando sempre um menor em cima do maior. As situações espontâneas dos jogos 
permitem que o aluno se envolva e produza significados para as situações vividas. Nessa 
espontaneidade transparece a competência de aceitar e compreender as regras dos jogos 
para o contexto da aula de matemática. 
Evidenciaremos a dimensão alegórica do jogo diretamente relacionada na 
construção do conhecimento na sala de aula, procurando utilizar a torre como uma fecunda 
parábola, que ilumine alguns aspectos do trabalho docente considerados fundamentais. 
O jogo Torre de Hanói tem a aparência ilusória de simplicidade. Acreditamos que 
seja devido às suas regras serem de fácil entendimento, o que dá a impressão de que, 
intuitivamente, chegaremos ao resultado final em pouco tempo. Uma análise um pouco 
mais detalhada, ou mesmo algumas jogadas, fazem-nos perceber que essa intuição inicial 
é enganosa. Essa análise pode ser conduzida de maneira didática e com a exploração do 
jogo. Com intervenção do professor, a Torre de Hanói pode ser usada como instrumento 
de aprendizado significativo, dando a oportunidade aos alunos de resolverem o problema 
inicialmente proposto, qual seja transferir os discos de um pino para outro, buscando uma 
generalização em relação ao número de discos e a quantidade de movimentos. 
Estimulando a participação, poderemos chegar a conclusões da existência de uma solução 
matemática para o problema, funcionando como motivação para o prosseguimento do ato 
investigativo fundamental à atribuição de significado. 
Em sala de aula, busca-se desenvolver no aluno não só a dimensão do fazer, mas 
especialmente do saber como e porque se faz, ou seja, busca-se desenvolver as 
capacidades crítica e reflexiva. 
 
 
 
60 
6.11.2 Jogo de xadrez 
 
Na contínua busca por subsídios que possam ser utilizados como instrumento de 
aprendizagem em matemática, especificamente no desenvolvimento do conceito de 
potenciação, chegando talvez ao conceito de função, encontramos um recurso no 
conhecido jogo de xadrez. 
 
 
Disponível em: https://cursoestudomemorizacao.com.br/xadrez-aprendizagem/ 
 
Como na Torre de Hanói, o jogo de xadrez será utilizado na pesquisa que busca 
um modo de investigar o pensamento do aluno rumo ao conceito de função. 
No xadrez, há um momento propício, tanto para desenvolver habilidades 
matemáticas, quanto para valorizar as interações sociais. É um jogo elegante, necessita 
de conhecimento e estudo, requer interesse cultural, está cheio de vida e de qualidade, 
engrandecendo, alegrando e distraindo aqueles que por ele se interessam. 
O trabalho com xadrez é multidisciplinar: ajuda na concentração, atenção, tomada 
de decisões, memorização, melhora das habilidades de pensamento, aquisição de um 
senso muito prático de organização e trabalha a imaginação e a paciência. 
As peças que compõem o tabuleiro são: 
8 peões – Podem andar para frente uma casa por vez, só podendo capturar outras 
peças que estão em posições diagonais; 
2 torres – Andam na vertical e na horizontal, podendo andar quantas casas 
quiserem; 
2 cavalos – Andam em forma de L (ou como os especialistas falam: 3×1), podendo 
pular outras peças; 
2 bispos – Andam em diagonais; 
1 rei – Pode fazer movimento das demais peças (exceto do cavalo), porém só anda 
uma casa de cada vez; 
1 rainha – Faz o mesmo movimento do rei, porém pode andar quantas casas quiser. 
 
 
61 
 
Como o xadrez auxilia no processo de aprendizagem e na memorização? 
Saiba mais em: https://cursoestudomemorizacao.com.br/xadrez-aprendizagem/ 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 11: 
O mito da Torre de Hanói afirma que quando todos os 64 discos tiverem sido 
transferidos do pino que Brahma colocou no dia da Criação para o outro pino, o mundo 
deixará de existir. 
 
1Atividade adaptada por Profa. Ma. Nilza dos Santos Rodrigues Cézar. 
Mesmo após 25 anos da publicação da primeira edição de A Criança e o Número 
(128 págs., Ed. Papirus), algumas questões levantadas pela autora, Constance 
Kamii,permanecem atuais e devem ser estudadas pelos educadores que 
trabalham com a Educação Infantil. 
O livro aborda os processos envolvidos na construção do conceito de número pelas 
crianças e ajuda o professor a observar como elas pensam a fim de entender a 
lógica existente nos erros. 
KAMII, Constance. A criança e o número. São Paulo: Ed. Papirus, 1992. 
 
62 
 
 
a) Quantos movimentos são necessários? Com 1 disco? 
b) E com 2 discos? 
c) E com 3 discos? 
d) E com 4 discos? 
 
Registre, na tabela abaixo, o número de movimentos realizados nos itens a, b, 
c e d: 
 
NÚMEROS DE DISCOS 1 2 3 4 
NÚMEROS DE MOVIMENTOS 
 
e) Quando acrescentamos um disco à Torre de Hanói, em quanto aumenta o 
número de movimentos? 
f) Se acrescentar mais um disco à Torre de Hanói, em quanto aumenta o 
número de movimentos? 
g) Se tivermos 7 discos, quantos movimentos mínimos serão necessários 
para mover a Torre de Hanói de um pino para outro? 
h) Se ainda tivermos 8 discos, quantos serão os movimentos mínimos 
necessários para mover a Torre de Hanói de um pino para outro? 
i) Você percebeu se há uma relação entre o número mínimo de jogadas 
necessárias para transportar a Torre de Hanói de um pino para outro e a quantidade 
de discos? 
j) Será que, ao aumentarmos um disco na Torre de Hanói, os movimentos 
realizados com um disco a menor, ou seja, no passo anterior, são importantes? Por 
quê? Você percebeu que para os movimentos temos sempre dois pinos “livres”? 
k) Pensando nisso, você consegue identificar uma relação entre o número 
mínimo de movimentos realizados e a quantidade de discos? Tente escrever uma 
sentença matemática que mostre essa relação. Se preferir construa uma tabela. A 
ideia de função aparece nessa atividade? Justifique. 
 
 
63 
ATIVIDADE 22: 
Jogo de xadrez: 
 
 
a) Na lenda do jogo de xadrez, as casas recebem grão de trigo. Então observe 
a tabela abaixo, descubra a regra da sequência e complete-a: 
 
POSIÇÃO 
DA CASA 
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 
N.º DE 
GRÃOS DE 
TRIGO 
1 2 4 8 
 
b) Quantos grãos de trigo terão na casa de posição 10ª? 
c) Quantos grãos de trigo terão na casa de posição 20ª? 
d) Quantos grãos de trigo terão nas casas de posições 35ª e 48ª? 
e) Quantos grãos de trigo terão numa casa de qualquer posição? 
(Generalize) 
f) Você percebeu uma relação entre o número de grão de trigo e a posição 
da casa no tabuleiro? Que relação é essa? 
g) Você consegue escrever o número de grãos de trigo encontrados nas 
casas do tabuleiro de xadrez na forma de potência? Qual a relação do número de 
grãos de trigo com a posição na casa do tabuleiro de xadrez? 
 
 
 
2Atividade adaptada por Profa. Ma. Nilza dos Santos Rodrigues Cézar. 
 
 
64 
 
 
 
Seguem alguns links de jogos para consultar: 
 
 Disponível em: http://www.somatematica.com.br/jogos/hanoi/ Acesso em: 
10 mar. 2019. 
 Disponível em https://novaescola.org.br/conteudo/4990/7-jogos-virtuais-de-
nova-escola-para-ensinar-matematica. Acesso em: 10 mar. 2109. 
 
Encerramos por aqui os conteúdos da Unidade VI. Aprendeu bastante? Viu 
como são ricos os recursos para fazer com que os alunos fiquem motivados para 
estudar Matemática? 
Então vamos adiante. Agora é hora de avaliar! 
Bom estudo! 
 
 
 
 
65 
VII. AVALIAÇÃO DA MATEMÁTICA E AVALIAÇÃO PSICOPEDAGÓGICA 
 
A avaliação permeia todas as ações ocorridas no processo de ensino e 
aprendizagem. No que se refere às crianças, o professor precisa observar o que e como 
cada criança responde aos problemas propostos, quais significados ela atribui aos 
elementos que lhe são apresentados. 
Os estágios de desenvolvimento humano estudados por Jean Piaget devem ser 
respeitados, devemos saber em qual estágio se encontra nosso aluno: 
 De 0 a 2 anos a criança está no estágio sensor-motor, onde busca adquirir 
coordenação motora e aprender sobre os objetos que a rodeiam. 
 De 2 a 7 anos aproximadamente a criança está no estágio pré-operatório, 
onde adquire a habilidade verbal e simbólica, inicia a nomeação de objetos e raciocina 
intuitivamente, mas ainda não consegue realizar operações propriamente lógicas. 
 De 7 a 12 anos aproximadamente a criança está no estágio operatório 
concreto, onde começa a formar conceitos como os de número e classes, têm lógica 
consistente e habilidade de solucionar problemas concretos. 
 Por último, de 12 anos em diante a criança chega ao estágio operatório 
formal, onde o adolescente começa a raciocinar de forma lógica com enunciados 
puramente verbais (hipóteses). 
As observações feitas pelo professor devem servir para reorientar o trabalho 
pedagógico de forma a garantir a compreensão esperada, ou assinalar pela continuidade 
do planejamento. As práticas e as atividades propostas são avaliadas, pois fazem parte do 
processo, e refletem diretamente na aprendizagem dos alunos. 
Os conteúdos devem ser trabalhados de forma flexível visto que processo de 
aprendizagem para cada criança acontece em tempos diferentes. 
Assim, o objetivo principal da avaliação é acompanhar o desenvolvimento da 
criança frente às atividades propostas no decorrer do processo, considerando as diferentes 
possibilidades de ação e respostas para cada situação proposta, levando em conta o 
tempo para aprender e a forma de ver de cada criança para planejar intervenções e as 
atividades mais assertivas afim de contribuir com o seu desenvolvimento e dar 
oportunidade ao seu aprendizado, tornando-a um cidadão crítico e que exerça seus 
deveres e direitos sociais, profissionais e políticos. 
Como escreve SILVA (2003) citando Karel Kosik: 
Na modificação existencial o sujeito desperta para as próprias potencialidades e as 
escolhe. Não muda o mundo, mas muda a própria posição diante do mundo (SILVA apud 
KOSIK, 2003, p. 88). 
Na concepção pedagógica moderna com base na psicologia genética e no 
socioconstrutivismo, concebe-se a educação como experiência de vivências múltiplas e 
diversificadas, tendo em vista o desenvolvimento motor, cognitivo, emocional e social do 
educando. Nessa abordagem, o educando é um ser ativo e dinâmico que participa da 
construção de seu próprio conhecimento e educar é formar e aprender, é construir o 
próprio saber. 
A avaliação, nessa perspectiva, contempla dimensões que não se reduzem apenas 
em atribuir notas, mas sim em uma dimensão orientadora e cooperativa, pois permite que 
 
66 
o aluno tome consciência de seus avanços e dificuldades para continuar progredindo na 
construção do conhecimento e o professor aperfeiçoe sua prática pedagógica. 
Se o ato de ensinar e aprender incide na realização de mudanças e aquisições de 
novos comportamentos motores, cognitivos, afetivos e sociais, o ato de avaliar consiste 
em verificar se eles estão sendo realmente atingidos e que medidas podem ser tomadas 
para ajudar o aluno a avançar na aprendizagem e na construção do seu saber. 
A avaliação é então um processo de coleta e análise de dados, tendo em vista 
verificarem se os objetivos propostos foram atingidos, respeitando as características 
individuais e o ambiente em que o educando vive, ou seja, a avaliação deve ser integral 
considerando o aluno como um ser total e integrado e não de forma fragmentada. Dessa 
forma, o ato de avaliar deve fornecer elementos que possibilitem verificar o nível de 
aprendizagem dos alunos e, também, indiretamente determinar a qualidade do processo 
de ensino. 
Essa visão está de acordo com a perspectiva dos PCNs que consideram a 
avaliação fundamental para o processo de ensino e aprendizagem, por permitir perceber 
falhas, corrigir caminhos e projetos, valorizar projetos enriquecendo o processo. Ao 
selecionar os instrumentos deavaliação, o professor deve levar em conta todas as 
dimensões d o processo de ensino e aprendizagem, ou seja: atitudes, procedimentos e 
apreensão dos conceitos. 
A avaliação de conceitos acontece por meio de atividades voltadas para a 
apreensão de definições, estabelecimento de relações, reconhecimento de hierarquias, 
uso adequado dos conceitos na resolução de problemas. Enquanto a avaliação de 
procedimentos implica reconhecer como eles são construídos e utilizados. A avaliação de 
atitudes pode ser feita por meio da observação do professor e pela realização de auto 
avaliação. 
 
7.1 A avaliação psicopedagógica 
 
A Psicopedagogia é uma área de conhecimento e de atuação dirigida pelo e 
para o processo de aprendizagem humana. No complexo processo que envolve a 
aprendizagem, revela-se significante a atuação preventiva do psicopedagogo no 
contexto escolar. No contexto escolar, a Psicopedagogia assume um caráter 
preventivo quando promove orientações metodológicas, trabalha com a formação de 
professores, orienta e auxilia a organização das atividades escolares. 
Todo diagnóstico psicopedagógico é uma investigação do que não vai bem com 
o sujeito nas áreas afetiva, cognitiva, social e motora. Nessa investigação, que possui 
especificidade própria, pretende-se descobrir a forma de aprender desse sujeito e 
onde estão os obstáculos e desvios que impedem o sujeito de crescer na 
aprendizagem. 
É um processo que permite ao profissional investigar, levantar hipóteses 
provisórias que serão ou não confirmadas ao longo do processo, recorrendo, para isso 
a conhecimentos práticos e teóricos. Esta investigação permanece durante todo o 
trabalho diagnóstico através de intervenções e da "escuta psicopedagógica…", para 
que "se possa decifrar os processos que dão sentido ao observado e norteiam a 
intervenção". (BOSSA, 2000, p. 24). 
 
67 
O psicopedagogo é como um detetive que busca pistas, procurando solucioná-
las, pois algumas podem ser falsas, outras irrelevantes, mas a sua meta, 
fundamentalmente, é investigar todo o processo de aprendizagem levando em 
consideração a totalidade dos fatores nele envolvidos, para valendo-se desta 
investigação, entender a constituição da dificuldade de aprendizagem. (RUBINSTEIN, 
1987, p. 51). 
Portanto, quando falamos de Avaliação Psicopedagógica devemos levar em 
conta que: 
 Não pode ser considerada como um momento estático, pois é uma 
avaliação do aluno; 
 A Avaliação Psicopedagógica não é meramente um estudo das 
manifestações aparentes que ocorrem no dia a dia escolar; é uma 
investigação profunda acerca das causas e origens das dificuldades de 
aprendizagem; 
 A Avaliação Psicopedagógica é Multidisciplinar. É um trabalho conjunto 
onde todas as pessoas que estão envolvidas com o aluno devem participar 
(família, professor, psicopedagogo, orientador educacional, psicólogo, 
fonoaudiólogo, médico neuropediatra, etc.); 
 Lembrando sempre que o foco/objeto da Avaliação Psicopedagógica é o 
obstáculo ao processo de aprendizagem. 
 
7.1.1 Observações do desempenho lógico-matemático 
 
Devemos avaliar as competências necessárias para aprendizagem da 
matemática, entender as dificuldades, os fatores que dificultam a aprendizagem da 
matemática tem sido um grande desafio, temos que observar como a criança constrói 
sua lógica operatória, e, consequentemente as estruturas mentais dos números e das 
operações elementares: 
 Quantidade 
 Decodificação dos algarismos 
 Representação verbal dos algarismos 
 Processamento numérico e o cálculo 
 
O processamento numérico engloba tanto compreensão numérica, ou seja, o 
entendimento da natureza dos símbolos numéricos e de suas quantidades quanto a 
produção numérica, isto é, a escrita, leitura e contagem de números ou objetos. 
O cálculo se refere ao processamento dos símbolos (p. exemplo +, -, × ou ÷) 
ou palavras (p. exemplo mais, menos, vezes, dividir) operacionais, à recuperação 
junto à memória de longo prazo de fatos aritméticos básicos (p. exemplo tabuada) e à 
execução de procedimentos de cálculos aritméticos. 
A matemática depende de aspectos genéticos, de funções cognitivas que se 
desenvolvem durante a pré-escola e os primeiros anos de escolarização. 
 
68 
 
Na educação infantil, espera-se que a criança tenha desenvolvido: 
 
 Processamento verbal da informação; 
 Compreender instruções: um de cada vez ou um, dois… o que falta, o 
que está a mais, …; 
 Compreender quantidades (alguns, muito, nenhum, pouco, todos, 
quantos sobraram, não há mais, o que restou…); 
 Correspondência um a um; 
 Categorizar: cor – forma – tamanho; 
 Conceito de tamanho (grande, pequeno, maior, menor, gordo, magro); 
 Conceito temporal – primeiro e último; 
 Percepção sensorial; 
 Reconhecimento e produção de números; 
 Representação número/símbolo; 
 Discriminação viso-espacial; 
 Memória de curto e longo prazo; 
 Atenção; 
 Esquemas mentais de: classificação, comparação, conservação, 
correspondência, inclusão, sequenciação e seriação; 
 Compreensão dos conceitos de igual e diferente, curto e longo, grande 
e pequeno, menos que, e mais que; 
 Reconhecer números de 0 a 9; 
 Contagem sequencial até 10; 
 Nomear e reproduzir formas e figuras. 
 
Dificuldades caso não tenha as habilidades acima: 
Problemas em nomear quantidades matemáticas, números, termos, símbolos, 
insucesso ao enumerar objetos reais ou em imagens. A partir de 6 anos espera-se 
que a criança tenha todo conhecimento acima mais: 
 A capacidade de agrupar objetos de 10 em 10; 
 Conheça o conceito numérico de 0 a 99; 
 Saiba qual o sucessor e antecessor; 
 Conhecimento de hora; 
 Capacidade para resolver problemas simples utilizando a estratégias 
próprias; 
 Capacidade de realizar cálculos mentais simples. 
 
69 
 
A partir de 9 anos, que a criança seja capaz de entender: 
 Medidas simples; 
 Nomear o valor do dinheiro; 
 Sistema de Numeração Decimal; 
 Contar de 2 em 2, 5 em 5, 10 em 10; 
 Compreender números ordinais; 
 Resolver problemas simples utilizando cálculos; 
 Executar operações matemáticas básicas; 
 Compreender meios e quartos; 
 Cálculos Mentais. 
 
A partir de 10 anos, que a criança seja capaz de entender tudo acima mais: 
• Frações; 
• Separar e dividir. 
 
Se alguns desses processos acima estiverem comprometidos, a criança terá 
dificuldade em lidar com a matemática com autonomia, com raciocínio, terá dificuldade 
na leitura e escrita dos símbolos matemáticos. 
 
 
7.2 Provas do diagnóstico operatório 
 
“A aprendizagem abre o caminho da vida, do mundo, 
das possibilidades, até de ser feliz”. 
Jorge Visca 
 
As provas de diagnóstico operatório são instrumentos que nos dizem a respeito de 
como a pessoa (criança, adolescente ou adulto) pensa, de como ela organiza seus 
processos de aprendizagem, como faz adaptações, qual a condição que ela apresenta 
para aprender, qual a dimensão cognitiva que ela se encontra. 
Você sabe o que significa Cognição? 
Cognição = Função Psíquica = Cognitivo = Conhecimento 
 
 
 
 
70 
 
 
 
Quando verificamos as Habilidades Cognitivas de alguém, queremos avaliar se 
essa pessoa tem a capacidade de adquirir Conhecimento. 
A cognição é a habilidade que temos para assimilar e processar as informações 
que recebemos de diferentes meios (percepção, experiência, crenças…) para que sejam 
convertidas em conhecimento. A cognição inclui diferentes processos cognitivos, como a 
aprendizagem, atenção, memória, linguagem, raciocínio, tomada de decisões, etc., que 
fazem parte de nosso desenvolvimento intelectual e experiências. 
Disponível em: https://www.cognifit.com/br/cognicao. Acesso em: 23 fev. 2019. 
 
As provasdo Diagnóstico Operatório são utilizadas quando já se estabeleceu certo 
contato entre o entrevistado e o entrevistador, pois é necessário existir uma situação 
agradável na qual aspectos emocionais não interfiram no processo. 
As estratégias do entrevistador como as condutas do entrevistado têm aspectos 
comuns a todas as provas, como por exemplo: a apresentação do material, a indagação 
do vocabulário e a delimitação da intencionalidade. 
Todas as provas apresentam uma estrutura em comum, tanto para administração 
como quanto às estratégias e possíveis condutas do entrevistado. 
O vínculo entre entrevistador e entrevistado é fundamental para aplicação das 
provas. Não se podem utilizar as provas de diagnóstico sem nunca ter lido sobre o tema, 
sem nunca ter ouvido falar de Piaget! 
Você sabia que as provas de diagnóstico operatório não nasceram como provas, 
mas sim como instrumentos de pesquisa construídos por um grupo de pesquisadores? 
De acordo com Piaget (1983), a passagem de um estágio para outro é um processo 
que depende da maturação e da interação da criança com os objetos do meio. Nesse caso, 
quanto maior a diversidade de situações com as quais a criança interagir, mais 
possibilidades de construir relações ela terá. 
Na concepção de Piaget (1983), para passar de um estágio para outro a criança 
deve adquirir e desenvolver o raciocínio lógico inerente ao estágio em que se encontra. 
Contudo, ela não faz a passagem de um estágio para outro sozinha, a criança precisa 
interagir com os objetos do meio. Há que se ter em mente, no entanto, que os objetos com 
os quais ela se envolve no mundo, por si só, não lhe podem fornecer o conhecimento; para 
tanto, a criança precisa ser estimulada a observar, relacionar, tirar conclusões. 
Assim, em cada fase do desenvolvimento, o sujeito está pronto para desenvolver 
alguns raciocínios, mas precisa de estímulo, apesar de ser uma construção do sujeito. O 
conceito de número é um exemplo de conhecimento lógico-matemático e é a base para a 
construção de todo o conhecimento matemático. 
 
71 
A aquisição do conceito de número pela criança passa por diversas etapas de 
construção mental. Embasado nas ideias de Piaget, Brasil (2006) destaca que os 
elementos primordiais para a formação do conceito de números são: 
 Classificação: é a capacidade de observar características comuns em objetos, 
reconhecendo nestes uma determinada classe e usar este conhecimento para estabelecer 
relações lógicas. 
 Seriação/ordenação: forma de ordenar objetos e colocá-los em série. 
Nas séries iniciais, a exploração das habilidades deve partir do lúdico, contudo, 
deve evoluir para situações abstratas. Brasil (2006, p. 36) entende que “estes são 
conceitos primordiais por estarem presentes tanto na noção de número, quanto de medida 
e de geometria”. O documento sugere a promoção de atividades que desenvolvam as 
noções de: inclusão, igualdade, desigualdade, reunião, negação, intersecção, pertinência, 
sequências lógicas, agrupamentos. 
 
7.3 Aplicação das provas operatórias 
 
Criado por Piaget, as provas operatórias partem de um método clínico, de 
conversação livre com a criança sobre um tema dirigido pelo interrogador que segue as 
respostas da criança, que lhe pede que justifique o que diz. 
As provas consistem de uma situação experimental elaborada, a técnica utilizada 
para as provas é basicamente igual a todas. Consta em se interrogar o sujeito frente aos 
fenômenos observáveis e/ou manipuláveis a partir dos quais se leva o sujeito a raciocinar. 
Variam somente segundo a natureza lógica dos problemas ou de fenômenos físicos. 
Os interrogatórios que são feitos a cada prova estão destinados não só a conhecer 
os juízos da criança, que variam em função da idade e do desenvolvimento e também dos 
argumentos que os acompanham. 
Faz-se necessário saber observar e escutar o sujeito, cujas condutas nos reservam 
incessantes surpresas. 
Apresentação dos materiais à criança 
É necessário, antes de iniciar cada prova, que a criança se familiarize com o 
material com que irá trabalhar. Isto lhe permitirá: discriminar melhor os elementos que o 
compõe e diminui o nível de ansiedade que todo material desconhecido suscita. 
Deixar que o sujeito manipule o material o bastante e sugerir: “Me diga o que você 
está vendo, o que tem aqui…? 
Consignas (explicações) 
As perguntas que são formuladas ao sujeito devem ser claras e precisas, assim 
como as explicações iniciais de cada prova, procurando-se que o sujeito entenda bem o 
que deve fazer. Não importa a linguagem usada, mas sim que a criança compreenda 
corretamente a tarefa que deve cumprir. 
A avaliação das respostas 
Uma avaliação eficaz não se dará apenas pela análise das respostas obtidas nas 
provas. O aplicador deve observar o contexto geral: reações, postura, fala, inquietações, 
 
72 
reação diante do desconhecido, argumentos, organização e manipulação do material 
(Sampaio, 2014a, p. 42). 
O nível que a criança irá alcançar em cada uma das etapas revelará o grau de sua 
estrutura operatória. Desta forma, será possível identificar o nível do pensamento 
alcançado por ela. As respostas podem ser classificadas dentro de três níveis (VISCA, 
2008 e SAMPAIO, 2014a): 
• Nível 1: Não conserva, não atinge nível operatório nesse domínio 
• Nível 2: Intermediário: respostas oscilantes, instáveis ou incompletas: hora 
conserva, hora não conserva 
• Nível 3: respostas firmes, demonstram aquisição da noção. 
 
Quadro de seleção de provas conforme a idade 
 
 
 
73 
 
Fonte: Sampaio (2014a) 
 
 
Fonte: Visca (2008) 
 
 
 
74 
 
7.3.1 Prova de classificação 
 
Mudança de critério – Dicotomia 
 
Materiais: 
5 círculos vermelhos pequenos 
5 círculos azuis pequenos 
5 círculos vermelhos grandes 
5 círculos azuis grandes 
5 quadrados vermelhos pequenos 
5 quadrados azuis pequenos 
5 quadrados vermelhos grandes 
5 quadrados azuis grandes 
2 caixas 
 
Aplicação: 
1– O que você está vendo? 
2– Você pode colocar junto os que se parecem, os que podem ir junto? 
3– Por que você colocou dessa forma? 
4– Agora, usando essas 2 caixas, você vai fazer 2 grupos e colocar cada grupo 
em uma caixa. 
5– Por que você colocou esses aqui e esses ali? Que nome você daria para 
esse grupo e que nome você daria para aquele grupo? 
O Entrevistador retira os dois grupos das caixas e diz: – faça novamente dois 
grupos de forma diferente e coloque cada grupo em uma caixa. 
6– Por que você colocou esses aqui e esses ali? Que nome você daria para 
esse grupo e que nome você daria para aquele grupo? 
Caso o entrevistado não utilize um novo critério, solicita uma nova classificação. 
7– Poderia ainda ser feito de outra maneira? Como você agrupou? 
8– Por que você colocou esses aqui e esses ali? Que nome você daria para 
esse grupo e que nome você daria para aquele grupo? 
Caso o Entrevistado necessitou de insinuações, de dicas, faz-se necessário 
uma recapitulação, quer dizer, solicita-se que o entrevistado volte a classificar. 
 
 
 
75 
Avaliação 
 
Resposta do nível 1 – coleção figural, antes dos 4-5 anos. 
A criança deste nível só pode agrupar as fichas levando em conta não a 
totalidade delas e sim as semelhanças qualitativas (forma, tamanho, cor etc.) de um 
elemento com o outro (relação de proximidade). Quer dizer, sabe reconhecer a 
igualdade ou a diferença entre duas fichas, mas não pode ter em conta a relação 
simultânea de cada ficha com as demais. Esta limitação não lhe permite chegar a 
classificação de todas segundo um critério. Por exemplo: cor, ou seja, dispor de um 
plano pré-estabelecido para a classificação. É esperado que a intenção da criança em 
ordenar as fichas vá mudando de critério frequentemente e ela podenão utilizar todos 
os elementos dados. Encontramos dois tipos frequentes de consulta. 
– Alinhamento: chamamos assim por sua disposição linear. A criança alinha 
algumas fichas que tem um par. Tem mudança no critério e geralmente não esgota o 
material critério frequentemente e ela pode não utilizar todos os elementos dados. 
– Figuras Complexas: aqui a criança tenta agrupar algumas fichas em um 
conjunto especial, tendo em conta não tanto à relação de uma ficha com a outra 
(acentuação na semelhança, própria do alinhamento) e sim quem coloca cada 
elemento em relação com outros (acentuação de relação de pertinência). Tomados 
como partes de um conjunto organizado ou com sentido, do ponto de vista de sua 
forma total. O conjunto total pode referir-se a uma mera forma geográfica (exemplo: 
simetria) ou ter um significado empírico (exemplo: “uma casinha, um nenê”) que 
geralmente a criança expressa verbalmente. 
 
Resposta do Nível 2 – começo de classificação, geralmente aos 5-6 anos. 
Corresponde a um nível de pensamento intuitivo articulado. A criança deste 
nível pode agrupar as fichas em pequenas coleções tendo em conta algum critério 
único de classificação (forma, tamanho ou cor). Quer dizer, forma pequenos montes 
fundados em uma só semelhança, mas essas coleções se justapõem sem nenhuma 
relação entre si: “é o monte dos quadrados grandes azuis, dos círculos pequenos 
azuis, dos círculos grandes verdes etc.”; mas para a criança, não estão incluídos ou 
engajados em uma classe mais geral (figuras geométricas neste caso). Em termos 
mais teóricos, diríamos que a criança é capaz de começar a coordenar a extensão 
com compreensão, mas ainda não é possível compreender a inclusão e por tanto, sua 
classificação ainda segue sendo uma coleção. As crianças mais avançadas deste 
nível chegam a um começo de reagrupamento das subcoleções em classes gerais; 
exemplo: agrupam as fichas verdes e por outro lado as azuis, mas não são ainda 
capazes de formular uma antecipação ou previsão de critérios. Muitas vezes 
necessitam que o experimentador inicie a classificação, para poder continuá-la. Uma 
conduta possível é que a criança opte (na classificação espontânea) por vários 
critérios simultâneos, mas ainda não pode ser considerada uma classe, pois essa 
surge, como se sabe, de uma operação lógica que, como tal, organiza todo o universo 
possível (neste caso todas as fichas) determinando uma hierarquia inclusiva. 
 
 
 
76 
Resposta de nível 3 – dicotomia pelos três critérios, a partir dos 6-7 anos. 
As condutas deste nível são as próprias de um pensamento operatório. A 
criança já pode realizar classificações hierárquicas, o que permite predizer, efetuar e 
recapitular corretamente as três dicotomias sucessivas, segue o três critérios 
diferentes: forma, tamanho e cor. No início deste nível, a criança pode descobrir a 
terceira dicotomia, basta uma simples introdução do avaliador para que ela capte o 
critério classificatório restante. 
 
7.3.2 Prova de intersecção de classes 
 
Materiais: 
5 círculos azuis pequenos 
5 círculos vermelhos pequenos 
5 quadrados vermelhos pequenos 
1 folha de cartolina ou papel com dois círculos 
em intersecção, sendo que um preto e outro amarelo. 
O Entrevistador coloca os círculos azuis e os 
quadrados vermelhos na parte exterior e os círculos vermelhos na intersecção. 
 
Aplicação: 
1– O que você está fazendo? O que pode me dizer sobre essas fichas? 
2– Por que você acha que eu coloquei as redondas vermelhas no meio? 
3– Existem aqui mais fichas vermelhas ou azuis? Por quê? 
4– Existem aqui mais fichas quadradas, redondas? Por quê? 
5– Existem mais, menos ou número igual de fichas redondas ou vermelhas? 
Como você sabe? Pode me mostrar? (pergunta de intersecção). 
6– Você acha que tem mais, menos ou mesmo tanto de fichas quadradas ou 
vermelhas? Pode me mostrar? (pergunta de inclusão). 
 
Avaliação 
Resposta do nível 1 – intuitivo global, a partir dos 4-5 anos. 
A criança é capaz de constatar com acerto as perguntas que recaem sobre as 
classes não relacionadas (perguntas 2 e 3), mas ainda não podem compreender as 
perguntas referentes a inclusão e a interseção (perguntas 5 e 6) tampouco tem êxito 
nas perguntas suplementares porque não leva em conta o conteúdo da interseção. 
Exemplo: O que há no círculo preto? R: quadrados vermelhos, sem levar em conta os 
elementos da intersecção. 
 
 
 
77 
 
Respostas do nível 2 – Intuitivo articulado, a partir dos 6 anos. 
A partir deste nível observam-se êxitos nas perguntas suplementares (a criança 
se dá conta de que dentro de um círculo estão todas as fichas redondas e dentro do 
outro círculo estão todas as fichas azuis). Frente às perguntas 4 e 5, ou seja, de 
inclusão e de interseção, a criança tem dúvida e pode responder corretamente ou não 
a alguma das duas perguntas. 
 
Resposta do nível 3 – operatório concreto, a partir dos 7-8 anos. 
A criança desse nível de pensamento tem um acerto preciso desde o primeiro 
momento, a todas as perguntas. 
 
7.3.3 Prova de inclusão de classes 
 
A Criança que já atingiu o nível 3 da prova de classificação dispões de um 
esquema antecipatório que lhe permite quantificar a inclusão. Esta prova pode ser 
feita com distintos materiais. 
 
Materiais: 
Flores (classe) 
10 margaridas (subclasse) 
03 rosas vermelhas (subclasse) 
 
 
Com qualquer material se realizam 4 perguntas (de classificação espontânea 
do material, de hierarquia das classes, de quantificação de inclusão que não se requer 
reversibilidade e de quantificação da inclusão onde se requer a reversibilidade) 
 
Aplicação: 
Apresenta-se o material e se interroga: 
1- Diga-me o nome das flores. 
2- As margaridas são flores? As rosas são flores? 
3- Você conhece outras flores? 
4- Neste ramo tem mais margaridas ou mais flores? Por quê? Caso acerte, 
perguntar: “Como você sabe?”. 
5- Existem duas crianças querendo fazer um ramo com flores e outro ramo 
com as margaridas. Qual ramo será maior? 
6- Se eu te dou as margaridas, o que sobra no meu ramo? 
 
78 
7- Se eu te dou as flores, o que sobra no ramo? 
8- Eu vou fazer um ramo com todas as margaridas e você com todas as 
flores. Quem terá o ramo maior? Como você sabe? 
 
Avaliação 
Resposta do nível 1 – ausência da quantificação da inclusão, até os 5-6 
anos. 
A criança se mostra incapaz de comparar o número de elementos de uma 
subclasse com o de uma classe mais geral em que está incluída. Procede 
sistematicamente a comparação das duas subclasses e responde, então, que há mais 
margaridas do que flores. Quando se faz a pergunta: “mais margaridas do que?”. 
Geralmente respondem: “mais margaridas do que rosas?”. Neste nível as perguntas 
que recaem sobre a subtração das subclasses dão lugar às vezes a fracassos. 
Resposta do nível 2 – condutas intermediárias, entre 5-6 anos até os 7-8 
anos. 
Observam-se poucas condutas intermediárias. Notam-se por parte da criança 
na pergunta: a mais margaridas ou mais flores? A criança às vezes responde: “É o 
mesmo”, justificando esta resposta com o argumento: “as margaridas também são 
flores!”. 
Resposta do nível 3 – condutas de quantificação inclusiva, a partir de 7-8 
anos. Todas as perguntas recebem respostas corretas, ainda que às vezes, se 
observam dúvidas e estranheza no primeiro enunciado da pergunta 1. 
 
7.3.4 Prova de seriação de palitos 
 
Materiais: 
10 palitos que diferem na altura, 0,6 cm 
entre um em outro 
1 anteparo, que pode ser a tampa de uma 
caixa 
 
Aplicação: 
Entregar os 10 palitos em desordem. 
1- Solicitar que coloque os palitos em ordem do menor para o maior. 
2- Pedir que feche os olhos. Retirar um palito da seriação realizada, desde 
que não seja dos extremos e pedir ao entrevistadoque coloque no lugar certo. 
3- Novamente entrega-se os 10 palitos desordenados e pedir que os 
entregue em ordem, do maior para o menor, estes vão sendo colocados atrás do 
anteparo. (não pode medir os palitos antes). 
Mostra-se o anteparo com o resultado da seriação. 
Se errar um ou dois palitos, pode-se repetir a intervenção. 
 
79 
 
Avaliação 
Resposta do Nível 1 – Fracasso na seriação, antes dos 4-5 anos. 
Podemos distinguir duas etapas de acordo com que a criança conseguir: 
– Antes dos 4 anos – pensamento simbólico: a criança parece não entender 
o que é solicitado. Não existe nenhum ensaio de ordenação. Às vezes, tenta justapor 
um par de palitos. Mas, sem levar em conta a horizontalidade nem a verticalidade. 
– 4 a 5 anos – pensamento intuitivo global: neste nível podemos observar 
distintos tipos de conduta: 
1º – A criança ordena por pares (grande / pequeno) ou 3 ou 4 elementos 
(grande, médio, pequeno), mas logo não pode mais coordenar. São séries justapostas 
sem ordem de conjunto. 
2º – Outra alternativa é que consiga construir uma escala, mas levando em 
conta somente parte superior de cada palito. Ao não considerar a parte inferior (a 
longitude total de cada elemento), a escala assim construída só é regular enquanto 
figura de conjunto: construída pelos extremos superiores. Tal construção não apoiada 
em uma linha horizontal de base, não apresenta uma sucessão de palitos de acordo 
com a ordem real de tamanho. 
3º – Há crianças que conseguem construir uma série completa de 4 a 5 palitos, 
mas não pode intercalar os demais. Esta conduta indica um nível mais evoluído que 
os anteriores, mas ainda pertencem ao 1º nível. 
 
Resposta de nível 2 – Êxitos por tentativa, a partir dos 6 anos. 
Pensamento intuitivo articulado. A criança consegue fazer a seriação através 
de tentativas empíricas, realizando comparações por pares (sobrepondo os palitos) e 
construindo a série de próximo a próximo, voltando cada vez ao ponto de partida. É 
uma seriação realizada intuitivamente por comparações sucessivas. A criança 
consegue intercalar elementos mediante novas tentativas e, em ocasiões, começa 
tudo. Falta-lhe um esquema antecipatório e um método sistematizado (próprio do 3º 
nível), quando se utiliza o anteparo (conduta em que geralmente não tem êxito). 
 
Resposta de nível 3 – Êxito por método operatório, a partir dos 6-7 anos. 
Pensamento operatório concreto. A criança consegue, neste nível, facilmente a 
seriação (com ou sem anteparo) utilizando um método sistemático, que consiste em 
buscar primeiramente, entre todos os elementos, o menor; depois, o menos entre os 
que restam e assim sucessivamente até completar a série (quando está em ordem 
crescente). Este método responde a um esquema propriamente operatório, pois dá 
testemunho de um critério reversível, quer dizer, a criança considera que um elemento 
qualquer é, ao mesmo tempo, maior que os precedentes e menos que os seguintes. 
Neste nível a criança consegue facilmente a inclusão de um elemento ausente 
(segundo momento da prova). 
 
 
80 
 
7.3.5 Prova de conservação 
 
Conservação de pequenos conjuntos discretos de elementos. 
Avalia a Noção de Números. 
 
Materiais: 
10 fichas vermelhas 
10 fichas azuis 
Ambas do mesmo tamanho 
 
Aplicação: 
Escolha um grupo de fichas da mesma cor. 
Eu pego 7 fichas da cor que sobrou e coloco em fila. 
Peço ao entrevistado que coloque a mesma quantidade. 
Pode ocorrer o entrevistado colocar termo a termo ou ainda colocar por 
extensão da fileira. Se isso ocorrer, o entrevistador faz a relação um a um com as 
suas fichas e pergunta ao entrevistado se ele tem certeza de que existe a mesma 
quantidade de fichas em ambos os grupos. 
 
1- Você acredita que temos o mesmo número de fichas? Por quê? 
O entrevistador espaça as fichas de modo que um grupo fique mais longo que 
o outro e pergunto: 
2- E agora, há a mesma quantidade de fichas vermelhas e azuis? Onde 
parece ter mais? Aí questiono: Mas essa fileira parece ter mais… é mais comprida? 
3- Agora junto às fichas num grupo e pergunto onde tem mais? 
4- Pego as fichas e escondo debaixo da minha mão e pergunto quantas 
fichas estão escondidas. Como você sabe? 
5- Volto a reunir as 10 fichas em círculo. Solicito ao entrevistado que 
coloque a mesma quantidade de fichas por fora, formando um círculo maior e 
pergunto: 
6- No círculo de dentro há mais, menos ou mesma quantidade de círculos 
que o de fora? 
Volto a reunir as 10 fichas em círculo, fazendo um círculo maior e outro menor 
– um ao lado do outro e pergunto: 
7- Qual dos dois círculos tem mais ou menos quantidade de fichas? Ou tem 
a mesma quantidade? 
8- Por último, coloco minhas fichas numa pilha e faço as mesmas 
perguntas. 
 
81 
 
Avaliação 
Resposta do nível 1 – não conservador, antes dos 5 anos. 
As respostas do nível 1 podem ser divididas em duas categorias que são: 
Nível simbólico (2 a 4 anos) a criança deste nível só imita a ação, parecendo 
não entender a consigna. 
Nível intuitivo Global (4 a 5 anos). A criança percebe somente qualidades 
globais (espaço que ocupa) na figura modelo, mas não pode levar em conta o número 
de fichas apresentadas; portanto, tenta fazer uma semelhança global entre sua 
produção e a fileira modelo. A resposta da quantidade pode ser conseguida neste 
nível e é uma aquisição pré-numérica (a criança pode conservar a cota, mas sem 
entender o número como uma síntese entre a classe e a série). 
 
Resposta do Nível 2 – ainda não conservador, porém num nível mais 
avançado, entre 5-6 anos. Consegue-se a correspondência, mas não se mantém a 
conservação. A criança desse nível faz uma correspondência termo a termo, mas esta 
correspondência (apesar das aparências) não deixa de ser qualitativa e intuitiva (ou 
seja, não verdadeiramente numérica e operatória); isto se comprova quando se altera 
a configuração (se junta e separam-se as fichas). A criança deixa de reconhecer a 
equivalência, não existindo a conservação. 
 
Resposta de Nível 3 – intermediário, desde 5 anos. 
Correspondência operatória com equivalência necessária: faz a 
correspondência e mantém a conservação, porém oscila frente a uma nova 
transformação. 
 
Resposta de Nível 4 – conservador, a partir 5 anos. 
As diversas situações apresentadas dão lugar a explicações e justificativas 
conservadoras, utilizando-se qualquer argumento. 
 
7.3.6 Prova de conservação de superfície 
 
O conceito de permanência de superfície não é inato, e sim resultado de uma 
construção paulatina, como todos os demais conceitos de conservação. 
 
Materiais: 
2 folhas de cartolina ou EVA verde – 20x25cm 
12 quadrados com 4 cm de lado, idênticos, de cartolina vermelha, 
representando casinhas 
 
82 
01 vaquinha de cor distinta da cartolina verde e dos quadrados vermelhos 
 
Aplicação: 
Mostram-se os campos idênticos – “pastos” e as “casas vermelhas” e pergunta-
se ao entrevistado se tem ambas as cartolinas verdes e os quadrados o mesmo 
tamanho. 
O entrevistador cria um cenário e diz que esses campos verdes são pastos e 
que os quadradinhos vermelhos serão casinhas. 
 
Pergunta ao entrevistado: 
1- Se essa vaquinha comer esse pasto ou comer nesse outro pasto aqui, ela 
comerá a mesma quantidade? 
2- O dono deste pasto resolve construir uma casinha nesse pasto. Agora a 
vaquinha tem a mesma quantidade de pasto para comer em ambos os pastos ou não? 
Como você sabe? 
3- O dono do outro pasto também resolveu construir uma casinha. E agora, a 
vaquinha tem a mesma quantidade de pasto para comer em ambos os pastos ou não? 
Como você sabe? 
4- Agora o entrevistador coloca quatro casinhas em cada pasto e pergunta 
novamente se a vaquinha terá a mesma quantidade de pasto para comer ou não.5- O dono de um dos pastos resolve colocar as casinhas de outra maneira no 
pasto, sendo que num deles as casinhas ficam juntas e no outro pasto as casinhas 
estão separadas. O entrevistador pergunta novamente e pergunta novamente se a 
vaquinha terá a mesma quantidade de pasto para comer ou não, lembrando sempre 
de pedir ao entrevistado que explique. 
6- Novamente o dono do pasto resolve trocar as casinhas de posição, como 
no item 5. O entrevistador pergunta novamente e pergunta novamente se a vaquinha 
 
83 
terá a mesma quantidade de pasto para comer ou não, lembrando sempre de pedir 
ao entrevistado que explique. 
O entrevistador sempre deve contra argumentar, sendo o entrevistado 
conservador ou não. 
7- O entrevistador agora coloca mais casinhas no primeiro pasto e no outro 
coloca a mesma quantidade, porém de forma “espalhada” e faz o mesmo 
questionamento: se a vaquinha terá a mesma quantidade de pasto para comer ou 
não, lembrando sempre de pedir ao entrevistado que explique. 
Se o entrevistado é conservador, o entrevistador diz: – mas aqui fica todo esse 
pasto junto, no outro não… é em pedaços! 
Se o entrevistado não é conservador, o entrevistador pode dizer: – alguém me 
disse que ambos os pastos tinham a mesma quantidade. 
8- E se o dono voltasse a colocar as casinhas como no início, a vaquinha 
comeria a mesma quantidade de pasto? 
 
Avaliação 
Resposta do Nível 1 – não conservador, antes dos 5 anos. 
Antes dos cinco anos as crianças tem muita dificuldade de entender as 
propostas do entrevistador. Aos 5-6 anos entendem a situação proposta pelo 
entrevistador, porém têm dificuldade em aceitar a conservação. 
 
Resposta do Nível 2 – Condutas intermediárias, entre 5 e 7 anos. 
Perante as transformações o entrevistado admite a conservação, porém, 
quando as transformações produzem diferenças perceptíveis maiores, gera-se um 
conflito entre a percepção e o julgamento. 
 
Resposta do Nível 3 – Conservador, a partir do 6-7 anos. 
As crianças dão conta de que as superfícies livres são iguais. 
 
 
84 
7.3.7 Prova de conservação de líquido 
 
Conservação das quantidades de líquido (transvasamento) 
 
 
 
 
Igualdade inicial 
 
 
Primeira modificação 
 
Segunda modificação 
 
 
Terceira modificação 
 
 
Materiais: 
2 copos iguais A1 e A2 
1 copo mais fino e alto B 
1 copo mais largo e baixo C 
4 copinhos iguais D1, D2, D3, D4 
2 garrafinhas contendo líquidos de cores diferentes 
Obs.: os copos devem ser lisos e sem desenhos, mesmo material e sem base. 
 
Aplicação: 
Vou colocar água no copo A1 e você deve colocar a mesma quantidade no 
copo A2. 
O entrevistador deve se certificar que o entrevistado tenha certeza que nos dois 
copos tenha a mesma quantidade. 
 
 
85 
1- Se eu beber isso e você aquilo, quem beberá mais? Ou tomaremos a 
mesma quantidade? 
2- Agora quero que você coloque o líquido do seu copo, no copo B. 
E agora, quem beberá mais? Como você sabe? Pode me explicar? 
Uma criança disse que aqui tem mais, pois o copo é mais alto. 
O que você me diz? 
Se eu colocar esse líquido do copo B no copo A novamente, quem irá tomar 
mais? 
3- Agora coloque o líquido no copo A no copo C. Quem beberá mais agora? 
4- Coloque o líquido agora nos copinhos D1 D2 D3 D4. Quem de nós irá 
tomar mais agora? 
 
Avaliação 
 
Resposta de nível 1– não conservação, até os 5-6 anos. corresponde à etapa 
intuitiva global. Em cada um dos transvasamentos, a criança julga que uma das 
quantidades é maior. Exemplo “este tem mais porque está mais alto”. Frente às contra 
argumentações, o experimentador é quem chama a atenção da criança sobre a 
dimensão não observada (por exemplo a altura do copo b), a criança mantém seu 
juízo ou considera que a quantidade é maior. Quando recordada a igualdade de 
quantidade inicial, não modifica de forma alguma seu juízo. Neste nível, o problema 
de “retorno empírico”, a inversibilidade, pode ou não ser resolvida. 
 
Resposta de nível 2 – condutas intermediárias, entre 5-6 anos a 7 anos. 
Próprias do pensamento intuitivo articulado. Os juízos oscilam entre a 
conservação e a não conservação podendo aparecer de 3 maneiras diferentes: 
– juízos oscilantes em um estado de transvasamento – Por exemplo “tem mais 
para beber neste copo, não! tem mais neste outro ou ainda, há a mesma quantidade 
nos dois copos…” 
– alternam-se os juízos de conservação e não conservação nos diversos 
transvasamentos – Por exemplo julga que a quantidade é igual no copo estreito (b), 
mas que é desigual nos quatro copinhos (d). 
– pode aparecer uma alternativa de juízo em função das contra argumentações. 
Uma resposta de conservação aparece quando o experimentador recorda a igualdade 
das quantidades iniciais, ou a criança volta à não conservação quando o 
experimentador insiste na diferença das dimensões. As justificativas dadas para um 
juízo de conservação, neste nível, em geral, são pouco explícitas e incompletas. Neste 
nível, o problema de “retorno empírico” é resolvido corretamente. 
 
Resposta de Nível 3 – conservador, a partir dos 7 anos. 
 
86 
Considera em todas as transferências que as quantidades de líquido são iguais 
e mantém, apesar das contra argumentações. A criança é capaz de dar várias das 
seguintes explicações: 
– argumento de identidade: “há a mesma quantidade para beber porque não 
tiramos nem colocamos nada”. 
– argumento de reversibilidade: “há sempre o mesmo tanto para beber porque 
se voltar a colocar no outro copo será o mesmo”. 
– argumento de compensação: “aqui (b) está alto, mas é fininho (a1), então é o 
mesmo para beber”. 
O juízo de conservação se mantém apesar das contra argumentações 
propostas pelo examinador. 
 
 
7.3.8 Prova de conservação de matéria 
 
Conservação da quantidade de matéria (massa) 
Da mesma maneira que as noções de conservação de conjuntos descontínuos 
de elementos, de superfície e dos líquidos, a noção de conservação da quantidade de 
matéria, frente às modificações é uma noção que se constrói. 
 
Materiais: 
2 pedaços de massa de modelar de cores 
diferentes 
 
Aplicação: 
O entrevistador entrega dois pedaços de massa e 
pede que faça duas bolas que tenham a mesma 
quantidade de massa. 
O entrevistador deve se certificar que o entrevistado tenha certeza que nas 
duas bolas tenha a mesma quantidade de massa. 
 
1- O entrevistador escolhe uma das bolas e transforma-a numa salsicha. 
Iniciam-se os questionamentos: Agora você vai me dizer onde tem mais massa? Na 
salsicha ou na bola? Por quê? 
Qualquer que seja a resposta, conservadora ou não, o entrevistador contra 
argumenta tomando o ponto de vista oposto do entrevistado. Exemplo: Se o 
entrevistado é conservador, o entrevistador diz: – mas a salsicha e mais comprida! 
Se o entrevistado não é conservador, o entrevistador pode dizer: – mas a 
salsicha é mais fina! ou a bola é mais grossa! ou ainda lembrar da igualdade inicial. 
 
87 
2- O entrevistador alarga e afina a salsicha, e continua o questionamento… 
e agora, o que temos? Temos a mesma quantidade? Como você pode me explicar 
isso? Uma criança disse que a salsicha é mais comprida! 
3- Agora o entrevistador transforma a salsicha num biscoito e questiona 
novamente: onde temos mais ou menos massa? Na bola ou no biscoito? Como você 
pode me explicar? 
4- Por fim o entrevistador, reparte o biscoito em 4 bolinhas e questiona: 
onde temos mais massa agora? Na bola ou nas bolinhas? 
 
Avaliação 
Resposta de nível 1 – não conservador, antes dos 5-6 anos. 
Corresponde a etapa intuitiva global. 
Os juízos das crianças deste nível em cada uma das transformações estão 
dirigidas a que uma das quantidades é maior e a outra menos. Frente aos contra-
argumentos,o avaliador é quem chama a atenção da criança para a dimensão não 
percebida; exemplo: o comprimento da salsicha. A criança hora mantém seu juízo, 
hora alega que uma tem maior quantidade. Quando a igualdade inicial de quantidade 
é relembrada, não há mudança no juízo da criança. Neste nível o problema de “retorno 
empírico”, a inversibilidade, pode ou não ser resolvida corretamente. 
 
Resposta de nível 2 – são condutas intermediárias, entre 5-6 e 7 anos. 
Próprias do pensamento intuitivo articulado. Os juízos oscilam entre a 
conservação e a não conservação e aparecem de três maneiras diferentes: 
– juízos oscilantes em uma mesma transformação: a criança julga 
alternadamente que as quantidades são iguais e diferentes; por exemplo: “há mais na 
salsicha, não, há mais na bolinha. Há o mesmo tanto para os dois comerem…”. 
– alternam-se os juízos de conservação e não conservação nas diversas 
transformações; por exemplo: julga que a quantidade é igual na panqueca, mas 
desigual nos pedacinhos. 
– em função das contra argumentações, pode surgir uma alternativa de juízo. 
Quando o avaliador recorda a igualdade das quantidades iniciais, aparece uma 
resposta de conservação. A criança volta a não conservação quando o avaliador 
insiste na diferença das formas. As justificativas dadas para um juízo de conservação 
são em geral, neste nível, pouco explícitas ou incompletas. Neste nível o problema de 
“retorno empírico” é resolvido corretamente. 
 
Resposta de nível 3 – conservador, a partir dos 7 anos. 
Conduta própria de um pensamento operatório completo. Em cada 
transformação julga-se que as quantidades são iguais. A criança é capaz de dar uma 
ou várias das seguintes explicações (argumentos): 
– argumento de identidade: “Há a mesma quantidade para comer por que não 
tiramos nem colocamos comida”; 
 
88 
– argumento de reversibilidade: “Há sempre o mesmo para comer porque, se 
voltar a fazer a bola, será o mesmo”; 
– argumento de compensação: “Aqui, panqueca, é igual, mas é mais fina 
(chata, pequena…) que esta, a bola, então continua sendo a mesma”. 
O juízo da conservação se mantém apesar dos contra-argumentos propostos 
pelo avaliador. 
 
7.3.9 Prova de conservação de peso 
 
A conservação de peso só se elabora após a conservação de matéria. 
 
Materiais: 
2 pedaços de massa de cores diferentes 
1 balança com dois pratos cuja leitura seja pela posição dos braços. 
 
 
 
 
 
 
Aplicação 
Primeiramente o entrevistador se certifica que o entrevistado conhece uma 
balança, senão a apresenta e explica como é feita a medida de pesos, ou seja, quando 
os dois braços da balança ficam na mesma altura é por que temos o mesmo peso. 
Pede-se ao entrevistado que faça duas bolas de massa que tenham o mesmo 
peso. O entrevistador deve se certificar dos pesos, utilizando a balança. Caso um dos 
braços da balança fique mais alto é por que a bola pesa menos. Caso isso ocorra, 
questionamos: – Como você fará para que tenham o mesmo peso? Depois das bolas 
terem o mesmo peso, retira-se as bolas da balança e inicia-se as transformações. 
 
1- O entrevistador pega uma das bolas e transforma numa salsicha e 
questiona: você acha que a salsicha pesa o mesmo que a outra bola, ou pesa mais? 
Como você sabe? Pode me explicar? Como assim? 
 
Contra argumentação: em caso de a resposta da criança ser correta, o 
experimentador insiste em uma só dimensão, “mas a salsicha é muito mais fina, você 
não acha que tem menos”? Outra criança que me disse. 
 
 
89 
No caso de uma resposta não conservadora, o experimentador recorda à 
criança a igualdade inicial das 2 bolas e insiste na dimensão que a criança não 
observou. Por exemplo se a criança diz que a salsicha pesa mais, o experimentador 
diz: “mas a salsicha é mais comprida e a bola mais grossa, mais gorda, você não acha 
que a bola é mais pesada”? 
 
2- Agora transformarei a salsicha numa bola novamente, você acha que 
vão pesar o mesmo tanto? 
 
Se a criança não resolve corretamente o problema de retorno empírico, realiza-
se este retorno e procede-se a uma comprovação de igualdade de peso das 2 bolas. 
 
3- Agora vou transformar uma das bolas em uma pizza. Procede-se com 
as mesmas perguntas feitas anteriormente. 
 
4- Transformarei a bola em 8 pedaços e procedo como anteriormente. 
 
As contra argumentações recaem sobre o número e a distribuição dos pedaços 
que estão sobre a mesa. Poe exemplo se a criança diz que a bola pesa mais, “mas 
olha, tem muitos pedaços sobre a mesa, será que não pesam mais do que a bola”? 
As diferentes transformações são realizadas tanto pelo experimentador como 
pela criança. 
 
Avaliação 
 
Resposta de nível 1– não conservador, até 6-7 anos. 
São condutas próprias do início do estado operatório e do estado operatório 
concreto. Para cada uma das transformações, um dos pesos é julgado como maior 
que o outro, por exemplo “a salsicha pesa mais porque é mais larga”. 
Frente aos contra-argumentos, o experimentador é quem chama a atenção da 
criança sobre a dimensão não observada, por exemplo “o comprimento da salsicha”. 
A criança mantém sua resposta ou julga que o outro peso é maior. 
Recordar a igualdade de peso inicial não modifica de forma alguma o juízo da 
criança. Neste nível o problema do retorno empírico, a inversibilidade, pode ou não 
ser resolvido corretamente. 
 
Resposta de nível 2 – em transição, ente 8-9 anos. 
São condutas intermediárias próprias de quem já alcançou o primeiro nível do 
pensamento operatório concreto. Aparecem juízos que oscilam entre a conservação 
de 3 maneiras principais: 
 
 
90 
– para mesma transformação julga a criança alternadamente que os pesos são 
iguais e diferentes. “A salsicha pesa mais. Não! A bola que pesa mais. Não! As 2 
pesam o mesmo tanto”. 
– alternam os juízos de conservação e de não conservação nas diversas 
transformações, por exemplo “julga igual o peso para a panqueca, mas desigual para 
os pedaços”. 
– pode aparecer uma alternativa de juízo nas contra argumentações. Aparece 
uma resposta de conservação quando o experimentador insiste na diferença de 
formas. As justificativas dadas para um juízo de conservação são em geral, pouco 
explícitas e incompletas. 
Neste nível o problema de retorno empírico é resolvido corretamente. 
 
Resposta de nível 3 – conservador, a partir dos 8-9 anos. 
Condutas próprias de um nível operatório concreto. Em cada uma das 
transformações a igualdade de peso é considerada. A criança é capaz de dar uma ou 
várias das seguintes explicações: 
Argumento de identidade – “é o mesmo peso porque não se tirou nem se 
colocou nada”. 
Argumento de reversibilidade – “isso pesa sempre o mesmo porque se voltar a 
fazer a bola terá o mesmo peso”. 
Argumento de compensação – “esta panqueca é grande, mas é comprida que 
a bola, então o peso é o mesmo”. 
 
7.3.10 Prova de conservação de volume 
 
Adquire-se logo após a conservação de peso, aproximadamente aos 11-12 
anos, dentro do período das operações concretas. 
Consiste em reconhecer que o espaço ocupado por uma determinada 
quantidade de substância não varia qualquer que seja a forma que se dê a substância. 
 
 
 
 
91 
Materiais: 
2 copos iguais (transparentes, sem desenhos nem pés) 
2 massas de modelar com cores diferentes 
1 garrafinha com água 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicação: 
Os copos iguais devem ser preenchidos igualmente com a água da garrafinha, 
aproximadamente ¾ do copo. 
 
Pedir que o entrevistado faça duas bolas do mesmo tamanho. 
Iniciar os questionamentos: 
 
1- Se eu colocar esta bola dentro deste copo, o que você acha que vai 
acontecer com o nível da água? Por que você acha isso? 
Se o entrevistado disser que vai baixar ouficar igual, colocar a bola na água 
num dos copos e comparar o nível da água com o outro copo. 
 
2- E se colocarmos a outra bola neste outro copo? O que vai acontecer? 
Por que isto acontece? Você pode me explicar? 
Deixar uma das bolas dentro de um dos copos e iniciar as transformações: 
Vou transformar essa bola em uma salsicha. 
3- Se eu colocar essa salsicha dentro do copo, você acha que a água vai 
subir o mesmo que neste copo (1º copo)? Ou subirá mais? Ou menos? Como você 
sabe? Pode me explicar? Como você faz pra saber? 
4- Se o entrevistado der a resposta correta, fazer uma contra 
argumentação: “a salsicha é mais comprida do que a bola, você não acha que a água 
deveria subir menos? Outra criança me disse… 
5- Agora vamos transformar essa salsicha numa panqueca. 
 
Fazem-se as mesmas perguntas. 
 
92 
Agora, transformar a panqueca em mais ou menos 10 bolinhas e se procede 
da mesma maneira. 
 
Avaliação 
Resposta de nível 1 – ausência de conservação de volume, até 8-9 anos. 
Para cada uma das transformações, a criança julga que outra modificação da 
forma fará subir mais este nível de água (ou que ocupará mais lugar). Por exemplo “a 
salsicha fará subir mais a água porque é mais comprida”. Frente às contra 
argumentações do experimentador, que chama a atenção da criança sobre a 
dimensão que não observou, a criança mantém o juízo, ou julga então que o outro 
termo de comparação fará subir mais a água. O problema de retorno empírico, a 
inversibilidade, pode ser resolvido corretamente. 
 
Resposta de nível 2 – em transição, depois dos 9 e antes dos 10 anos. 
Aparecem juízos que oscilam entre a conservação e não conservação de três 
maneiras principais: 
– a criança acredita que numa mesma transformação, alternadamente, o 
volume (nível d’água ou lugar que ocupa a massa) é igual e diferente: “a salsicha fará 
subir mais a água. Não” a bola que faz subir mais, ou… as duas fazem subir igual”. 
– se alternam os dois juízos, de conservação e não conservação nas diversas 
transformações, por exemplo “julga que subirá igual para a panqueca, mas desigual 
para os pedacinhos”. 
– nas contra argumentações, aparece uma resposta de conservação, quando 
o experimentador insiste na diferença da forma, ou volta a não conservação quando 
o experimentador assinala a desigualdade das mesmas em relação ao espaço que 
deveriam ocupar. As justificativas dadas para um juízo de conservação são em geral 
pouco explícitas e incompletas. 
Resposta de nível 3 – conservador, a partir dos 11-12 anos. 
Para cada uma das transformações, o volume é julgado igual. A criança é capaz 
de dar uma ou várias das seguintes explicações: 
Argumento de identidade – “subirá o mesmo porque não se colocou nem se 
tirou nada”. 
Argumento de reversibilidade – “subirá o mesmo porque se voltar a fazer uma 
bola subirá como este (copo de teste)”. 
Argumento de compensação – “aqui (pedacinhos) parecia que teria que subir 
mais, mas são muitos, mas são pequenos, então fará subir o mesmo”. 
 
7.3.11 Prova de conservação de comprimento 
 
Ver se o sujeito infantil é capaz de calcular longitudes. 
 
 
93 
Materiais: 
1 barbante de aproximadamente 10 cm 
1 barbante de aproximadamente 15 cm 
Obs.: geralmente se indicam fios elétricos. 
Outro material que responde muito bem são correntes finas. 
 
 
 
 
Aplicação: 
O entrevistador mostra o material disposto paralelamente uns 8 cm de distância 
e questiona: 
 
1- Neste caminho (A) há mais quantidade para caminhar que neste (B)? 
Por quê? 
2- Este caminho (A) é do mesmo comprimento que este (B)? Por quê? 
 
O entrevistador faz a primeira transformação do caminho(A) para que as pontas 
não coincidam com (B). 
 
3- E agora? Há mais quantidade pra caminhar sobre esse caminho (A) do 
que no (B)? Como você sabe? Pode me explicar? 
 
Se a resposta for positiva, se contra argumenta dizendo que as pontas não se 
encontram. Se a resposta for negativa, relembram-se as dimensões iniciais iguais. 
 
Avaliação 
Resposta de nível 1 – não conservador, até os 6 e 7 anos. 
Nas duas situações de deformação, não há conservação de comprimento. Na 
primeira situação de coincidência dos extremos, julga-se que os comprimentos são 
iguais e na segunda situação de defasagem, o barbante cujo extremo está mais 
afastado é que se considera mais curto. Recordar o comprimento na disposição inicial 
não modifica em nada o juízo da criança. 
 
Resposta de nível 2 – condutas intermediárias, entre 6-7 anos, porém antes 
dos 8 anos. 
Um primeiro nível de conduta intermediária consiste em que o juízo seja correto 
na primeira situação, mas é incorreto na segunda. Em que nível superior aparece 
alguns juízos de conservação na segunda situação, mas são instáveis e alteram com 
 
94 
respostas não conservadoras. As justificativas das respostas conservadoras são 
pouco explicitas e incompletas. 
 
Resposta de nível 3 – conservador, a partir dos 8 anos. 
O comprimento é conservado em cada uma das situações e os juízos são 
acompanhados de uma ou várias das justificativas seguintes (argumentos): 
– Argumento de identidade: “é o mesmo caminho para caminhar, o que 
acontece é que você dobrou o barbante”; 
– Argumento de reversibilidade: “se colocarmos o caminho todo esticado como 
antes, fica mais longo que o outro, e agora, mesmo terminando aqui, continua sendo 
igual, mais longo”; 
– Argumento de compensação: “este caminho (a) é mais longo, o que acontece 
e é que termina antes porque tem muitas curvas”. 
 
 
 
Existem outras provas que você pode encontrar no livro: 
O Diagnóstico Operatório na Prática Psicopedagógica – Jorge Visca. Ed. 
Pulso. 
 
7.4. Provas operatórias para o pensamento formal 
 
Sabemos que cada etapa do pensamento possui uma estrutura que lhe é 
própria e que caracteriza as operações cognitivas dos distintos estados. Cada 
estrutura prolonga e precede, reconstruindo-a antes de tudo em um novo plano para 
ultrapassá-la cada vez mais. 
O pensamento formal reestrutura as operações concretas, subordinando-as a 
novas estruturas, cujo desdobramento se prolongará, como disse Piaget, durante a 
adolescência e toda a vida posterior. É precisamente essa integração de estruturas 
sucessivas, cada uma das quais levando à construção da seguinte, que nos permite 
dividir o desenvolvimento em grandes etapas ou estados. 
A estrutura desta etapa, conhecida como “estrutura de conjunto” (a que 
participa da rede e do grupo) é a que possibilita ao adolescente as operações 
proporcionais deste estado formal. 
As operações formais são o ponto mais alto do desenvolvimento intelectual, o 
estado de equilíbrio final para o qual se move a evolução intelectual desde a infância. 
O sujeito atinge essa etapa do pensamento a partir dos 13 anos 
aproximadamente. E é capaz de ir se desprendendo gradualmente do concreto a 
 
95 
situar o real em um conjunto de transformações possíveis. Quer dizer, já não necessita 
dos dados da realidade para raciocinar (situar em classes, classificar, seriar etc.) mas 
pode manejar com afirmações os enunciados que “contém” esses dados (as 
proposições). 
Vale dizer, toma os resultados das operações concretas, as modela em forma 
de proposições e logo opera com elas, estabelecendo diversos tipos de vínculos 
lógicos. Isso facilita por sua vez, poder orientar o raciocínio ao possível e ao hipotético. 
Então o adolescente, diferente da criança do estágio operatório concreto, 
tratará frente a qualquer problema, de resolver, de prever todas as relações que 
poderia ter validade a respeito dos dados e logo tentará resolver, mediante uma 
combinação da experimentação e da análise lógica, qual das relações possíveis tem 
validade real. 
Quer dizer, pode isolar, de modo sistemático,todas as variáveis individuais, 
todas as combinações possíveis destas variáveis. Isto equivale dizer que submeterá 
as variáveis a uma análise combinatória, único método que lhe assegurará a 
realização de um inventário exaustivo das possibilidades. 
A operação combinatória (permutação, ordenamento, etc.) surge da 
possibilidade de generalizar as operações de classificação e seriação. 
Piaget, ao referir-se aos esquemas formais (próprios desta etapa), menciona 
esta possibilidade combinatória com a fórmula: “permanecendo igual a todos os 
demais” (ou seja, neutralizando a ação de todos os fatores, menos de um) e é 
precisamente este o esquema que se requer para resolver com êxito as provas de 
combinações e permutações com fichas que detalharemos na continuação. 
A criança terá que isolar, nelas, as variáveis, mediante um método sistemático 
e exaustivo, que logo detalharemos na análise das condutas. 
Digamos então, que mediante estas duas provas, podemos avaliar de uma 
maneira muito simples, se a criança opera ainda com uma estrutura própria do 
pensamento operatório concreto ou pelo contrário, se sua estrutura de pensamento já 
atingiu o nível das operações formais. 
As provas que apresentamos foram extraídas dos trabalhos experimentais de 
Piaget e sua colaboradora Inhelder, publicado na obra: “La gênese de l’iddé de hasard 
chez l’enfant” (1951). 
Trata-se de duas provas, uma de combinação (emparelhamento) e outra de 
permutação, sendo a primeira de um nível menor que a segunda, o que nos indicará 
de acordo com os resultados se a criança alcançou o primeiro nível do pensamento 
operatório formal (êxito na primeira prova) ou se já consegue um nível superior deste 
estado (êxito na segunda prova). 
A técnica para ambas é similar e consiste em propor a criança ordenamentos 
diferente de um conjunto de fichas de diversas cores. 
 
7.4.1 Combinação de fichas 
 
Avaliar a capacidade de combinar objetos. 
 
 
96 
Materiais: 
6 fichas do mesmo tamanho de diferentes cores 
 
Aplicação: 
O experimentador pede ao entrevistado que faça todos os pares, combinações 
possíveis com seis fichas de diferentes cores. 
Quer dizer, se trata de achar o total das combinações possíveis, de dois a dois, 
segundo o que permita o conjunto de seis fichas (total de 30). 
Deve-se procurar que o sujeito compreenda bem a atividade que está sendo 
proposta e, no caso de necessidade, pode-se mostrar um par qualquer das 
combinações possíveis (insinuação). 
 
Avaliação 
Resposta do nível 1 – ausência da capacidade combinatória, até 6-7 anos. 
Incapacidade para descobrir a possibilidade das combinações. Grosseiras 
tentativas de ordenamento que, em geral se limitam a serem classificações simples. 
 
Resposta de nível 2 – combinações incompletas, entre 7 e 11-12 anos. 
Utiliza método de aproximação sem generalizações, são condutas próprias de 
um pensamento operatório concreto. A criança deste nível descobre a possibilidade 
de combinar as fichas à medida que vai operando sobre elas, mas não pode prever o 
número total das combinações possíveis (é característico observar o espanto ou 
alegria quando, ao operar, descobre uma nova combinação que não havia conseguido 
e nem previsto). Consegue produzir numerosas combinações, mas sem uma ordem 
estabelecida, por falta de estratégia adequada. A falta de um método sistemático não 
permite fazer aparecer todas as combinações possíveis (e se consegue por 
causalidade, não possui a segurança de haver esgotado as possibilidades). 
 
Resposta de nível 3 – combinações sistemáticas completas, a partir dos 12 
anos. Êxito na operação combinatória mediante um sistema completo e metódico são 
condutas próprias de um pensamento operatório formal em sua etapa inicial. A criança 
deste nível: 
– concebe de antemão (antecipa) a possibilidade combinatória antes da 
experimentação (como proposições destinadas à prova empírica). 
– possui uma técnica para gerar todas as combinações possíveis com as fichas. 
Trata-se de um método exaustivo e ordenado de trabalho (facilmente observado), que 
consiste em eleger uma das fichas e colocar ao lado outra, logo retirando a última e 
colocando uma terceira e assim sucessivamente até esgotá-las. Então elege uma 
segunda ficha e coloca em relação a todas as demais, operação que continua até 
finalizar as combinações. 
 
7.4.2 Permutação de fichas 
 
97 
 
Um nível mais complexo do que as 
combinações de fichas. 
 
Materiais: 
4 fichas de cores diferentes 
 
Obs.: se quiser pode-se usar conjuntos com mais de 4 elementos. Quanto 
maior o número de fichas, maior o grau de dificuldade para realizar as permutações. 
 
Aplicação: 
Pede-se ao sujeito que construa todas as permutações possíveis (mudanças 
de ordem) “Você deve procurar fazer todas as combinações que possíveis, com essas 
fichas, para isso deverá ir combinando sua ordem de colocação para poder formar 
todos os grupos (conjuntos) possíveis”, ou “gostaria que me mostrasse todas as 
combinações que é capaz de formar com estas fichas, deve utilizar todas, arrumando-
as em sua ordem”. 
Procurar que o sujeito compreenda bem a atividade que deve realizar e, no 
caso de necessidade, pode-se mostrar um par qualquer de permutação possível. 
Igual a prova anterior, dever-se-á observar o sujeito e anotar seu método de 
trabalho, como também, a linguagem que utiliza. 
 
Avaliação 
Resposta de nível 1 – ausência da capacidade de permutação, até 9-10 
anos. 
O sujeito é incapaz de descobrir a possibilidade dos ordenamentos, tenta 
grosseiros ensaios. 
 
Resposta de nível 2 – permutações incompletas, entre 10-11 anos. 
Método de aproximação sem possibilidade de generalização, são condutas 
próprias de um pensamento operatório concreto e início do pensamento formal. Os 
sujeitos deste nível usam um método incompleto que, embora seja um pouco 
ordenado, não consegue senão o previsível. Ensaiam variantes sem um sistema fixo, 
o qual denota o não estar orientados para a ordem estabelecida, por falta de uma 
estratégia adequada. 
 
Resposta de nível 3 – êxito total nas permutações possíveis, a partir de 12-
13 anos. 
O sujeito obtém êxito em todas as permutações possíveis, por possuir a 
capacidade para calcular de um modo sistemático e exaustivo (baseado na lógica das 
relações), todas as possibilidades de ordenação, segundo as quais se podem agrupar 
 
98 
o conjunto de fichas. É óbvio que raras vezes chegam a descobrir a fórmula, o que 
não é exigido nesta prova. Observa-se na sua maneira de operar que: 
– prevê as possibilidades de permutações; 
– evidencia a utilização de um método sistemático, apto para encontrar a 
solução. Este método consiste, no caso das permutações, em: 
Pegar uma ficha colorida e associá-la com outra, mantendo essa parelha 
constante. As outras fichas podem ser colocadas de duas maneiras diferentes para 
completar o conjunto de quatro. 
Manter constante a primeira ficha para associá-la com outra, podendo obter 
duas novas permutações com as fichas restantes. 
Continuar assim, buscando todos os pares possíveis de duas cores e 
conseguir, finalmente construir o conjunto de permutações das 4 fichas. 
Exemplo denominamos as 4 fichas como sendo A B C D, se formarmos o par 
AB, as fichas CD podem dar lugar a duas permutações distintas se mudarmos a 
ordem. AB/CD e AB/DC. 
Agora podemos pensar em manter constante a ficha A e associá-la com outra 
cor, por exemplo C. Nesse caso, as fichas que podem formar, como antes, dois 
arranjos: AC/BD e AC/DB. 
Se continuarmos desta maneira, buscando todos os pares possíveis de cores, 
podemos chegar a construir o conjunto de permutações possíveis das 4 fichas (1 x 2 
x 3 x 4 = 24). Existem outros métodos sistemáticos de ordenamento. Por exemplo: 
podemos manter constante a primeirae esgotar o número possível de combinações 
com as outras três etc. 
 
 
 
Existem outras provas do Pensamento Formal que você pode encontrar no livro: O 
Diagnóstico Operatório na Prática Psicopedagógica – Parte II – Pré Adolescentes, 
Adolescentes e Adultos. Jorge Visca e Silvia Schumacher. Ed. Pulso. 
 Prova de Conservação do açúcar 
 Identificação de Fatores 
 Prova do pêndulo 
 Combinação de Líquidos 
 Balança 
 Ilhas 
 Flutuação dos corpos 
 Classificação Universal 
 
99 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reversibilidade: Conforme Brasil (2006, p. 38) apud Condemarin (1989), a 
reversibilidade “implica na capacidade de regressar ao ponto de partida, quer seja 
pela ‘negação’, ‘inversão’ ou pela ‘reciprocidade’”. 
Desde a fase das operações concretas, as noções de “fazer” e “desfazer” 
caminham juntas no montar e desmontar dos jogos, pois, por exemplo, essas ações 
são comuns. Na construção do conhecimento matemático esta é uma habilidade 
fundamental, ou seja: para cada operação matemática, define-se a operação inversa. 
Assim como operações opostas: adição e subtração, multiplicação e divisão, dentre 
outras. 
 
100 
7.5 Prova de aritmética 
 
Aritmética – Estudo das propriedades dos números e das operações que podem 
ser realizadas com eles. 
A Prova de Aritmética avalia distintos aspectos da competência aritmética, incluindo 
escrita por extenso e números apresentados algebricamente, escrita da forma algébrica 
de números pronunciados pelo aplicador, escrita de sequências numéricas crescente e 
decrescentes, comparação de grandeza numérica, cálculo de operações apresentadas por 
escrito e oralmente, e resolução de problemas matemáticos. 
A Prova de Aritmética pode ser aplicada em crianças de 6 a 11 anos. 
Professores, psicopedagogos, neuropsicólogos, fonoaudiólogos, psicólogos e 
profissionais afins da área da educação e saúde podem fazer uso deste instrumento, que 
avalia as habilidades aritméticas, no contexto clinico ou escolar. 
 
 
 
O caderno para aplicação da Prova de Aritmética (SEABRA, 2103) pode ser 
adquirido em www.memnon.combr. 
 
7.5.1 TDE – Teste Do Desempenho Escolar – Casa do Psicólogo, 1994 
Avaliação das capacidades fundamentais para o desempenho escolar, mais 
especificamente da escrita, aritmética e leitura. Indica de uma maneira abrangente, quais 
as áreas da aprendizagem escolar que estão preservadas ou prejudicadas no examinando. 
A faixa etária abrange a avaliação de escolares de 1ª a 6ª séries do Ensino Fundamental, 
ainda que possa ser utilizado com algumas reservas, para a 7ª e 8ª séries. 
 
7.5.2 Coruja PROMAT – Casa do Psicólogo, 2016 
Sondagem das habilidades matemáticas nos anos iniciais do ensino fundamental, 
do 1º ao 5º ano. Seu objetivo é verificar se as competências numéricas básicas foram 
adquiridas e, em caso de defasagem na aquisição dessas competências, indicar a(s) 
área(s) de concentração das dificuldades. A partir da aplicação do roteiro, podemos 
identificar com maior exatidão áreas prioritárias para a intervenção especializada. Para 
crianças do 1º ao 5º ano do ensino fundamental (6 a 13 anos). 
 
 CORUJA ESPECIALISTA – Casa do Psicólogo, 2016 
Avaliação adaptativa digital de competências acadêmicas e de habilidades de 
aprendizagem para crianças do primeiro ao terceiro ano do Ensino Fundamental. 
 
101 
Os resultados da avaliação podem ser visualizados em um relatório personalizado 
que indica o nível de desempenho que a criança obteve em cada um dos eixos das três 
áreas investigadas: Língua Portuguesa, Matemática e Habilidades de Aprendizagem. 
Língua Portuguesa: Leitura e compreensão de textos; Escuta de sons da língua 
portuguesa; Apropriação do sistema de escrita alfabética; Produção de texto escrito. 
Matemática: Números; Operações; Espaço e Forma; Grandezas, medidas e tratamento da 
informação. Habilidades de Aprendizagem: Processamento da informação; Memória de 
trabalho; Linguagem: vocabulário e compreensão; linguagem: cognição social. 
Faixa etária do público final: crianças cursando o ciclo de alfabetização do Ensino 
Fundamental (1º ao 3º ano). 
 
7.5.3 Protocolo de Avaliação de Habilidades Cognitivo-Linguísticas – Capellini, 
2012 
 
Avaliar diferentes aspectos do processamento cognitivo-linguístico de crianças em 
fase de alfabetização, auxiliando na identificação de crianças com desempenho abaixo do 
esperado em leitura. O Protocolo é composto pelas habilidades de escrita, aritmética, 
processamento auditivo e visual e velocidade de processamento. 
 
 
PROVINHA BRASIL 
A Provinha Brasil, é uma avaliação diagnóstica, pedagógica, que visa investigar as 
habilidades desenvolvidas pelas crianças matriculadas no 2º ano do ensino fundamental 
das escolas públicas brasileiras, acontece duas vezes no decorrer do ano e é destinada a 
crianças de escola pública, onde a adesão a esta prova é opcional a cada secretaria. 
Composta pelos testes de Língua Portuguesa e de Matemática, a Provinha Brasil 
permite aos professores e gestores obter mais informações que auxiliem o monitoramento 
e a avaliação dos processos de desenvolvimento da alfabetização e do letramento inicial 
e das habilidades iniciais em matemática, oferecidos nas escolas públicas brasileiras, mais 
especificamente, a aquisição de habilidades de Leitura e de Matemática. 
Com o resultado da correção em mãos, é possível identificar qual o nível de 
alfabetização e o nível de matemática em que os alunos se encontram. 
 
 
Provinha Brasil – http://portal.inep.gov.br/provinha-brasil 
 
 
102 
 
 
SAEB – Sistema de Avaliação da Educação Básica 
Disponível em: https://www.somospar.com.br/saeb/ 
 
O SAEB – Sistema de Avaliação da Educação Básica é um sistema 
composto por três avaliações externas, que são aplicadas em larga escala e que tem 
como principal objetivo diagnosticar a Educação Básica do Brasil. Ou seja, ele 
avalia a educação nacional em suas diversas esferas. 
O resultado dessas avaliações é usado para calcular o IDEB (Índice de 
Desenvolvimento da Educação Básica), que também considera os dados de fluxo 
escolar fornecidos pelo Censo Escolar e consiste, portanto, em um indicador da 
qualidade do ensino oferecido nas escolas de todo o país. O índice é divulgado a cada 
dois anos. 
Por meio desse indicador, as escolas e/ou sistemas podem formular ou 
reformular seus projetos políticos pedagógicos, visando à melhoria da qualidade, 
equidade e eficiência do ensino. 
A partir de 2017, passaram a fazer as avaliações do Saeb todas as escolas 
públicas (aplicação obrigatória) e privadas (adesão voluntária), de zonas urbanas e 
rurais, e com pelo menos dez estudantes matriculados em turmas regulares no 3º ano 
do Ensino Médio. 
Em 2018, foram anunciadas outras mudanças significativas quanto às 
aplicações, público, entre outros. 
Desde 1990, várias mudanças aconteceram no Saeb. Naquele ano, o público-
alvo do sistema eram a 1ª, 3ª, 5ª e 7ª séries do Ensino Fundamental de escolas 
públicas selecionadas por amostragem. As áreas do conhecimento e disciplinas 
avaliadas eram Língua Portuguesa, Matemática, Redação e Ciências Naturais. 
Durante muitos anos de aplicação o Saeb avaliou somente as disciplinas de 
Língua Portuguesa e Matemática. No entanto, mudanças em relação às áreas do 
conhecimento entraram em vigor, com sua aplicação a partir de 2019. Serão 
avaliadas, também, as áreas de Ciências Humanas e Ciências da Natureza, de acordo 
com as competências e habilidades previstas pela BNCC. 
Atualmente o SAEB avalia a Educação Infantil, além do Ensino Fundamental e 
Médio que já eram avaliados. As turmas que devem prestar o exame são: creche e 
pré-escola da Educação Infantil; 2º, 5º e 9º ano do Ensino Fundamental e 3ª série do 
Ensino Médio.103 
 
 
Mudanças no Saeb a partir de 2019 
No mês de junho de 2018, o MEC anunciou algumas mudanças para o Sistema 
de Avaliação da Educação Básica (Saeb), sendo elas: 
 A Avaliação Nacional da Alfabetização (ANA), a Avaliação Nacional do 
Rendimento Escolar (ANRESC, ou Prova Brasil) e a Avaliação Nacional da Educação 
Básica (ANEB) perdem as nomenclaturas e serão agrupadas sob o mesmo nome: 
Saeb, acompanhado da etapa correspondente; 
 A Educação Infantil será incluída no sistema de avaliação, mas os 
questionários serão respondidos pelos professores; 
 As provas que antes tinham datas diferentes de aplicação, passarão a 
ser nos anos ímpares, enquanto os resultados nos anos pares; 
 Alunos a partir do 9º ano do Ensino Fundamental passarão a fazer 
provas também de Ciências da Natureza e Ciências Humanas, mas o Ideb não irá 
considerar esses resultados para continuar com a série histórica, já que nos anos 
anteriores tais áreas não foram contempladas; 
 A avaliação da alfabetização será antecipada para o 2º ano, que antes 
era no 3º ano do Ensino Fundamental, visto que a BNCC prevê o fim do ciclo no 2º 
ano; 
 Criação de matrizes de avaliação para as novas áreas e segmentos que 
serão avaliados; 
 As provas irão contemplar as competências e habilidades previstas pela 
Base Nacional Comum Curricular (BNCC). Já as provas para o Ensino Médio ainda 
não serão afetadas, visto que a Base ainda está em processo de discussão; 
 Todas as escolas particulares irão receber resultados individuais por 
instituição; 
 O MEC irá testar os exames em formato digital e maneiras de aferir 
competências socioemocionais. 
 
Veja a tabela comparativa dos anos anteriores: 
 
 
104 
 
Disponível em: https://www.somospar.com.br/saeb/ 
 
7.6 Discalculia e acalculia 
 
A Discalculia é um transtorno específico da habilidade em matemática. De acordo 
com Belleboni (apud GARCIA, 1998), a discalculia é uma dificuldade de aprendizagem 
evolutiva, que não causa lesão, não é causada por nenhuma deficiência mental, déficits 
auditivos e nem pela má escolarização. 
Segundo a Academia Americana de Psiquiatria, (BASTOS, 2006, p. 202 apud 
NEWRA ROTTA), a discalculia do desenvolvimento é uma dificuldade em aprender 
matemática, com falhas para adquirir proficiência adequada neste domínio cognitivo, a 
despeito de inteligência normal, oportunidade escolar, estabilidade emocional e motivação 
necessária. 
A discalculia apresenta-se como uma imaturidade das funções neurológicas ou uma 
disfunção sem lesão (BOMBONATTO, 2006). 
Segundo Ciasca (2003), essas dificuldades relacionadas ao aprender são muito 
mais frequentes em meninos do que em meninas, na proporção de 6 por 1. A explicação 
é que nos meninos existem menos microgiros no cérebro do que nas meninas, receberiam 
dos pais a dificuldade em aprender e em virtude de maiores habilidades demonstradas 
pelas meninas em provas neuropsicológicas relacionadas à coordenação motora, nas 
provas de ordem verbal e nas características de aquisição da linguagem. 
 
 
105 
 
7.6.1 Discalculia é dificuldade ou transtorno de aprendizagem? 
 
De acordo com o DSM-IV (2002, p. 44), transtornos da aprendizagem são 
diagnosticados quando os resultados do indivíduo em testes padronizados e 
individualmente administrados de leitura, matemática ou expressão escrita estão 
substancialmente abaixo do esperado para sua idade, escolarização e nível de inteligência. 
Fragoso Neto (2007) comenta que para ser considerado um transtorno, a 
dificuldade de aprendizagem deve estar presente desde o início da vida escolar, não sendo 
adquirida ao longo da escolarização e, em consequência de falta de oportunidades de 
aprender, interrupções na escolarização, traumatismo ou doença cerebral. 
Para se avaliar o Transtorno Especifico da Aprendizagem – p. 66), de acordo com 
o DSM V é preciso seguir os seguintes critérios diagnósticos: 
 
Critérios diagnósticos 
 
A. Dificuldades na aprendizagem e no uso de habilidades acadêmicas, conforme 
indicado pela presença de ao menos um dos sintomas a seguir que tenha persistido por 
pelo menos 6 meses, apesar da provisão de intervenções dirigidas a essas dificuldades: 
1. Leitura de palavras de forma imprecisa ou lenta e com esforço (por exemplo, lê 
palavras isoladas em voz alta, de forma incorreta ou lenta e hesitante, frequentemente 
adivinha palavras, tem dificuldade de soletrá-las). 
2. Dificuldade para compreender o sentido do que é lido (por exemplo, pode ler o 
texto com precisão, mas não compreende a sequência, as relações, as inferências ou os 
sentidos mais profundos do que é lido). 
3. Dificuldades para ortografar (ou escrever ortograficamente) (por exemplo, pode 
adicionar, omitir ou substituir vogais e consoantes). 
4. Dificuldades com a expressão escrita (por exemplo, comete múltiplos erros de 
gramática ou pontuação nas frases; emprega organização inadequada de parágrafos; 
expressão escrita das ideias sem clareza). 
5. Dificuldades para dominar o senso numérico, fatos numéricos ou cálculo (por 
exemplo, entende números, sua magnitude e relações de forma insatisfatória; conta com 
os dedos para adicionar números de um dígito em vez de lembrar o fato aritmético, como 
fazem os colegas; perde-se no meio de cálculos aritméticos e pode trocar as operações). 
6. Dificuldades no raciocínio (por exemplo, tem grave dificuldade em aplicar 
conceitos, fatos ou operações matemáticas para solucionar problemas quantitativos). 
 
B. As habilidades acadêmicas afetadas estão substancial e quantitativamente 
abaixo do esperado para a idade cronológica do indivíduo, causando interferência 
significativa no desempenho acadêmico ou profissional ou nas atividades cotidianas, 
confirmada por meio de medidas de desempenho padronizadas administradas 
individualmente e por avaliação clínica abrangente. Para indivíduos com 17 anos ou mais, 
 
106 
história documentada das dificuldades de aprendizagem com prejuízo pode ser substituída 
por uma avaliação padronizada. 
C. As dificuldades de aprendizagem iniciam-se durante os anos escolares, mas 
podem não se manifestar completamente até que as exigências pelas habilidades 
acadêmicas afetadas excedam as capacidades limitadas do indivíduo (por exemplo, em 
testes cronometrados, em leitura ou escrita de textos complexos longos e com prazo curto, 
em alta sobrecarga de exigências acadêmicas). 
D. As dificuldades de aprendizagem não podem ser explicadas por deficiências 
intelectuais, acuidade visual ou auditiva não corrigida, outros transtornos mentais ou 
neurológicos, adversidade psicossocial, falta de proficiência na língua de instrução 
acadêmica ou instrução educacional inadequada. 
Nota: Os quatro critérios diagnósticos devem ser preenchidos com base em uma 
síntese clínica da história do indivíduo (do desenvolvimento, médica, familiar, educacional), 
em relatórios escolares e em avaliação psicoeducacional. 
Nota para codificação: Especificar todos os domínios e sub-habilidades acadêmicos 
prejudicados. Quando mais de um domínio estiver prejudicado, cada um deve ser 
codificado individualmente conforme os especificadores a seguir. 
 
Especificar se: 
315.00 (F81.0) Com prejuízo na leitura: 
Precisão na leitura de palavras 
Velocidade ou fluência da leitura 
Compreensão da leitura 
 
Nota: Dislexia é um termo alternativo usado em referência a um padrão de 
dificuldades de aprendizagem caracterizado por problemas no reconhecimento preciso ou 
fluente de palavras, problemas de decodificação e dificuldades de ortografia. Se o termo 
dislexia for usado para especificar esse padrão particular de dificuldades, é importante 
também especificar quaisquer dificuldades adicionais que estejam presentes, tais como 
dificuldades na compreensão da leitura ou no raciocínio matemático.315.2 (F81.81) Com prejuízo na expressão escrita: 
Precisão na ortografia 
Precisão na gramática e na pontuação 
Clareza ou organização da expressão escrita 
315.1 (F81.2) Com prejuízo na matemática: 
Senso numérico 
Memorização de fatos aritméticos 
Precisão ou fluência de cálculo 
Precisão no raciocínio matemático 
 
107 
 
Nota: Discalculia é um termo alternativo usado em referência a um padrão de 
dificuldades caracterizado por problemas no processamento de informações numéricas, 
aprendizagem de fatos aritméticos e realização de cálculos precisos ou fluentes. Se o 
termo discalculia for usado para especificar esse padrão particular de dificuldades 
matemáticas, é importante também especificar quaisquer dificuldades adicionais que 
estejam presentes, tais como dificuldades no raciocínio matemático ou na precisão na 
leitura de palavras. 
Especificar a gravidade atual: 
Leve: Alguma dificuldade em aprender habilidades em um ou dois domínios 
acadêmicos, mas com gravidade suficientemente leve que permita ao indivíduo ser capaz 
de compensar ou funcionar bem quando lhe são propiciados adaptações ou serviços de 
apoio adequados, especialmente durante os anos escolares. 
Moderada: Dificuldades acentuadas em aprender habilidades em um ou mais 
domínios acadêmicos, de modo que é improvável que o indivíduo se torne proficiente sem 
alguns intervalos de ensino intensivo e especializado durante os anos escolares. Algumas 
adaptações ou serviços de apoio por pelo menos parte do dia na escola, no trabalho ou 
em casa podem ser necessários para completar as atividades de forma precisa e eficiente. 
Grave: Dificuldades graves em aprender habilidades afetando vários domínios 
acadêmicos, de modo que é improvável que o indivíduo aprenda essas habilidades sem 
um ensino individualizado e especializado contínuo durante a maior parte dos anos 
escolares. Mesmo com um conjunto de adaptações ou serviços de apoio adequados em 
casa, na escola ou no trabalho, o indivíduo pode não ser capaz de completar todas as 
atividades de forma eficiente. 
 
A discalculia dificulta a compreensão e realização das operações matemáticas. Os 
estudos de neuroimagem mostraram consistentemente a estreita relação entre a 
discalculia e certas áreas do cérebro. Algumas das áreas cerebrais mais afetadas pela 
discalculia são: 
Sulco intraparietal: Estudos recentes mostraram que o sulco intraparietal, 
especialmente no hemisfério direito, é uma das estruturas cerebrais que mostra anomalias 
em pessoas com discalculia. Este sulco intraparietal direito é crucial para o processamento 
correto de informações numéricas. 
Lobo frontal: O lobo frontal, especialmente a parte dorsolateral pré-frontal, está 
estreitamente relacionado às funções executivas, como o planejamento ou a memória 
operacional, ambas necessárias para realizar cálculos e resolver problemas matemáticos. 
A discalculia também pode causar uma alteração nas habilidades cognitivas relacionadas 
a esta área do cérebro. 
Disponível em: https://www.cognifit.com/br/cognitive-assessment/dyscalculia-test 
 
As características desta patologia são muito heterogêneas, relacionando-se com 
problemas neurológicos, espaciais ou de linguagem que levam a criança a apresentar 
dificuldades na resolução de problemas elementares, como o reconhecimento de números, 
na contagem sequencial, no sistema numérico simbólico, tabuadas, posicionarem os 
 
108 
números em folha de papel, somar, subtrair, multiplicar e dividir, memorizar cálculos e 
fórmulas, distinguir os símbolos matemáticos, compreender os termos utilizados. 
Assim sendo, a discalculia é uma inabilidade menos conhecida, bem como e 
potencialmente relacionada à dislexia e à dispraxia. 
Este transtorno ocorre em pessoas de qualquer nível de QI, o discalcúlico tem 
inteligência normal, às vezes, até acima da média, seu problema é unicamente com o 
conhecimento da matemática. 
Discalculia (em sua definição mais geral) não é rara. Muitas crianças com dislexia 
ou dispraxia têm discalculia também, porém a criança pode ser apenas discalcúlica e não 
necessariamente disléxica também. Há também alguma evidência para sugerir que este 
tipo de distúrbio é parcialmente hereditário. 
Existem diversos tipos de discalculia: 
 Discalculia léxica: dificuldade na leitura de símbolos matemáticos; 
 Discalculia verbal: dificuldades em nomear quantidades matemáticas, 
números, termos e símbolos; 
 Discalculia gráfica: dificuldade na escrita de símbolos matemáticos; 
 Discalculia operacional: dificuldade na execução de operações e cálculos 
numéricos; 
 Discalculia practognóstica: dificuldade na enumeração, manipulação e 
comparação de objetos reais ou em imagens; 
 Discalculia ideognóstica: dificuldades nas operações mentais e no 
entendimento de conceitos matemáticos. 
Às vezes, a Discalculia também pode ser encontrada em conjunto com a dislexia 
(dificuldade em ler, escrever e soletrar). No entanto, é preciso lembrar que a discalculia 
não deve ser confundida com acalculia, que se refere à perda da capacidade de calcular 
e desenvolver o raciocínio aritmético, causada por danos neurológicos. 
Existem três tipos de Acalculia: 
1- Alexia e agrafia para números, dificuldades para ler e escrever quantidades, 
comprometimento no hemisfério esquerdo. 
2- Acalculia espacial, dificuldade na orientação espacial, impossibilitando a 
colocação dos números em posições adequadas para executar cálculos, 
comprometimento no hemisfério direito. 
3- Anaritmetia, corresponde a uma acalculia primária e implica na inabilidade 
em conduzir operações aritméticas, com comprometimento em ambos os hemisférios. 
 
Devemos ter muito cuidado ao se fazer um diagnóstico de uma discalculia, se faz 
de suma importância uma equipe multidisciplinar para isso. 
A intervenção do professor para ajudar o aluno com discalculia, conforme 
orientações da Associação Brasileira de Dislexia (ABD)3 apud Silva (2008), são: 
 
3 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE DISLEXIA – http://www.dislexia.org.br/ 
 
109 
 Permitir o uso da calculadora e tabela de tabuada; 
 Adotar o uso do caderno quadriculado; 
 Quanto às provas, devem-se elaborar questões claras e diretas, reduzindo-
se ao mínimo o número de questões, sem limite de tempo, aplicando-a de tal sorte que o 
aluno esteja acompanhado apenas de um tutor para certificar-se se o aluno entendeu o 
enunciado das questões; 
 Estabelecer critério em que, por vezes, o aluno poderá ser submetido à 
prova oral, desenvolvendo as expressões mentalmente, ditando para que alguém as 
transcreva; 
 Moderar na quantidade dos deveres de casa, evitando passar exercícios 
repetitivos e cumulativos; 
 Incentivar a visualização do problema, com desenhos e depois 
internamente; 
 Prestar atenção ao processo utilizado pela criança, verificando o tipo de 
pensamento que ele usa para desenvolver o problema; 
 Ministrar uma aula livre de erros, para esse aluno conhecer o sucesso; 
 Ter em mente que, para o discalcúlico, nada é óbvio, como é para os demais 
alunos. 
A ABD recomenda também o trabalho interdisciplinar, o acompanhamento de um 
psicopedagogo e a valorização as atividades desenvolvidas pelo aluno, bem como 
estímulo à memória visual por meio de quadros com números, correspondências 
numéricas, uso de jogos e brincadeiras e o uso de computador, entre outros. 
Recomenda ainda que o professor evite fazer diferenciação do aluno com essa 
patologia em relação aos demais e evitar correções constantes na frente dos colegas. 
A Discalculia não se agrava, o que pode se agravar são os danos como a baixa 
autoestima, abandono escolar e outros. O sujeito com discalculia pode ter sucesso em sua 
vida acadêmica e profissional, destacando-se em várias outras áreas.Essas recomendações também são compartilhadas por outras instituições, a saber: 
 Instituto ABCD – Dislexia – Acessado em: 23 fev. 2019. 
www.institutoabcd.org.br/todos-aprendem 
 Instituto Inclusão Brasil – Dislexia e Matemática – Discalculia – Acesso em: 
23 fev. 2019. 
https://www.institutoinclusaobrasil.com.br/discalculia-dislexia-e-matematica/ 
 Associação Brasileira de Dislexia – Acesso em: 23 fev. 2019. 
 
110 
www.dislexia.org.br 
 
Há diversas causas que podem implicar certas dificuldades para aquisição das 
habilidades em matemática, conforme demonstrado pelo esquema abaixo. 
 
Fonte: Newra Tellechea Rotta – Transtornos da Aprendizagem, p. 203 
 
 
 
 
 
Causas de 
dificuldade em 
matemática 
Neurológico 
Não-neurológico 
– Fatores escolares 
– Fatores sociais 
– Ansiedade para matemática 
Primária - Acalculia 
- Discalculia do desenvolvimento 
Secundária 
– Deficiência Mental 
– Epilepsia 
– Síndrome de Turner 
– Fenilcetonúria tratada 
– Portadoras de síndrome 
 do X Frágil 
– Síndrome fetal alcoólica 
– Baixo peso 
– TDAH 
– Dislexia 
– Disfasia 
– Outros 
 
111 
 
 
 
Sobre: 
Procedimentos para Registro … Ver DSM V p. 68; 
Características Diagnósticas… Ver DSM V p. 69; 
Características Associadas que Apoiam o Diagnóstico… Ver DSM V p. 70; 
Prevalência e Desenvolvimento… Ver DSM V p. 71; 
Fatores de Risco e Prognóstico…Ver DSM p. 72; 
Questões Diagnósticas Relativas à Cultura… Ver DSM p. 72; 
Diagnóstico Diferencial… Ver DSM p. 73; 
Comorbidades… Ver DSM p. 74. 
 
7.6.2 Teste simples de discalculia 
 
Disponível em: http://educamais.com/teste-de-discalculia/ 
 
Podemos, de maneira informal, realizar um teste simples para diagnosticar a 
presença de Discalculia em alunos que já se encontram no 5º e 6º ano e apresentam 
dificuldades acentuadas na matemática. 
Para isto, podemos dar um questionário com perguntas de resposta direta (sim e 
não) e somamos os pontos. 
Se a pontuação geral for de 16 pontos ou mais, podemos passar a uma investigação 
mais detalhada e buscar um diagnóstico interdisciplinar. 
Peça para o aluno que responda as seguintes perguntas: 
1. Às vezes, ao copiar os números do quadro, escrevo na ordem errada? 
2. Ao usar o telefone móvel ou de casa, escrevo os números de maneira errada e 
não consigo lembrar os números mesmo quando o uso regularmente? 
3. Somar e subtrair são operações difíceis para mim? 
4. Não consigo compreender frações? 
5. Não compreendo o significado de números pares e ímpares? 
6. Quando alguém fala em números pares e ímpares, tenho que pensar muito para 
identificar cada um? 
7. Nunca poderei trabalhar em uma loja, pois tenho dificuldades com o troco? 
 
112 
8. Confundo-me sempre com relógios analógicos? 
9. Nunca consigo subtrair números grandes? 
10. Não consigo entender a tabuada? 
11. Não consigo identificar os símbolos matemáticos (- ou +), não sei o seu nome e 
o que eles significam? 
12. Todos da minha turma sabem raiz quadrada, mas, na realidade, eu não sei? 
13. Acho difícil copiar um conjunto de números do quadro para o caderno? 
14. Mesmo quando uso a calculadora, o resultado não dá certo? 
15. Quando tenho que resolver um problema não consigo terminar? 
16. Às vezes, esqueço o nome das figuras geométricas como círculo e triângulo? 
17. Quando resolve um exercício matemático, a folha fica sempre bagunçada? 
18. Às vezes, sei a resposta do problema, mas não sei como eu cheguei lá? 
19. Fico confuso com números elevados como 1000 e 9999 e não consigo identificar 
o mais elevado? 
20. Quando viajo, não percebo o valor do dinheiro em outros países? 
21. Não compreendo porcentagens? 
22. Não tenho ideia de como resolver um problema tipo: se um homem demora 
cinco minutos para percorrer 10 km, quanto tempo leva para percorrer 12 km, mesmo que 
os outros da minha turma consigam? 
23. A matemática me assusta e não entendo como funciona? 
24. Se tiver que responder uma pergunta relacionada com números, fico ansioso e 
não lido bem? 
 
7.6.3 Avaliação de discalculia online (CAB-DC) 
 
Avaliação neuropsicológica inovadora de discalculia, que permite realizar uma 
avaliação cognitiva completa e analisar o índice de risco de sofrer este transtorno de 
aprendizagem. 
Disponível em: https://www.cognifit.com/br/cognitive-assessment/dyscalculia-test 
 
 
 
Somente quem domina a teoria que está por detrás dos instrumentos de pesquisa poderá 
compreender que qualquer material pode ser utilizado, que o importante são os conceitos 
que construímos. Carlberg, 2012, p. 64 
 
113 
Estes são os livros que não podem faltar jamais à biblioteca de um Psicopedagogo como 
fonte permanente de consultas e estudos para aprofundamento. 
 
CAMPOS, A. M. A. Discalculia: superando as dificuldades em aprender matemática. Rio 
de Janeiro: WAK Editora, 2015. 
CARLBERG, S. Psicopedagogia: uma matriz de pensamento diagnóstico no âmbito 
clínico. Curitiba: Ed. IBPEX, 2012. 
ROTTA, N. T. Transtornos da Aprendizagem: abordagem Neurobiológica e 
Multidisciplinar. Porto Alegre: Artmed, 2006. 
SAMPAIO, S. Dificuldade de aprendizagem: a psicopedagogia na relação sujeito, 
família e escola. 3ª ed. Rio de Janeiro: Editora Wak. 2011. 
______. Manual prático do diagnóstico psicopedagógico clínico. 5ª ed. Rio de 
Janeiro: Editora Wak . 2014. 
______. Transtornos e dificuldades de aprendizagem: entendendo melhor os 
alunos com necessidades educativas especiais. 2ª ed. Rio de Janeiro: Editora Wak, 
2014. 
SEABRA. A. G.; MARTINS, N.; CAPOVILLA, F. C. Avaliação Neuropsicológica 
cognitiva: leitura, escrita e aritmética. Volume 3. São Paulo: Memnon, 2013. 
VISCA, J. O diagnóstico operatório na prática psicopedagógica. Parte 1. São José 
dos Campos: Pulso Editorial, 2008. 
______. Psicopedagogia: novas contribuições. Rio de Janeiro. Nova Fronteira. 1991. 
 
 
Chegamos ao final de mais uma unidade. Aqui você estudou sobre a avaliação da 
Matemática. Em primeiro lugar, revimos os conceitos sobre as fases do desenvolvimento, 
segundo Piaget, e o papel do professor e do Psicopedagogo no processo de avaliação, 
lembrando que, em uma instituição de ensino, o psicopedagogo tem o papel de analisar 
os fatores da boa aprendizagem, que podem favorecer, intervir ou prejudicar o 
desempenho escolar. 
O psicopedagogo institucional, como um profissional qualificado, está apto a 
trabalhar na área da educação, dando assistência aos professores e a outros profissionais 
da instituição escolar para melhoria das condições do processo ensino-aprendizagem, 
bem como para prevenção dos problemas de aprendizagem. Foram apresentados os 
principais instrumentos de avaliação e também falamos sobre a Discalculia, transtorno da 
matemática. 
Esperamos que você tenha aprendido sobre o que esperamos que as crianças 
aprendam em cada fase do desenvolvimento escolar e que, diante dos obstáculos, 
você tenha os instrumentos corretos para investigar as possíveis causas das 
dificuldades de aprendizagem em matemática. 
 
114 
Também vimos o que diz o DSM V sobre os Transtornos de Aprendizagem em 
Matemática e quais os códigos devemos utilizar no caso de uma avaliação. 
Partimos agora para a última unidade (Materiais Manipulativos, concretos para 
aprendizagem matemática) a qual nos ajudará a continuar aprendendo e ajudando 
nossas crianças e adolescentes com dificuldades de aprendizagem em matemática. 
Bom estudo! 
 
115 
VIII. MATERIAIS MANIPULATIVOS, CONCRETOS PARA 
APRENDIZAGEM MATEMÁTICA 
 
Em grego, matemática significa “saber pensar”. Pensar é o que nos caracteriza 
como humanos. Logo, a função da matemática é levar o homem a pensar e não 
apenas reproduzir. 
Nosso modeloescolar não tem levado a matemática a cumprir este papel, pois 
da forma como tradicionalmente tem sido ensinada, o saber pensar separou-se do 
saber fazer. Os currículos atuais limitam-se a levar os alunos a aprenderem conceitos 
prontos e a fazerem uso destes a fim de satisfazerem as necessidades sociais, 
principalmente as voltadas a um mercado de trabalho cuja mão de obra deva ser 
treinada apenas para executar tarefas. 
Presenciamos uma dicotomia entre o saber pensar e o saber fazer. O primeiro 
ficou restrito a um pequeno grupo que o usa para dominar os que aprenderam apenas 
o saber fazer. 
Não se aprende matemática aleatoriamente. Seu ensino necessita ser 
planejado intencionalmente. 
O momento em que acontece o ponto de partida da aprendizagem de um 
conceito é que servirá de base para a formação de novos conceitos. Quando essa 
aprendizagem ocorre envolvendo tanto aspectos intelectuais como afetivos, torna-se 
possível à criança a construção do pensamento lógico matemático. 
Desde a pré-escola, através do encontro afetivo entre educando e educador, a 
aprendizagem matemática deve se dar através da linguagem afetivo-emocional, pois 
essa se constitui pré-requisito para a continuidade do processo educativo. 
Posteriormente a criança passará a desenvolver a linguagem sensitiva. Essas 
linguagens vão se compondo lentamente e se expandindo, até que a ação educativa 
se torne centro articulador. Do interior deste movimento é que a criança desenvolve a 
área que se refere à linguagem das palavras. 
É através da linguagem das palavras que se inicia e desenvolve-se a linguagem 
das quantidades e das formas: linguagem Matemática. 
As atividades matemáticas devem levar a criança à abstração, a recriar 
conceitos através da problematização e levantamento de hipóteses. O mais 
importante não é se a criança erra ou acerta o resultado das atividades, mas se ela 
trouxe para a discussão suas experiências, se ela se mobilizou, questionou, dando 
assim linguagem numérica às suas sensações. 
O importante é que a criança manifeste seu pensamento. 
O homem inventou a contagem para administrar os movimentos quantitativos 
necessários à sua vida. Primeiramente usou seu próprio corpo (dedos, toques, etc.) e 
objetos do seu ambiente para contar. Com base nesses instrumentos concretos criou 
um elemento de racionalidade, de abstração, a correspondência biunívoca. 
Estes três elementos compõem o primeiro conceito numérico matemático – 
Numeral – Objeto – antecessor ao senso numérico. O ensino tradicional desconsidera 
essa criação matemática, limitando-se a ensinar os números de forma repetitiva, 
levando a criança apenas a decorá-los. 
 
116 
A aprendizagem numérica deveria iniciar com o numeral objeto, através de um 
movimento pedagógico no qual a criança cria o número objeto a partir da 
problematização de situações relacionadas ao seu dia a dia. Este seria o momento 
em que a criança deveria aprender pensar numericamente, constituindo-se no 
principal momento da aprendizagem. 
Nesta concepção tradicional do ensino da matemática a criança entra em 
contato com os numerais das mais variadas formas: músicas, histórias, jogos e outras 
atividades, mas não desenvolve o pensamento numérico. O conceito de número não 
pode ser transmitido ao aluno. Este tem de ser (re)criado pelo educando através de 
momentos significativos. 
Os conceitos não podem ser apresentados magicamente. Não é pela 
realização de infindáveis exercícios que o educando aprende, mas sim pela 
oportunidade de pensar sobre estes, recriando seus conceitos. 
Verificamos deste modo que existe uma contradição pedagógica a ser 
superada. Não basta dominar a linguagem conceitual, é necessário levar o educando 
a desenvolver a compreensão da racionalidade. Não é suficiente o aprendizado de 
cálculos mecânicos, pois estes conduzirão apenas a uma visão análoga da realidade. 
Toda aprendizagem deve estar voltada ao desenvolvimento da capacidade de 
pensar, criar e ver o mundo de forma dialética, isto é, ao aprender o conceito 
matemático é preciso entender e entender-se, pois o homem se constrói humano 
construindo o conhecimento do mundo. 
Outro fator que sem dúvida interfere na construção do conhecimento é a 
relação professor-aluno, pois estes, além de serem sujeitos sociais, são também seres 
afetivos e a emoção marca profundamente o modo como irão se relacionar com o 
outro e consigo mesmo, construindo sua própria história e influenciando na construção 
coletiva da sociedade. 
 
Os cálculos sempre fizeram parte do cotidiano do homem. Ao caçar ou 
pescar, faziam-se marcas em ossos de animais ou em pedaços de madeira, 
quantificando os resultados. Com a evolução e a organização das 
comunidades, houve o desenvolvimento da agropecuária, com consequentes 
“sobras” de produtos, surgindo o comércio. Estes fatores tornaram necessária 
a criação de métodos de cálculos mais práticos, controlar os rebanhos de 
ovelhas, contando pedrinhas, já não era suficiente. 
José Alexandre Bastos 
 
Novos conhecimentos sobre o funcionamento cerebral durante o cálculo e o 
raciocínio matemático e o papel das diversas áreas cerebrais vem sendo cada vez 
mais estudados. A aritmética é uma habilidade básica do cérebro humano. Os 
números fazem parte do nosso cotidiano. O sistema cerebral pelos números é 
comparável às outras áreas cerebrais especializadas, como as responsáveis pelas 
cores, visão, leitura, escrita, entre outras. 
Os cálculos matemáticos são ativados nas áreas parietais inferiores e córtex 
pré-frontal, segundo tomografias, ressonâncias magnéticas e o PET-scan (exame que 
permite medir a atividade metabólica das lesões, demonstrando assim o grau de 
atividade delas, podendo mostrar a presença de alterações funcionais antes mesmo 
das morfológicas). 
 
117 
O cálculo é uma função cerebral complexa. Em uma operação aritmética 
simples, vários mecanismos cognitivos são envolvidos: 
a) processamento verbal da informação; 
b) percepção; 
c) reconhecimento e produção de números; 
d) representação número/símbolo; 
e) discriminação visuoespacial; 
f) memória de curto e longo prazo; 
g) raciocínio sintático; 
h) atenção. 
 
A intervenção em crianças com dificuldades será bem-sucedida quando noções 
de números de 0 a 9 (habilidade léxica), a produção de novos números (habilidade 
sintática), noções de quantidade, ordem, tamanho, espaço, distância, hierarquia, os 
cálculos com as quatro operações e o raciocínio matemático forem trabalhados como 
experiências significativas. 
A criança só irá trabalhar com fatos aritméticos mentalmente quando superar 
as etapas citadas acima. Para superar as dificuldades de percepção visuoespacial, é 
preciso trabalhar com a percepção de figuras e de formas, observar detalhes, 
semelhanças, diferenças e relacionar com as experiências do dia a dia, tais como 
fotos, imagens, tamanho, largura, espessura, para daí então poder trabalhar com 
números, letras e figuras geométricas. Disponível em: Newra Tellechea Rotta – 
Transtornos da Aprendizagem, p. 204 
 
8.1 O lúdico como motivação nas aulas de Matemática 
 
As atividades lúdicas (jogos, brincadeiras, brinquedos…) devem ser 
vivenciadas pelos educadores. É um ingrediente indispensável no relacionamento 
entre as pessoas, bem como uma possibilidade para que afetividade, prazer, 
autoconhecimento, cooperação, autonomia, imaginação e criatividade cresçam, 
permitindo que o outro construa por meio da alegria e do prazer de querer fazer e 
construir. 
Quando crianças ou jovens brincam, demonstram prazer e alegria em aprender. 
Eles têm oportunidade de lidar com suas energias em busca da satisfação de seus 
desejos. E a curiosidade que os move para participar da brincadeira é, em certo 
sentido, a mesma que move os cientistas em suas pesquisas. Dessa forma é 
desejávelbuscar conciliar a alegria da brincadeira com a aprendizagem escolar. 
Vale salientar que o aspecto afetivo se encontra implícito no próprio ato de 
jogar, uma vez que o elemento mais importante é o envolvimento do indivíduo que 
brinca. 
Ensinar Matemática é desenvolver o raciocínio lógico, estimular o pensamento 
independente, a criatividade e a capacidade de resolver problemas. Nós, educadores 
 
118 
e psicopedagogos, devemos procurar alternativas para aumentar a motivação para a 
aprendizagem, desenvolver a autoconfiança, a organização, a concentração, 
estimulando a socialização e aumentando as interações do indivíduo com outras 
pessoas. 
O uso de jogos e curiosidades no ensino da Matemática tem o objetivo de fazer 
com que os alunos gostem de aprender essa disciplina, mudando a rotina da classe e 
despertando o interesse do aluno envolvido. A aprendizagem através de jogos, como 
dominó, quebra-cabeça, palavras cruzadas, memória e outros permitem que o aluno 
faça da aprendizagem um processo interessante e divertido. 
Analisando as possibilidades do jogo no ensino da Matemática, percebemos 
vários momentos em que crianças e jovens, de maneira geral, exercem atividades 
com jogos em seu dia a dia, fora das salas de aula. Muitos desses jogos se 
apresentam impregnados de noções matemáticas que são simplesmente vivenciadas 
durante sua ação no jogo. 
Os Jogos precisam ser significativos, pois situações abstratas em forma de 
problemas dificultam a compreensão de quem tenha dificuldades de aprendizagem, 
se as mesmas situações forem apresentadas em forma de simulação em que seja 
vivenciada, isso ajudaria em sua compreensão. 
As etapas devem ser programadas de forma graduada e devem focar o 
desenvolvimento de noções e habilidades. É necessário conversar com a criança 
sobre as atividades que serão desenvolvidas, para que ela saiba o que será feito. 
Os diversos tipos de materiais manipulativos utilizados pelos educadores para 
ensinar têm sido alvo de discussões em pesquisas e encontros educacionais, 
possivelmente por proporcionarem um leque de possibilidades pedagógicas em sala 
de aula. 
Quando o sujeito passa a tocar o objeto, a manipulá-lo, ele faz a conexão entre 
o toque e a descoberta de suas propriedades, levantando hipóteses sobre as 
informações ali apresentadas. Desenvolve o raciocínio quantitativo e o seu 
pensamento funcional em relação às outras representações. 
 
8.2 Materiais para intervenção psicopedagógica nas dificuldades de 
aprendizagem, raciocínio lógico e matemática 
 
Ábaco aberto e fechado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
119 
 
Permite aos alunos compreender as relações existentes entre unidades, 
dezenas e centenas no sistema de numeração decimal, bem como auxilia na 
compreensão de técnicas operatórias envolvendo trocas e reservas em operações de 
adição e subtração. 
 
Barras de Cuisenaire 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: http://www.utfpr.edu.br/cornelioprocopio/cursos/licenciaturas/Ofertados-
neste-Campus/matematica/laboratorios/material-didatico/escala-cuisenaire 
 
Cuisenaire é um material simples e auxilia a criança a construir conceitos 
básicos de Matemática. O material favorece a correspondência entre as estruturas 
mentais da criança e a relação que ela estabelece com as peças, através das 
atividades trabalhadas. Pode-se trabalhar sucessão numérica, comparação e 
inclusão, as quatro operações, o dobro e a metade de uma quantidade e frações. 
O material Cuisenaire é constituído por uma série de barras de madeira, sem 
divisão em unidades e com tamanhos variando de uma até dez unidades. Cada 
tamanho corresponde a uma cor específica. 
Um pouco de História … 
Foi criado pelo professor belga Georges Cuisenaire Hottelet (1891-1980) 
depois de ter observado o desespero de um aluno, numa das suas aulas. Decidiu criar 
um material que ajudasse no ensino dos conceitos básicos da Matemática. Então 
cortou algumas réguas de madeira em 10 tamanhos diferentes e pintou cada peça de 
uma cor tendo assim surgido a Escala de Cuisenaire. 
Feito originalmente de madeira, o Cuisenaire é constituído por modelos de 
prismas quadrangulares com alturas múltiplas da do cubo – representante do número 
1 – em 10 cores diferentes e 10 alturas proporcionais. 
 
 
 
120 
 
http://borboletrascriativas2.blogspot.com/2011/09/barras-de-cuisenaire.html 
https://www.mundobrink.com/blog/2016/05/voce-sabe-o-que-e-escala-cuisenaire-confira-12-
dicas-de-como-utilizar 
 
Fichas Sobrepostas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: https://mmpmateriaispedagogicos.com.br/ 
 
As fichas sobrepostas têm como objetivo auxiliar a crianças a ler, escrever, 
comparar e ordenar números naturais pela compreensão das características do 
Sistema de Numeração Decimal e relacionar um número no Sistema de Numeração 
Decimal com sua decomposição nas ordens do sistema. 
 
 
Material Dourado 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Arquivo pessoal da autora 
 
 
121 
O Material Dourado, idealizado pela médica e educadora italiana Maria 
Montessori, destina-se à realização de atividades que auxiliam na aprendizagem do 
Sistema de Numeração Decimal-posicional e das operações fundamentais. 
No ensino tradicional, as crianças acabam aprendendo sobre os números a 
partir de vários treinos, mas sem conseguirem compreender o que fazem. 
Com o Material Dourado a situação é outra: as relações numéricas abstratas 
passam a ter uma imagem concreta, facilitando a compreensão. Obtém-se, então, 
além da compreensão dos números, um notável desenvolvimento do raciocínio e um 
aprendizado bem mais agradável. 
O Material Dourado é composto por mil cubinhos em madeira de 1 cm x 1cm 
(cada cubinho corresponde a uma unidade), cem barras de 10 cm x 1 cm (cada barra 
corresponde a uma dezena), dez placas de 10 cm x 10 cm (cada placa corresponde 
a uma centena) e um cubo de 10 cm x 10 cm x 10 cm x 10 cm que corresponde a um 
milhar. 
 
 
 
 
Atividades para se trabalhar com o material dourado em: 
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde
/2013/2013_uem_mat_pdp_wilma_licce.pdf 
http://www.londrina.pr.gov.br/dados/images/stories/Storage/sec_educacao/canal_edu
cativo/mat_material_dourado.pdf 
https://br.pinterest.com/elisanndraef/material-dourado/?lp=true 
 
 
122 
Blocos lógicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: https://www.estudokids.com.br/aprendendocomosblocoslogicos/ 
 
Foi criado, em 1950, por Zoltan Paul Dienes, um matemático húngaro. Esses 
blocos são auxiliares para o exercício da lógica e do raciocínio abstrato, e ajudam 
ainda a estimular a análise, o raciocínio e o julgamento. 
Tem a finalidade também de auxiliar da aprendizagem das crianças na 
educação infantil, pois permite que a criança desenvolva as primeiras noções de 
operações lógicas e suas relações como correspondência e classificação, 
imprescindíveis na formação de conceitos de matemática. 
O Blocos Lógicos é um conjunto de 48 peças geométricas divididas em 
atributos distintos: quatro formas geométricas, peças grossas e finas, grandes e 
pequenas e também tem como atributo três cores. 
Segundo Piaget, “a aprendizagem na matemática envolve o conhecimento 
físico e lógico-matemático”. 
No caso dos blocos, o conhecimento físico acontece quando a criança pega, 
observa e identifica os atributos de cada peça. O lógico-matemático se dá quando ela 
usa esses atributos sem ter o material em mãos (raciocínio abstrato). 
 
 
123 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jogo – Pitagórica – Hergg Brinquedos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Arquivo pessoal da autora 
Pitagórica é mais uma formadesafiadora de estarmos lado a lado com a 
tabuada. A cada rodada somos submetidos à compreensão, da regularidade das 
operações da multiplicação num jogo de tabuleiro. Muita concentração, raciocínio, 
lógica e estratégia são predominantes neste material. 
Neste jogo estão “escondidas” todas as respostas da multiplicação que vão 
desde 1x1 até 10x10. O objetivo é colocar todas as respostas das multiplicações no 
tabuleiro. Veja como ficará o tabuleiro no final: 
 
 
De acordo com Úrsula M. Simonns, em seu livro Blocos Lógicos: 150 
exercícios para flexibilizar o raciocínio (2007), os docentes utilizam os blocos 
lógicos de forma insipiente e pouco sabem a respeito das ricas possibilidades de 
exploração inerentes ao material. O livro traz exatamente o que promete: 150 
sugestões de interessantes atividades para serem aplicadas em sala de aula, que 
são indicadas para crianças pequenas e até para adolescentes e jovens. 
Uma outra obra que detalha excelentes práticas com blocos lógicos para a 
educação infantil é Figuras e Formas, da Coleção Matemática de 0 a 6, 
organizado por Kátia S. Smole e outros autores (2003). Além de descrever várias 
atividades, o livro indica a partir de qual idade as mesmas são recomendadas. 
 
 
124 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disponível em: http://estimulandomeusfilhos.blogspot.com/2013/05/matematica-montessori-tabua-
de-pitagoras.html 
 
 
 
 
http://estimulandomeusfilhos.blogspot.com/2013/05/matematica-montessori-tabua-de-
pitagoras.html 
 
Queda Blocos Torremática – Hergg Brinquedos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
125 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Arquivo pessoal da autora 
 
 
Lembram-se do Jenga? Jenga é um jogo de habilidade física. Jenga significa 
construir. 
Os jogadores se revezam para remover blocos de uma torre, equilibrando-os 
em cima, criando uma estrutura cada vez maior e mais instável à medida que o jogo 
progride. 
Então, com a Torremática as regras são as mesmas, porém tem um diferencial, 
neste jogo, há desafios matemáticos descritos nas peças, os quais podem ser usados 
para aumentar ainda mais o desafio da brincadeira. 
 
Calculando Seu Lugar – Ludens Spirit 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Arquivo pessoal da autora 
 
126 
 
Calculando seu lugar é uma excelente ferramenta para o cálculo mental! 
Os jogadores poderão usar as 4 operações matemáticas (adição, subtração, 
multiplicação e divisão) para tentar obter o resultado desejado e marcá-los no 
tabuleiro. Cada jogador lança os três dados de uma só vez e com os números que 
saíram nos dados realizar operações a fim de encontrar o resultado no tabuleiro e 
marcá-lo. 
Objetivo: Preencher o máximo de lugares marcados com os resultados da 
operação que você realizou. 
 
De Olho nos Monstros – Neurototem Jogos Inteligentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Arquivo pessoal da autora 
 
O Objetivo do Jogo é trabalhar quantidades. Quem preencher todo monstro 
primeiro será o vencedor! 
Cada criança de posse de um tabuleiro de monstro, deverá lançar um dado e, 
de acordo com o número, pegar a quantidade de olhos e colocar no tabuleiro. 
O Jogo desenvolve a coordenação visomotora, além de pré-requisitos básicos 
para que se tenha boas habilidades em matemática: Saber contar, reconhecer a 
quantidade tirada no dado, relacionar a quantidade, compreender a correspondência 
1 a 1, organização e percepção espacial, além de desenvolver habilidades sociais, 
atenção, concentração, organização, autorregulação. 
 
 
 
 
 
127 
Bingo na Feira – IDEA Jogos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Arquivo pessoal da autora 
 
Todos sabem jogar Bingo, não é mesmo? 
Só que o Bingo na feira tem um diferencial! É mais divertido e lúdico. 
Os números de 1 a 20 devem ser marcados na cartela, de forma aleatória. A 
cartela está disposta no formato de 6 colunas por 4 linhas, onde cada coluna tem um 
determinado legume para facilitar a localização dos mesmos, quando sorteados. 
O sorteio é feito da seguinte forma. Dentro do saco tem os números de 1 a 20 
e um dado, onde cada lado do dado tem um legume. Então, se for sorteado o número 
12 e o legume berinjela, todos que marcaram o número 12 na berinjela podem riscar 
ou ainda quem tiver os números que compõe o 12 também podem, por exemplo: 5 + 
7 = 12 então podem riscar o 5 e o 7 de uma única vez. 
Os vencedores são aqueles que completam primeiramente uma linha, uma 
coluna ou mesmo a cartela toda, de acordo com os combinados feitos anteriormente. 
 
 
 
128 
Jogo da Memória – Tabuada – Ed. Matrix 
 
 
Como todos já conhecem, o jogo da memória é um clássico jogo formado por 
peças que apresentam figuras duplicadas. Cada figura se repete em duas peças 
diferentes. Para começar o jogo, as peças são postas com as figuras voltadas para 
baixo, para que não possam ser vistas. No jogo clássico, cada participante deve, na 
sua vez, virar duas peças e deixar que todos as vejam. Caso as figuras sejam iguais, 
o participante deve recolher consigo esse par e jogar novamente. Se forem peças 
diferentes, estas devem ser viradas novamente, e sendo passada a vez ao 
participante seguinte. 
Porém, a Memória da Tabuada você deve virar a operação e encontrar o 
resultado. É uma maneira diferente e desafiadora de aprender tabuada. Atenção, 
concentração, raciocínio e estratégia, serão estimulados e necessários em cada 
rodada do jogo. 
 
Lógico – Hergg Brinquedos 
 
 
 
 
129 
 
É um jogo estimulante que tem o objetivo de montar a sequência de números, 
desenvolvendo habilidades simples como, reconhecimento, nomeação e ordem dos 
numerais, percebendo as regularidades dos números em uma tabela de 1 a 100. 
Lógico estimula a concentração, raciocínio, estratégia e lógica. 
 
Troca Troca Jogo da Velha – Hergg Brinquedos 
 
 
Você já ouviu falar no Sudoku? O popular jogo de quebra cabeças japonês 
Sudoku baseia-se no posicionamento lógico de números. O Sudoku é um dos jogos 
de quebra-cabeças mais populares de sempre. O objetivo do Sudoku é preencher um 
quadrante de 9x9 com números para que cada fileira e coluna contenha todos os 
dígitos entre 1 e 9. Se jogar Sudoku diariamente, irá ver em breve melhorias na sua 
concentração. 
O Jogo Troca Troca Jogo da Velha segue a mesma lógica do Sudoku, o manejo 
dos bastões requer muita atenção para concluir o desafio por suas inúmeras 
possibilidades de jogadas. As cores não podem se repetir nas fileiras e colunas assim 
como uma mesma cor não pode estar dentro do próprio quadrante de sua cor. 
 
 
130 
Dominó da Tabuada – Hergg Brinquedos 
 
 
Dominó é o jogo formado com peças retangulares, dotadas normalmente de 
uma espessura que lhes dá a forma de paralelepípedo, em que uma das faces está 
marcada por pontos indicando valores numéricos. Cada face retangular de dominó é 
dividida em duas partes quadradas, ou “pontas”, que são marcadas por um número 
de pontos de 1 a 6 ou deixadas em branco, para representar o zero. 
Agora, o Dominó da Tabuada da Hergg é demais, tem como objetivo estimular 
a operação da multiplicação. Em forma de dominó, e com características de dominó, 
é uma maneira diferente e desafiadora de aprender tabuada. Atenção, concentração, 
raciocínio e estratégia, serão estimulados e necessários em cada rodada do jogo. 
 
Dominó da Joaninha – IDEA Jogos 
 
 
Mais um jogo de Dominó! Seguindo as mesmas regras como os demais, porém, 
este jogo também tem um diferencial numa das pontas do dominó. Numa delas terá 
 
131 
um número, esse número indicaráa quantidade de pintinhas da joaninha, já na outra 
ponta, teremos somente as pintinhas, temos que pensar muito qual peça numerada 
encaixará e corresponderá ao número de pintinhas total. 
 
Cubomática – Hergg Brinquedos 
 
Cubomática é uma excelente ferramenta na introdução de duas das operações 
matemáticas fundamentais: adição e subtração. De forma lúdica, compõem 
características muito interessantes. Os cubos representam os números que podem 
ser trocados (manipulados), o tabuleiro tem a forma de lousa, réguas indicam o traçar 
do lápis. Com esta combinação é possível imaginar as mais variadas formas de 
operações e, aprender matemática será muito divertido. Cubomática estimula 
habilidade cognitiva, motora, reconhecimento de numerais e fundamento em 
operações. 
 
 
132 
Mais e Mais números – IDEA Jogos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cinco cachorros e dois ratos. Sete animais. Conte até 10 e escolha o número 
para marcar essa quantidade. Em Mais e mais números, você vai contar os elementos 
e identificar o número que os representa. Passe por 3 níveis de dificuldade contando 
e somando. 
 
 
Como montar um Laboratório de Matemática: 
Veja em: https://mmpmateriaispedagogicos.com.br/laboratorio-de-matematica/ 
 
 
133 
 
Origami para ensinar 
“Ori” quer dizer dobrar e “gami”, papel. 
Origami é, além disso, uma forma de expressão. 
Calos Genova diz em seu livro, Origami – Dobras, Contas e Encantos que 
“Quem manipula o papel abre uma porta para a comunicação com o outro”. 
A arte milenar consiste na criação de objetos e formas a partir de um pedaço 
de papel quadrado, sem cortá-lo, onde as faces podem ser de cores diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: https://www.minutoseguros.com.br/quem-somos/lenda-tsuru 
 
A técnica de dobradura advém de um método que requer apenas um material 
acessível e barato, o papel. Além de dobrar, experimentar e observar, os alunos 
passam a interagir com os diversos campos da geometria, passam a construir seus 
conceitos e ideias a respeito de suas propriedades. Aliando a técnica da dobradura à 
tecnologia, tornamos o método mais eficiente e potencializado na aprendizagem e no 
conhecimento da matemática para o aluno. 
 
 
http://www.comofazerorigami.com.br/todos-origamis/ 
 
 
 
134 
 
Costa (2007) publicou o livro Matemática e Origami – Trabalhando Frações pela 
Editora Ciência Moderna. Esse livro trata exclusivamente de números racionais 
representados na forma fracionária, abordando o assunto de diversas maneiras, com 
várias sugestões de atividades que desenvolvam noções sobre o conteúdo. Segundo 
a autora, ela desenvolveu esse trabalho por se tratar de “um dos temas mais rejeitados 
pelos nossos alunos: as frações” (COSTA, 2007 p. 5). Não possui nenhuma referência 
bibliográfica. 
 
 
Veja mais em: Pequena História sobre o ORIGAMI 
http://www2.ibb.unesp.br/Museu_Escola/Ensino_Fundamental/Origami/Documentos/i
ndice_origami.htm. Acesso em: 21 fev. 2019. 
 
As atividades manuais estimulam a criatividade e a atenção ao seguir as instruções 
passo a passo, ao atender cada comando dado o aluno exercita a escuta, o campo viso 
motor a percepção espacial e ainda vai construindo o objeto a partir da sua prática, além 
de desenvolver a sua coordenação motora fina. 
 
 
135 
 
Tangram 
 
 
Fonte: https://www.smartickmethod.com/blog/math/geometry/geometry-2d-shapes-tangram/ 
 
Não se sabe ao certo como surgiu o Tangram, apesar de haver várias lendas sobre 
sua origem. Uma diz que uma pedra preciosa se desfez em sete pedaços, e com elas era 
possível formar várias formas, tais como animais, plantas e pessoas. Outra diz que um 
imperador deixou um espelho quadrado cair, e este se desfez em 7 pedaços que poderiam 
ser usados para formar várias figuras. 
Tangram é um quebra-cabeças geométrico chinês formado por 7 peças: são 2 
triângulos grandes, 2 pequenos, 1 médio, 1 quadrado e 1 paralelogramo. Utilizando todas 
essas peças sem sobrepô-las, podemos formar várias figuras. Segundo a Enciclopédia do 
Tangram é possível montar mais de 5000 figuras. Tem por objetivos divertir as pessoas. 
Não requer uma grande habilidade ou perícia, apenas paciência, tempo e acima de tudo, 
imaginação. 
O Tangram vem sendo utilizado pelos professores de matemática como 
instrumento facilitador da compreensão das formas geométricas. Além de facilitar o estudo 
da geometria, ele desenvolve a criatividade e o raciocínio lógico, que também são 
fundamentais para o estudo da matemática. 
O aluno que utiliza o Tangram tem a chance de perceber formas geométricas, de 
representá-las, de construí-las, de nomear objetivos e criar formas a partir delas. O aluno 
ao utilizar o Tangram, desenvolve sua capacidade de visualização, de percepção espacial, 
de análise e criatividade. Com isso terá um pensamento mais analítico e dedutivo. 
Com o uso do Tangram podemos trabalhar a identificação, comparação, descrição, 
classificação e desenho de formas geométricas planas, visão e aspectos de figuras planas, 
exploração de transformações geométricas através de decomposição e composição de 
figuras, abrangência das propriedades das figuras geométricas planas, reprodução e 
resolução de problemas usando padrões geométricos. 
 
 
 
136 
Cyberchase: a corrida do espaço 
 
Uma série infantil, animada que mostra que as situações difíceis podem ser 
resolvidas com simples cálculos de matemática. 
Um desenho cheinho de aprendizagem. 
 
Fonte: https://www.tfxbrasil.com/2017/07/cyberchase-desenho-nostalgia.html 
 
 
 
Cyberchase primeira temporada 
https://www.youtube.com/playlist?list=PLrLmL772xgPlN2AgSJVS9d6N0Lx3DELKt 
Cyberchase segunda temporada 
https://www.youtube.com/playlist?list=PL2H8-Z_mI4Ts73Wcfxjb19O0QJs4wDZkD 
Cyberchase terceira temporada 
https://www.youtube.com/playlist?list=PL2H8-Z_mI4TuomCcCSiuT3Hf4Ae99wMMu 
 
Livro: Jogos de matemática e de raciocínio lógico 
 
Composto por 350 jogos e 104 citações matemáticas, é divertir e entreter, mas 
não apenas isso. Se você aprecia desafios intelectuais e quer colocar sua inteligência 
à prova, com certeza desfrutará de bons momentos com este livro, mas, além disso, 
melhorará sua forma de raciocinar, de analisar, de classificar, de ordenar, de 
processar informações, de vislumbrar as possíveis alternativas em determinadas 
 
137 
situações. Decididamente, estará desenvolvendo seu cérebro, aperfeiçoando suas 
capacidades intelectuais e enriquecendo sua maneira de pensar – tudo isso enquanto 
se diverte, aproveita o tempo livre e aprende mais sobre a Matemática. 
Embora seja possível afirmar que se trata de um livro voltado 
fundamentalmente para um público entre 14 e 18 anos, há atividades de variados 
níveis de dificuldade, o que o torna atraente, tanto para crianças ligeiramente mais 
novas quanto para adultos. Assim sendo, é uma obra que diverte a todos. E mais, é 
um material muito útil para professores e educadores. 
 
 
Disponível em: https://www.clickbooks.com.br/index.php?route=product/product&product_id=3337 
 
 
 
138 
REFERÊNCIAS 
 
ANTUNES, C. Inteligências múltiplas e seus jogos. (v. 2 – Inteligência cinestésico-
corporal) 2. ed. Petrópolis: Vozes, 2009. 
BRASIL. Base Nacional Comum Curricular – Disponível em: 
<http://basenacionalcomum.mec.gov.br/>. Acesso em: 20 fev. 2019. 
______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: 
Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC /SEF, 1998. Disponível 
em: <ftp://ftp.fnde.gov.br/web/pcn/05_08_matematica.pdf>. Acesso em: 10 mar. 2019. 
CAMPOS. A. M. A. Discalculia – superando as dificuldades em aprender Matemática. Rio 
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