TCC_ Cristina

Jaqueline Bilek Horst

20/10/2021

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Cristina Maria Almeida Jacinto Ponsone

Equação Reduzida da Circunferência

São Carlos
2019

Cristina Maria Almeida Jacinto Ponsone

Equação Reduzida da Circunferência

Trabalho de conclusão de curso apresentado como
parte das atividades para obtenção do título de
especialista, do curso de Especialização em Ensino
de Matemática no Ensino Médio da Universidade
Federal de São Carlos.

Orientador: Profa. Dra. Luciene Nogueira
Bertoncello.

São Carlos
2019

Cristina Maria Almeida Jacinto Ponsone

Equação Reduzida da Circunferência

Trabalho de conclusão de curso apresentado como parte das atividades para obtenção do título
de especialista, do curso de Especialização em Ensino de Matemática no Ensino Médio da
Universidade Federal de São Carlos.

Aprovado em: 27 de julho de 2019.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Ivo Mac )ado da Costa

Profa. Dra. Luciene Nogueira Bertoncello

Dedico esse trabalho a todos aqueles que são
minha inspiração em busca de oferecer um
ensino de melhor qualidade: meus ex-alunos e
alunos, em especial aos concluintes das
terceiras séries A e B da Escola Estadual Doutor
Fabio Barreto de 2019, que muito me
auxiliaram na realização deste trabalho.

AGRADECIMENTOS

Ao meu esposo Marcos, meu filho Arthur e à
minha família, pelo incentivo e paciência
durante os momentos de ausência ao longo do
curso.

RESUMO

O presente trabalho tem por objetivo apresentar uma sequência didática com o tema
Equação Reduzida da Circunferência, pensada numa perspectiva de aulas práticas, dinâmicas,
interessantes e facilitadoras da aprendizagem para os alunos. A ideia principal foi tentar dar
maior materialidade ao tópico de Geometria Analítica, através de atividades lúdicas e utilização
do software de geometria dinâmica GeoGebra para consolidação dos conceitos iniciais. Foram
utilizadas dez aulas de 50 minutos cada, distribuídas entre o traçado de circunferências no pátio
da escola, trabalho na sala de informática com o uso do software GeoGebra e da plataforma
educacional Khan Academy, elaboração de relatório das atividades práticas, resolução e
correção de exercícios e avaliação das aulas pelos alunos. O envolvimento e o interesse dos
alunos na realização das atividades foram indiscutivelmente muito superiores em relação às
aulas de caráter mais tradicional, corroborando com a teoria de que se aprende mais e melhor
fazendo operações na prática do que apenas escrevendo e treinando exaustivamente em uma
lista de exercícios, muitas vezes sem sentido.

Palavras-chave: Equação da circunferência, GeoGebra, aulas práticas, aprendizagem.

ABSTRACT

The present work has the objective of presenting a didatic sequence with the theme
Circumference Reduced Equation thought of a practical, dynamic, interesting and facilitating
learning perspective for the students.
The main idea was the accomplishment of a study of Analytical Geometry through ludic
activities and the use of the software GeoGebra for the assembly of the initial concepts.
Ten classes of 50 minutes each were used, distributed among the circle circuits in the
schoolyard, working with GeoGebra software and the Khan Academy platform in the computer
room, reports of practical activities, resolution and correction of exercises and evaluation of the
classes by students.
The involvement and interest of the students in doing theses activities were undoubtedly much
superior to the more traditional classes, corroborating with the theory that one learns more and
better by practical activities than by writing and training exhaustively a list of exercises, often
meaningless.

Key Words: Circumference equation; GeoGebra; practical classes; learning.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 11

2 PLANEJAMENTO DA AULA INÉDITA
2.1 Caracterização da escola e justificativa inicial
2.2 Organização das turmas
2.3 Escolha do tema
2.4 Conexão da proposta didática com o PCN
2.5 Planejamento da aplicação da aula
13
13
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15
15
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3 APLICAÇÃO E ANÁLISE DA AULA INÉDITA
3.1 Aplicação da sequência didática
3.2 Analisando a aplicação da sequência didática

19
19
35

4 CONCLUSÃO
4.1 Resumo da pesquisa
4.2 Resumo da análise da aplicação
4.3 Modificações no produto didático pós-aplicação
4.4 Sugestões de novas aulas
4.5 Conclusão final
40
41
41
41
42
43

5 REFERÊNCIAS E BIBLIOGRAFIA 44

6 ANEXO 46

1. INTRODUÇÃO

Atuando há 29 anos como professora na Rede Estadual de São Paulo, sempre houve a
preocupação em tentar oferecer um ensino de qualidade aos alunos que ocupavam nossas salas
de aula, inclusive no período em que exercia funções de gestão (Professora Coordenadora
Pedagógica e Vice-diretora de Escola, de 2008 a 2015).
No trabalho com as terceiras séries do Ensino Médio desde 2016, observamos que é
indiscutível a aversão que as fórmulas empregadas no estudo da Geometria Analítica causam
aos nossos alunos, não só por ter de memorizá-las, mas também por não conseguirem ver
sentido em sua utilização e não conseguirem materializá-las. Acreditamos que o tratamento
estritamente algébrico dado ao assunto na maioria dos livros didáticos utilizados em nossas
escolas contribui substancialmente com esse cenário.
Em sala de aula, é constante a busca por formas de abordar os assuntos a serem
trabalhados para que estes sejam mais bem compreendidos pelos alunos com mais dificuldades,
uma vez que teoricamente, ensinar de Matemática a quem já sabe e gosta da disciplina é tarefa
fácil. Para isso muitas vezes colocamo-nos no lugar de nossos alunos: o que nossos professores
poderiam ter feito para auxiliar a aprendizagem quando determinado assunto não foi
suficientemente compreendido? Com certeza, eles não tiveram à disposição os mesmos
recursos tecnológicos que temos no presente, mas acreditamos que embora possa ajudar muito
se bem utilizada, nem só do uso da tecnologia se constitui uma boa aula.
A questão que norteou o presente trabalho já se tornava clara:
De que forma pode-se apresentar temas de Geometria Analítica de forma prazerosa e
clara para os alunos?
O maior desafio da sequência didática foi respeitar o prazo previsto para a realização
das atividades elaboradas, uma vez que há alunos com bastante dificuldade em Matemática e
pouco ritmo de aula, o que acentua ainda mais a defasagem educacional. Entretanto, as
atividades diversificadas favoreceram uma maior participação dos alunos, e o fato de ser do
conhecimento dos alunos que além de suas aulas, tratava-se também de atividades que deveriam
ser desenvolvidas no período estipulado para poder atender aos prazos determinados, fez com
que alguns colegas de classe cobrassem dos outros mais desatentos posturas mais adequadas
para o bom andamento das aulas.
O resultado foi muito gratificante, pois conseguimos alcançar o objetivo inicial com os
12

alunos. Além disso, houve o convite para aplicar parte da aula a dois grupos de professores de
Matemática em reunião de formação na Diretoria de Ensino (o que também foi muito
motivador). Finalmente aguardamos a conclusão deste trabalho para replicar a sequênciadidática e os resultados com nossos colegas de escola, especialmente as professoras de
Matemática.

2. PLANEJAMENTO DA AULA INÉDITA
Independente do tema, a decisão por uma aula com atividades práticas e a utilização do
software GeoGebra se deu logo no início do ano, em consequência de quatro fatores: clareza de
que o aluno que temos hoje não é o mesmo do ano anterior e era necessário modificar as aulas;
necessidade de melhorar o baixo desempenho dos alunos nas avaliações externas em larga
escala, nas terceiras séries do Ensino Médio; tranquilidade e domínio adequados para trabalho
com o software tanto na versão para PCs como para aparelhos celulares e principalmente o
funcionamento da escola em Período Integral, que faz emergir a necessidade de aulas mais
práticas a fim de amenizar a longa permanência em ambiente escolar.

2.1 Características da escola e justificativa inicial

Como em muitas outras escolas públicas nossa clientela é formada por filhos da classe
trabalhadora, funcionários públicos e trabalhadores autônomos, sendo sua maioria empregados
e subempregados da zona urbana e rural.
Devido às rotinas e problemas da vida diária, a escola encontra dificuldades para
promover a participação da comunidade, inclusive no acompanhamento da vida escolar e
presença nas reuniões bimestrais de pais e mestres. Também constatamos que no Ensino Médio,
talvez pelas próprias características da faixa etária, os responsáveis deixam de ter o mesmo
controle sobre a vida escolar dos alunos e consequentemente diminuem sua participação no
acompanhamento dos estudos dos filhos e na escola.
Contando com uma ótima localização geográfica no centro da cidade, a escola tem em
seu entorno muitas lojas, órgãos públicos estaduais e federais como Posto de Saúde, Fórum,
Hospital, Defensoria Pública e agências bancárias, sendo, portanto, de fácil acesso para a
comunidade.
Dos alunos matriculados muitos são da região central, mas uma boa parte é de
moradores de bairros rurais, além de outros municípios vizinhos. Apesar de recebermos
prioritariamente alunos oriundos de duas escolas de Ensino Fundamental II há uma grande
dispersão geográfica, que dificulta que familiares atendam às convocações da instituição,
principalmente devido aos horários de transporte público. Esse fato exige que a equipe da gestão
escolar ofereça horários e dias alternativos para atender a comunidade.
Em termos de construção de uma nova identidade, vale ressaltar ainda que nos últimos
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dois anos, a implantação do Programa de Ensino Integral fez com que houvesse uma grande
melhora da imagem da instituição quanto à sua importância e papel na comunidade perante
alunos, familiares e entorno social. Por sua vez, exige da equipe melhor desempenho na
elevação do nível da qualidade do ensino. Os principais dificultadores para essa melhoria são:
muitos alunos com níveis diferentes na mesma sala, necessitando reorganização dos
agrupamentos e novas estratégias de ensino; alunos copistas com poucas habilidades básicas
para encontrar estratégias de aprendizagem e até para demonstrar o que sabem e pouca
competência leitora, o que acarreta dificuldade para interpretar e compreender diferentes tipos
de texto lidos.
Em 2018 a escola não atingiu a meta prevista no IDESP (Índice de Desenvolvimento da
Educação de São Paulo – principal indicador de qualidade da Educação Paulista) e piorou seus
índices de desempenho e promoção em comparação com os anos anteriores. Um dos principais
desafios está na formação de uma equipe docente coesa, onde se construa o verdadeiro trabalho
coletivo e interdisciplinar.

2.2 Organização das turmas

A sequência didática foi aplicada nas 3as Séries “A” e “B” do Ensino Médio, totalizando
cerca de 57 (cinquenta e sete) alunos.
Foi elaborada uma sequência de atividades em que os alunos fossem construindo o
conceito de equação da circunferência com atividades que iam se complementando. Foram
utilizadas 9 horas aulas com 50 minutos de duração cada, e a distribuição das atividades
realizadas foi a seguinte:
Primeiramente, em duplas ou trios, deveriam traçar circunferências e determinar as
coordenadas do centro e a medida do raio. Em seguida, deveriam obter suas equações com o
auxílio do GeoGebra, também em duplas e/ou trios. A próxima etapa consistiu em utilizar uma
plataforma de estudos para resolver exercícios on-line. Após concluídas as etapas descritas até
este ponto, os alunos elaboraram de forma individual relatório acerca das atividades
desenvolvidas. Como atividade de sistematização e consolidação do que havia sido trabalhado
até este ponto, os alunos resolveram exercícios variados em sala de aula, individualmente ou
em duplas. As atividades de finalização consistiram na autoavaliação feita pelos alunos e na
avaliação escrita da aula, também realizadas de forma individual.

2.3 Escolha do tema

A decisão pelo tema da aula (Equação Reduzida da Circunferência) se deu pela época
em que ela deveria ser aplicada, observando o planejamento elaborado no início do ano e pelos
fatores já citados no planejamento desta sequência didática. Vale ressaltar que em 2016 e 2017
o software GeoGebra foi utilizado para o estudo das funções trigonométricas com os alunos, e
em 2018 o mesmo software foi usado para o estudo das Equações da Reta e da Circunferência
(em atividade diversa da que aqui se encontra relatada), proporcionando bons resultados à
época.
Os objetivos previstos para essa sequência didática foram: Localizar pontos e figuras
num sistema de coordenadas cartesianas, saber identificar a equação da circunferência na forma
reduzida e produzir texto do gênero relatório.
A sequência didática apresentada abaixo foi dividida e desenvolvida em sete etapas:
duas atividades práticas, sendo uma no pátio da escola e outra na sala de informática. Além
disso, foi realizada a elaboração de relatório, resolução de exercícios, autoavaliação pelos
alunos e avaliação escrita das aulas. Pretendeu-se dessa forma, inserir o aluno como sujeito
principal das ações, protagonista de sua própria formação.

2.4 Conexão da proposta didática com o PCN

Diferentemente da escola em que estudamos, a escola em que hoje trabalhamos é uma
escola para todos os alunos, inclusive para aqueles que muitas vezes nela permanecem sem,
contudo, ver um significado para isso. Este trabalho foi pensado para atender também a estes
estudantes, em consonância com o PCN (Brasil, 2000), conforme citado a seguir:

Um Ensino Médio concebido para a universalização da Educação Básica
precisa desenvolver o saber matemático, científico e tecnológico como
condição de cidadania e não como prerrogativa de especialistas. O aprendizado
não deve ser centrado na interação individual de alunos com materiais
instrucionais, nem se resumir à exposição de alunos ao discurso professoral,
mas se realizar pela participação ativa de cada um e do coletivo educacional
numa prática de elaboração cultural. É na proposta de condução de cada
disciplina e no tratamento interdisciplinar de diversos temas que esse caráter
ativo e coletivo do aprendizado afirmar-se-á.
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2.5 Planejamento da aplicação da aula

A sequência didática será desenvolvida no início do 2º bimestre letivo, no período
compreendido entre os dias 24/04/2019 a 03/05/2019, com previsão inicial de 9 aulas de 50
minutos cada uma. O detalhamento das etapas segue relacionado abaixo:
• 1ª Etapa - Atividade prática: 2 aulas;
• 2ª Etapa – Atividade com o GeoGebra: 1 aula;
• 3ª Etapa – Trabalho com a Plataforma Khan Academy: 2 aulas;
• 4ª Etapa – Início da elaboração do Relatório: 1 aula;
• 5ª Etapa – Resolução de questões de avaliações externas e correção: 2 aulas;
• 6ª e 7ª Etapas – Avaliação escrita das aulas e preenchimento da ficha de autoavaliação
pelos alunos: 1 aula de 50minutos
A seguir, temos o detalhamento de todas as etapas.

Etapa 1: Traçando circunferências

Para iniciar esta etapa, seria feita uma sondagem sobre o conhecimento prévio dos
alunos a respeito do que caracteriza uma circunferência, ainda em sala de aula. Após essa
sondagem, aconteceria uma atividade prática no pátio da escola: como ele é bastante amplo e
coberto por ladrilhos quadrados, seria desenhado um sistema cartesiano com o auxílio de fitas
adesivas coloridas.
Os alunos seriam divididos em grupos com 3 integrantes e cada grupo receberia um
pedaço de barbante de tamanhos diferentes, com um giz amarrado em uma das pontas (para
fazer o traçado da circunferência) e um pedaço de cabo de vassoura na outra (que funcionaria
como ponta seca do compasso). Os grupos escolheriam um ponto que servisse como centro da
circunferência e a partir deste, fariam o desenho de uma circunferência.
Na sequência, seria preenchida uma tabela com as medidas dos raios e os pontos
marcados como centro utilizados por cada grupo. Para facilitar o desenho e os cálculos, o
tamanho do barbante foi reduzido na escala de 10 para 1. Assim, um pedaço de barbante de 40
cm por exemplo, correspondeu a um raio de 4 cm na tabela.
Nesta etapa, esperava-se que os alunos recordassem a localização de pontos no sistema
cartesiano e identificassem os elementos necessários para poder determinar a equação reduzida
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da circunferência.

Etapa 2: Obtendo a equação da circunferência com o auxílio do GeoGebra.

Com a utilização da sala de informática e o auxílio do GeoGebra, os alunos
completariam a tabela iniciada anteriormente, utilizando para isso as ferramentas “Ponto” e
“Círculo dados Centro e Raio”. Aqui, esperava-se que reconhecessem a equação reduzida da
circunferência fornecida automaticamente pelo software, relacionando-a com os elementos
caracterizados na atividade anterior (centro e raio).
Na sequência, deveriam responder a questões propostas em um roteiro com atividades
que levassem à observação da alteração que ocorre na equação reduzida da circunferência em
virtude do quadrante em que o centro está localizado.
Todas as atividades deveriam ser salvas em meio digital, devidamente identificadas com
os nomes dos elementos do grupo de alunos que as realizaram.

Etapa 3: Trabalhando na Plataforma Khan Academy

Após a finalização da atividade anterior, os alunos acessariam o link abaixo, referente à
plataforma Khan Academy, para realizar a leitura de um pequeno resumo sobre a forma da
Equação Reduzida da Circunferência e resolver dois conjuntos de exercícios sobre o assunto.
Pretendia-se nesta etapa fazer uma primeira constatação sobre a compreensão dos alunos em
relação à obtenção da equação reduzida da circunferência.

https://pt.khanacademy.org/math/algebra2/intro-to-conics-alg2/expanded-equation-
circle-alg2/a/circle-equation-review

Etapa 4: Produzindo o Relatório da atividade

Finalizada a parte prática, cada aluno iniciaria a elaboração de seu relatório. De acordo
com os combinados da escola, este instrumento de avaliação é obrigatório em todas as
disciplinas da Base Nacional Comum e compõe a nota do bimestre. Ele tem um valor de 2,0
numa escala de 0 a 10,0 e deveria ser entregue posteriormente. Para auxiliar nessa tarefa, foi
entregue, lido e comentado um roteiro com o que deveria ser contemplado nesse texto.

https://pt.khanacademy.org/math/algebra2/intro-to-conics-alg2/expanded-equation-circle-alg2/a/circle-equation-review
https://pt.khanacademy.org/math/algebra2/intro-to-conics-alg2/expanded-equation-circle-alg2/a/circle-equation-review
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Etapa 5: Resolvendo questões

Nesta etapa, os alunos resolveriam questões retiradas de livros didáticos diversos e de
avaliações externas de larga escola realizadas em anos anteriores, para consolidação e
aprofundamento da habilidade trabalhada.
A cada aluno seria entregue uma folha com as questões. A resolução seria feita
individualmente, em duplas e/ou com auxílio de alunos monitores, de acordo com as
necessidades de cada classe e de grupos de alunos específicos. A correção seria feita tanto de
forma individual (enquanto as atividades eram respondidas e verificadas pela professora) como
de forma coletiva na lousa, quando a maior parte dos alunos já houvesse finalizado a resolução
desses exercícios.

Etapa 6: Avaliando o domínio das habilidades

Cada aluno receberia uma ficha de autoavaliação contendo tabela de dupla entrada com
as habilidades previstas para a sequência didática e o grau de domínio alcançado. Utilizando as
cores vermelha, laranja, amarela e verde, deveria ser assinalado por cada um o grau de domínio
de acordo com seu desempenho nas etapas da atividade.

Etapa 7: Avaliando a aula

A sequência seria finalizada com a avaliação escrita feita pelos alunos, respondendo às
seguintes questões:

Em relação às aulas trabalhadas nessas 2 semanas, destaque:
Os aspectos que facilitaram a sua aprendizagem;
Os aspectos que dificultaram a sua aprendizagem;
Que sugestões você gostaria de fazer para melhorar as próximas aulas?

3. APLICAÇÃO E ANÁLISE DA AULA INÉDITA

3.1 A aplicação da sequência didática

A aplicação da sequência didática sobre Equação Reduzida da Circunferência teve início
no dia 23 de abril de 2019 com os alunos da 3ª Série A.
Como é costume ao início de cada aula, a classe foi informada sobre as habilidades que
seriam trabalhadas: localizar pontos e figuras num sistema de coordenadas cartesianas
(retomada de habilidade já trabalhada anteriormente e que ainda não tinha sido completamente
apreendida por todos os alunos) e saber identificar a equação da circunferência na forma
reduzida (foco principal previsto para a atividade proposta) além das estratégias que seriam
utilizadas. Nesse momento foi compartilhado com os alunos a informação de que essas aulas
compunham uma atividade de curso de pós-graduação que estava sendo realizado pela
professora, estando este já em fase de finalização. Após relatar brevemente sobre os objetivos
e funcionamento do curso, comentou-se sobre a importância e a necessidade de continuar
estudando mesmo após a conclusão de uma etapa de nossa vida acadêmica, e também sobre a
felicidade e satisfação desta por todos eles estarem contribuindo com uma atividade de
formação pessoal e acadêmica. Por se tratar de alunos concluintes do Ensino Médio, avaliou-se
que não poderia deixar passar essa oportunidade de incentivá-los a continuar a estudar.
Primeiramente, foram feitas duas perguntas aos alunos: “O que é uma circunferência?”
e “O que a caracteriza?”. À medida que os alunos iam respondendo, as respostas dadas iam
sendo anotadas na lousa pela professora. Após a sistematização e conclusão, todos se dirigiram
ao pátio para a realização da próxima atividade.

Foto 1 – Registro das habilidades na lousa – 3ª Série A

Foto 2 – Retomada sobre a circunferência – 3ª Série A

Na elaboração da sequência didática havia a previsão de fazer a montagem de um grande
plano cartesiano com fita adesiva no chão do pátio da escola na véspera, uma vez que as aulas
para a realização das atividades seriam as primeiras da manhã, com início às 7 horas. Entretanto,
houve a necessidade de adaptação em relação ao que fora previsto anteriormente: na véspera
do início da aplicação da atividade, foi realizada a reunião de Conselho de Classe/ Série
referente ao 1º (primeiro) bimestre e por conta do horário de término desta, não foi possível
deixar o sistema cartesiano montado. Sendo assim, no dia de início da atividade, os eixos foram
rapidamente montados com a ajuda dos alunos e a atividade pôde ser iniciada.

Foto 3 – Construindo o sistema cartesiano – 3ª Série BFoto 4 – Sistema cartesiano concluído

Com o plano cartesiano montado, chegou o momento de cada grupo traçar sua
circunferência, medir o raio e anotar os resultados na folha previamente fornecida.

Foto 5 – Iniciando o traçado das circunferências – 3ª Série B

Foto 6 – Medindo o raio da circunferência – 3ª Série B

Foto 7 – Grupos da 3ª Série A trabalhando no pátio
(Foto tirada pelo Professor Coordenador Geral, que acompanhou parte da aula)

No dia seguinte, antes de iniciar a próxima etapa, foi feita a retomada do que havia sido
executado na aula anterior e foi registrada na lousa a socialização de todos os centros e raios
das circunferências obtidas pelos grupos.

Foto 8 – Socialização das medidas obtidas por cada grupo – 3ª Série B

Na sequência, todos os alunos foram para a Sala de Informática realizar as atividades
do roteiro entregue. Também nesse dia teve início a atividade com os alunos da 3ª Série B.
Não houve dificuldades para a realização dessa atividade, uma vez que todos já haviam
utilizado o software GeoGebra para a obtenção da Equação da Reta (conteúdo estudado
anteriormente à circunferência), e estavam familiarizados com seu funcionamento.
Também nesta etapa houve uma adaptação: vários alunos não sabiam como salvar e
enviar o arquivo da atividade por e-mail, como previsto. Optou-se então por criar uma pasta
nos computadores para salvar as atividades e posteriormente todas elas foram copiadas em meio
digital (pen drive).
Na 3ª Série A há um aluno com deficiência intelectual, e a atividade sofreu adaptações
para que ele pudesse resolvê-la: para as coordenadas do centro e as medidas dos raios da
circunferência foram utilizados números inteiros e de pequeno valor.
Abaixo, segue um dos roteiros respondido por um dos grupos, as coordenadas do centro
e medidas do raio adaptadas e registradas no caderno do aluno com necessidades educacionais
especiais e a tela com o resultado da atividade adaptada feita por ele no GeoGebra.

Foto 9 – Roteiro da atividade com o GeoGebra preenchido – grupo de alunos da 3ª Série B

Foto 10 – Coordenadas do centro e do raio adaptadas

Foto 11 - atividade finalizada no GeoGebra;aluno com necessidades educacionais especiais

No terceiro dia, foi o momento de sistematizar o que havia sido feito anteriormente
utilizando a Plataforma Khan Academy: plataforma educacional com vídeo-aulas, textos de
apoio, exercícios e outros recursos, que tem por finalidade promover educação de qualidade
não só em Matemática mas também em outras disciplinas. As atividades podem ser adaptadas
ao ritmo de aprendizado de cada aluno, e há a possibilidade dele póprio checar seu percurso,
verificar a correção de atividades, refazê-las, utilizar instrumentos de apoio entre outros.
O Link para acesso à plataforma foi impresso e entregue previamente, o que garantiu
que não houvesse dificuldades na realização da atividade pelos alunos. Nessa etapa, deveria ser
26

lido um texto sobre a equação da circunferência na forma reduzida e na sequência resolver os
exercícios disponíveis no site. Havia três conjuntos com 2 (dois) exercícios em cada um. Optou-
se por trabalhar somente com os dois primeiros por serem mais simples. Além das dificuldades
apresentadas pelos alunos para a realização do terceiro conjunto de exercícios, o fator falta de
tempo foi determinante para essa escolha. Abaixo seguem as capturas de tela com os respectivos
exercícios.

Neste exercício, a principal dúvida dos alunos foi em relação ao motivo pelo qual era
necessário efetuar a extração da √48, por não terem associado se tratar do valor de r2 na forma
reduzida da equação.

Já no exercício acima, a dificuldade de alguns alunos foi motora:conseguir deslocar
corretamente o mouse para localizar o centro e o raio da circunferência até o lugar correto no
plano cartesiano.

Acima, houve duas dúvidas: identificar corretamente o centro (alguns não reconheciam
adequadamente a representação decimal referente aos pontos) e por que motivo era necessário
efetuar (√13)
2
para obter a equação da circunferência. Mais uma vez, evidencia-se que embora
reconhecessem o centro e o raio, não haviam associado se tratar de r2 na equação.

O último problema, representado acima, era mais complexo para o grau de domínio
dessas turmas (a maioria dos alunos apresenta bastante dificuldade em Matemática e no trabalho
com álgebra), e entre todos os cerca de 57 alunos que realizaram as atividades somente uma
aluna conseguiu resolvê-lo. Os demais colegas não conseguiram observar que a medida do raio
não era um valor inteiro, e que era preciso calcular a distância entre os pontos (5, 0) e (9, -1)
para obter o seu valor. Para praticamente todos os alunos, o raio era igual a 4.
Todas as dúvidas levantadas eram esclarecidas tanto pela professora ao circular pelos
grupos, como pelos próprios colegas. O trabalho colaborativo foi predominante em toda a
atividade.
O documento digitalizado abaixo contém o registro feito no caderno de alguns dos
cálculos realizados na resolução dos exercícios pela aluna que conseguiu acertar todas as
respostas.

Documento 1 – registro de resolução de exercícios da Khan Academy – aluna da 3ª Série A

Com isso, encerrou-se a primeira semana de atividades.
Na semana seguinte, as primeiras aulas foram dedicadas à elaboração de um relatório
sobre as atividades realizadas. Após a leitura e comentários do roteiro, os alunos iniciaram a
escrita do texto. Vale ressaltar que também há uma dificuldade acentuada em Língua
Portuguesa em nossa escola, e a produção de textos de gêneros diversos e sua reescrita após
correção foi uma ação solicitada pela gestão escolar a todos os professores, independentemente
da disciplina que lecionam, como forma de auxiliar o desenvolvimento da escrita, desde o ano
passado (2018).
29

Abaixo, seguem dois relatórios digitalizados, sendo um deles o relatório produzido pelo
aluno com necessidades educacionais especiais e o outro já com a indicação das correções para
a reescrita do mesmo.

Documento 2 – relatório produzido por aluno com necessidades especiais.
30

Documento 3 – relatório produzido por aluna da 3ª Série A.
31

A penúltima etapa da sequência didática ocorreu com a resolução de exercícios sobre a
equação reduzida da circunferência. Solicitou-se que realizassem a atividade em duplas, se
assim o desejassem, ou com a ajuda de alunos monitores, já indicados em outras atividades
tanto pela professora como pelos próprios colegas de classe. Foi possível observar que as
atividades práticas realizadas na semana anterior concretizaram o entendimento sobre os
elementos da equação da circunferência, e a maior parte dos alunos resolveu praticamente todos
os exercícios, sendo que alguns alunos ainda necessitaram de atenção individualizada. Mesmo
assim, a dificuldade no tratamento algébrico do conteúdo trabalhado é bastante acentuado.

Foto 9 – resolvendo exercícios sobre equação reduzida da circunferência.

A correção dos exercícios foi feita de acordo com o planejado: individualmente, nos
cadernos e folhas dos alunos à medida que iam terminando e ao final na lousa, com resolução
feita pelos próprios alunos.
Neste ponto foi necessário fazer uma alteração no cronograma feito inicialmente para a
aplicação das atividades: pela proximidade da realização de uma prova elaborada pela
Secretaria Estadual de Educação, houve a necessidade de trabalhar de forma muito resumida
com as demais cônicas, e a equação da elipse. Para este trabalho, optou-se por realizar atividade
semelhante no pátio da escola, e estudou-se o texto “Ojardineiro, a elipse e as leis de Kepler”,
extraído da revista Revista Super Interessante, Edição 80 - Maio de 1994. A atividade foi muito
divertida e envolvente para os alunos.
32

Foto 10 – traçando a elipse.

Foto 11 – lendo o roteiro e medindo a distância focal da elipse.
33

Foto 12 – medindo a distância focal da elipse.

Foto 13 – tratando de órbitas.

Foto 14 – sinalizando elementos e relações da elipse.

Outro desdobramento importante, enriquecedor e gratificante desta atividade foi o
convite da Professora Coordenadora do Núcleo Pedagógico da Diretoria de Ensino de Registro,
Sandra Heloisa Mancebo Henrique, para que a atividade fosse replicada em uma Orientação
Técnica ministrada a outros professores de Matemática da 3ª Série do Ensino Médio de nossa
região. O convite se deu após a divulgação das fotos da atividade em uma rede social da escola,
e poder compartilhar a experiência com outros colegas foi inesperado e muito especial.

Foto 15 – professores traçando as circunferências.

Foto 16 – professores preenchendo o roteiro sobre circunferência.

No final do mês de maio realizaram-se a autoavaliação e a avaliação das aulas pelos
alunos (etapas 6 e 7). Após sua análise, evidenciou-se o que se esperava atingir: as atividades
práticas favorecem a compreensão dos conceitos matemáticos, principalmente para aqueles
alunos que apresentam maiores dificuldades. Também pôde ser observada maior participação
dos alunos e melhora na disciplina e no ritmo das aulas, certamente pelo meior envolvimento
na realização das tarefas propostas. Entretanto, também sobressaiu a dificuldade dos alunos
com o tratamento algébrico das mesmas questões trabalhadas na prática.

3.2 Analisando a aplicação da sequência didática

As aulas foram aplicadas entre os dias 23 de abril e 02 de maio de 2019.
Foram aulas bastante práticas e com boa participação dos alunos, uma vez que estes, em
momentos anteriores de avaliação e coleta de sugestões para melhoria do processo de ensino,
já haviam sugerido aulas mais dinâmicas.
Desenvolver essa sequência didática foi muito gratificante e enriquecedor. As atividades
previstas foram desenvolvidas em sua totalidade apesar de alguns ajustes, e nos momentos em
que havia realização de tarefas no pátio da escola, estas acabavam por chamar a atenção de
alunos de outras classes que também lá estavam em virtude de outras aulas, principalmente as
de Educação Física (o pátio fica próximo da quadra da escola, dos sanitários externos ao prédio
e do prédio onde se localizam as salas de aula). Os alunos participaram ativamente, fizeram
36

perguntas, trabalharam em grupo e conseguiram concretizar aspectos importantes de um
assunto tão abstrato como é a Geometria Analítica.
Comparando com o trabalho que foi realizado nos anos anteriores para esse mesmo
conteúdo e habilidades trabalhadas, houve uma melhor compreensão por parte dos alunos das
características da circunferência e de sua equação na forma reduzida. Além da atividade prática
do traçado das circunferências, outro fato que contribuiu para esse resultado foi o de que os
alunos já estavam familiarizados com o uso do GeoGebra para determinar equações, uma vez
que foram feitas atividades para determinar a equação da reta, em momento anterior.
De acordo com a autoavaliação dos alunos em relação ao domínio das habilidades
trabalhadas, o resultado obtido segue discriminado nas tabelas abaixo, primeiramente por
classes e depois no cômputo geral.

3ª Série A – 22 alunos responderam ao questionário
Habilidades
Não
consigo
fazer

Faço com
ajuda
Faço com
segurança

Tá muito
fácil!

Localizar pontos no sistema cartesiano 0 12 4 6
Saber reconhecer a equação da circunferência
na forma reduzida
3 12 7 0
Saber determinar a equação da circunferência
(com auxílio do GeoGebra)
0 9 9 4
Saber determinar a equação da circunferência
(sem auxílio do GeoGebra)
3 16 2 1
Resolver exercícios envolvendo equação da
circunferência
2 15 5 0
Escrever um relatório 0 2 15 5

3ª Série B – 24 alunos responderam ao questionário
Habilidades
Não
consigo
fazer

Faço com
ajuda
Faço com
segurança

Tá muito
fácil!

Localizar pontos no sistema cartesiano 4 11 5 4
Saber reconhecer a equação da circunferência
na forma reduzida
8 9 4 3
37

Saber determinar a equação da circunferência
(com auxílio do GeoGebra)
3 8 8 5
Saber determinar a equação da circunferência
(sem auxílio do GeoGebra)
8 8 5 3
Resolver exercícios envolvendo equação da
circunferência
4 11 4 4
Escrever um relatório 2 3 10 9

Geral – 46 alunos responderam ao questionário
Habilidades
Não
consigo
fazer

Faço com
ajuda
Faço com
segurança

Tá
muito
fácil!

Localizar pontos no sistema cartesiano 4 23 9 10
Saber reconhecer a equação da circunferência
na forma reduzida
11 21 11 3
Saber determinar a equação da circunferência
(com auxílio do GeoGebra)
3 17 17 9
Saber determinar a equação da circunferência
(sem auxílio do GeoGebra)
11 24 7 4
Resolver exercícios envolvendo equação da
circunferência
6 26 9 4
Escrever um relatório 2 5 25 14

O resultado registrado pelos alunos confirma a observação feita pela professora: mesmo
com a melhora de resultados proporcionada pelas atividades práticas, foi possível observar que
com exceção da elaboração do relatório, cerca de metade dos alunos afirmaram que só
conseguiram realizar as tarefas relativas a cada habilidade com ajuda (de outros colegas ou da
professora). Essa constatação vem de encontro também ao resultado da escola na avaliação de
larga escala da Rede Estadual de São Paulo (SARESP): em 2018, 50,5% dos alunos obtiveram
nível de proficiência Abaixo do Básico em Matemática, e em relação à habilidade identificar
as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida com centro na origem, o índice
de acertos foi de apenas 40,51%.
Reforçam também esse resultado as respostas às questões 1, 2 e 3, sobre a avaliação
qualitativa da aula feita pelos alunos, cuja tabulação encontra-se na tabela abaixo:

Questões 3ª Série A 3ª Série B
1) Aspectos que facilitaram a
aprendizagem
• Aulas práticas e
diversificadas: 9 alunos;
• Mais paciência e melhor
explicação da professora: 7
alunos;
• Aulas fora da sala de aula:
4 alunos;
• Uso do GeoGebra: 2
alunos;
• O silêncio na sala de aula:
1 aluno;
• A atenção e o foco dos
alunos: 1 aluno;
• Trabalho em duplas: 1
aluno;
• Fazer o desenho do plano
cartesiano: 1 aluno.
• Aulas práticas e
diversificadas: 6 alunos;
• Mais paciência e melhor
explicação da professora: 7
alunos;
• Aulas fora da sala de aula:
1 alunos;
• Uso do GeoGebra: 1 aluno;
• O silêncio na sala de aula:
1 aluno;
• A atenção e o foco dos
alunos: 1 aluno;
• Trabalho com alunos
monitores: 1 aluno.
2) Aspectos que dificultaram
a aprendizagem
• Muita conversa: 7 alunos;
• Muito barulho, bagunça: 5
alunos;
• Falta de atenção às
explicações: 1 aluno;
• Falta de concentração: 1
aluno;
• Não ter mais aulas
práticas: 2 alunos;
• Resolver as equações: 1
aluno;
• Determinar as equações
em o GeoGebra: 1 aluno;
• Escrever o relatório: 1
aluno;
• O uso do celular (não
tenho): 1 aluno;
• Não entendo a explicação
da professora: 1 aluno;
• Dificuldade em
Matemática: 1 aluno.
• Muita conversa: 4 alunos;
• Muito barulho, bagunça: 5
alunos;
• Falta de atençãoàs
explicações: 3 alunos;
• Falta de concentração: 1
aluno;
• Não entendo a explicação
da professora: 1 aluno;
• Falta de explicação
individualizada: 1 aluno;
• Desinteresse de alguns
alunos: 1 aluno;
• Dificuldade em fazer
contas: 1 aluno;
• Defasagem de anos
anteriores: 1 aluno;
• Pouco tempo para realizar
as atividades: 1 aluno;
• Quando a professora
explica só uma vez: 1 aluno.
3) Sugestões para as
próximas aulas
• Mais aulas
práticas/diversificadas: 7
alunos;
• Mais aulas fora da sala de
• Mais aulas
práticas/diversificadas: 6
alunos;
• Mais atenção/organização
39

aula: 4 alunos;
• Mais explicações
particulares da professora: 2
alunos;
• Mais atenção/organização
dos alunos: 2 alunos;
• Mais aulas em duplas/trios:
3 alunos;
• Mais trabalho com alunos
monitores: 1 aluno;
• Propor mais desafios: 1
aluno;
• Mais uso do GeoGebra: 3
alunos;
• Usar uma forma mais fácil
para resolver os exercícios: 1
aluno;
• Menos conversa dos
alunos: 1 aluno:
• Alunos resolvendo
questões na lousa: 1 aluno;
• Mais questões para treinar
em casa: 2 alunos;
• Mais trabalho com teoria e
prática: 1 aluno;
• Mais autoavaliações: 1
aluno.
dos alunos: 6 alunos;
• Mais trabalho com alunos
monitores: 2 alunos;
• Mais atividades em grupo:
1 aluno;
• Menos conversa dos
alunos: 2 alunos;
• Mais tempo para resolver
as questões: 1 aluno;
• Mais uso do GeoGebra: 2
alunos.

Um instrumento de avaliação da aula que não estava previsto no planejamento e que
gostaria de acrescentar para analisar o impacto da sequência didática foi a realização posterior
da Avaliação da Aprendizagem em Processo no mês de maio. Esta prova é elaborada pela
Secretaria Estadual da Educação e seu objetivo é avaliar o domínio das habilidades e conteúdos
previstos para serem trabalhados no bimestre anterior e corrigir rumos. Nela havia duas
questões envolvendo a equação da circunferência, muito semelhantes a questões que foram
trabalhadas na folha de exercícios da sequência didática aplicada cerca de três semanas antes
aos alunos. A questão de número 10 foi considerada de nível médio e a questão 11 foi
considerada difícil, de acordo com a média de acertos de toda a rede estadual paulista. Em nossa
escola, cinquenta e dois alunos (52) realizaram a prova. As questões e a porcentagem de acertos
seguem abaixo:

Questão 10 – 23,07% de acertos (12 alunos)

A equação da circunferência de centro na origem e raio 4 é dada por:
(A) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4
(B) (x – 4)2 + (y – 4)2 = 0
(C) x2 + y2 – 4 = 0
(D) x2 – y2 = 16
(E) x2 + y2 = 16

Questão 11 – 34,62% de acertos (18 alunos)

A circunferência dada pela equação x2 + y2 = 1 está representada em:

4. CONCLUSÃO

Embora as atividades tenham sido atraentes para os alunos e a participação destes nas
aulas tenha sido muito boa, os resultados após a verificação de atividades e a análise feita por
eles próprios retratam suas dificuldades em resolver questões que tenham caráter mais
algébrico. Além disso, percebe-se a dificuldade de memorização do que é trabalhado. O grande
desafio, no momento, é encontrar formas de minimizar essa defasagem no último ano do Ensino
Médio.
41

4.1 Resumo da pesquisa

Nossa sequência didática foi pensada com o intuito de apresentar de forma prazerosa e
concreta para os alunos um assunto de Geometria Analítica, ramo da Matemática de caráter
predominantemente algébrico e de difícil compreensão para a maioria dos alunos.
Para facilitar a concretização dos conceitos, optou-se por atividades práticas e utilização
de recursos tecnológicos tais como software de geometria dinâmica (GeoGebra) e uma
plataforma educacional on-line (Khan Academy). O trabalho produtivo em grupos foi
dominante nas etapas que não deveriam ser realizadas individualmente e a participação de
muitos alunos melhorou em relação às aulas tradicionais.
As folhas de atividades utilizadas eram simples e em forma de roteiros, o que favoreceu
a realização das tarefas com pouca interferência da professora, exceto na resolução de
exercícios.

4.2 Resumo da análise da aplicação

Após a análise da aplicação da atividade evidenciam-se dois resultados: a satisfação pela
excelente participação dos alunos na realização das atividades e a preocupação com o pouco
domínio destes no tratamento de questões de caráter algébrico.
Esses resultados evidenciaram-se também em comentários dos alunos nas aulas que
sucederam a aplicação da sequência didática proposta: “Aquela semana com as aulas práticas
foi bem legal”, “até quem não gosta de matemática participou”, “não sei o que fazer com a
fórmula”, “odeio fórmulas”, entre outros.
Como já citado anteriormente, o grande desafio é justamente tentar minimizar as
dificuldades no último ano do Ensino Médio.

4.3 Modificações no produto didático pós-aplicação

Na etapa em que os alunos deveriam resolver exercícios sobre a equação reduzida da
circunferência, sugeriu-se que iniciassem a resolução pelo exercício nº 2, depois o 1 e a seguir
o exercício nº 3, com a intenção de facilitar a compreensão para alguns deles.
42

O exercício nº 7 foi proposto como desafio para as turmas, e no total somente 4 alunos
conseguiram resolvê-lo.
As etapas 6 e 7 da sequência não foram realizadas na semana prevista porque havia a
necessidade de trabalho com as demais cônicas nessas datas (entre 07 e 10 de maio).
Entretanto, para a caracterização da elipse, utilizamos o mesmo procedimento de traçado
das circunferências e o resultado foi magnífico: os alunos participaram ativamente,
visualizaram e concretizaram seus elementos e características.
A etapa de avaliação das atividades pelos alunos também foi realizada em momento
posterior ao que se havia previsto inicialmente.

4.4 Sugestões de novas aulas

A sequência didática apresentou resultados excelentes no aspecto motivacional: alunos
satisfeitos e interessados, participando e realizando as atividades propostas. Sentimos como se
a Geometria Analítica tomasse forma e volume para alguns, e eles pudessem segurá-la com as
mãos.
Diante desse fato, é nossa intenção apresentar aulas com essas mesmas características e
atividades similares no estudo dos principais tipos de Funções e suas características, assunto
que consta do programa para o terceiro bimestre letivo. Acreditamos que é possível
principalmente no estudo da Função do 1º Grau, estabelecer o elo com a Geometria Analítica.

4.5 Conclusão final

A realização deste trabalho contribuiu de forma muito positiva para nosso exercício
profissional, uma vez que viabilizou um envolvimento maior dos alunos na realização das
atividades. Além disso, o fato de ter que pensar em toda a sequência didática, sua elaboração,
execução e análise, favorecem maior intencionalidade, melhor organização e atuação nas aulas.
Outro aspecto relevante é a possibilidade de compartilhar a experiência com os outros
professores da escola através da atuação como Professora Coordenadora de Área, função
exercida em metade de nossa carga horária de trabalho. É um sentimento duplo em relação ao
comprometimento com um ensino de melhor qualidade: de um lado, na atuação direta em sala
de aula e do outro, ou melhor, ao lado, com os demais professores da escola, contagiando a cada
43

um deles com meu prazer em ensinar e a recompensa que teremos quando percebermos que
nossos alunos aprenderam. Como diz o educador José Pacheco (PACHECO; José, 2013) em
entrevista à revista Fórum:

Defendo o modelo de contágio, porque acredito nos professores, na bondade e
na inteligência dos professores. E acredito no tempo. Não sou otimista, sou
esperançoso. O otimismo é da natureza do tempo, enquanto a esperança é da
natureza da eternidade.

5. REFERÊNCIAS E BIBLIOGRAFIA

BRASIL. Ministérioda Educação. Exame Nacional do Ensino Médio; Prova de redação e
de Linguagens, Códigos e suas Tecnologias; Prova de Matemática e suas Tecnologias.
Brasília, 2013. 35p.

Brasil. Parâmetros Curriculares Nacionais. Ensino Médio. Brasília: Secretaria de Educação
Média e Tecnológica. 2004. Disponível em
http://portal.mec.gov.br/setec/arquivos/pdf/BasesLegais.pdf. Consultado em 17 jun. 2019.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto & Aplicações: Manual do Professor. São
Paulo. 2017. Volume 3

GeoGebra Classic 5.0.539.0-d. www.geogebra.org. 2019. Windows 10.

GUELLI, Oscar. Matemática Série Brasil: Ensino Médio: Livro do Professor. São Paulo,
2003. Volume Único.

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto; ALMEIDA,
Nilze de. Matemática Contexto e aplicações. São Paulo, 2013. Volume 3: Ensino Médio.

PROFESSOR.bio.br/ Matemática. Questões de Geometria Analítica – Perguntas e
respostas. Disponível em:
http://professor.bio.br/matematica/provas_questoes.asp?section=geometria-
analitica&curpage=22. Acesso em: abr. 2019.

http://portal.mec.gov.br/setec/arquivos/pdf/BasesLegais.pdf
http://www.geogebra.org/
http://professor.bio.br/matematica/provas_questoes.asp?section=geometria-analitica&curpage=22
http://professor.bio.br/matematica/provas_questoes.asp?section=geometria-analitica&curpage=22
45

SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Educação de São Paulo. Avaliação da Aprendizagem
em Processo; Caderno do Professor; 3ª Série do Ensino Médio; Matemática. São Paulo,
2017.54p.

SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Educação de São Paulo. Relatório Pedagógico; 2009
SARESP; Matemática. São Paulo, 2010.260p.

PACHECO, José. 2013. “O professor deve ser um mediador de conhecimentos”.
Disponível em https://www.revistaforum.com.br/entrevista-com-jose-pacheco-da-escola-da-
ponte-o-professor-deve-ser-um-mediador-de-conhecimentos/. Acesso em 17 jun. 2019.

https://www.revistaforum.com.br/entrevista-com-jose-pacheco-da-escola-da-ponte-o-professor-deve-ser-um-mediador-de-conhecimentos/
https://www.revistaforum.com.br/entrevista-com-jose-pacheco-da-escola-da-ponte-o-professor-deve-ser-um-mediador-de-conhecimentos/
46

6. ANEXO

Folhas respostas e textos elaborados para a sequência didática “Equação Reduzida da
Circunferência”

6.1 – Folha resposta da Etapa 1.

E.E. ___________________. Data: ____/____/____
Nome: __________________________________________ nº ____ 3ª Série ____.
Nome: __________________________________________ nº ____ 3ª Série ____.
Nome: __________________________________________ nº ____ 3ª Série ____.

Atividade de Matemática – Equação da Circunferência – 2º Bimestre

Etapa 1:
Cada grupo receberá um “compasso artesanal”. A atividade consiste em escolher um ponto
qualquer do plano cartesiano representado no chão do pátio e traçar uma circunferência
utilizando esse compasso. A seguir, deve-se medir o raio dessa circunferência e completar a
tabela abaixo com as informações referentes a todas as circunferências traçadas pelos diferentes
grupos.
Para facilitar os cálculos, a tabela abaixo deverá ser preenchida utilizando-se a escala de 10 para
1. Assim, um pedaço de barbante de 40 cm por exemplo, corresponderá a um raio de 4 cm na
tabela. A coluna com a equação da circunferência ficará sem ser preenchida nesta etapa.

Grupos Centro da Circunferência Raio Equação da circunferência
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

6.2 – Folha resposta da Etapa 2.

Etapa 2
Obtendo a equação da circunferência com o auxílio do GeoGebra.

Com o auxílio do GeoGebra e utilizando as ferramentas “Ponto” e “Círculo dados Centro e
Raio”, completar a coluna referente às equações da circunferência da tabela construída na etapa
anterior.
Em seguida, abrir um novo arquivo e realizar a sequência abaixo:

1) Na caixa de entrada, digite as coordenadas do ponto A (4, 3) e a partir dele, trace uma
circunferência de raio 2. Anote sua equação reduzida: ______________________. A
que quadrante pertence o raio dessa circunferência?
_____________________________.

2) Utilizando a ferramenta Reflexão em Relação a uma Reta, faça a reflexão do ponto A
no 2º quadrante e trace uma nova circunferência, com o mesmo raio. Qual a sua
equação? _______________________

3) Repita o mesmo procedimento anterior para o 3º e 4º quadrantes, anotando as
respectivas equações das circunferências formadas:
• 3º Quadrante: ______________________________
• 4º Quadrante: ______________________________

4) Compare as equações obtidas. Houve alguma modificação? Qual (is)? Por que isso
aconteceu?

5) Crie uma circunferência com centro na origem do sitema cartesiano, e raio de medida
qualquer. Anote sua equação: ____________________. Que diferença existe entre essa
equação e as anteriores? Por quê?

6) Salve o arquivo com o nome dos integrantes de seu grupo e solicite a professora para
copiá-lo;
49

6.3 – Folha 3.
Etapa 3
Trabalhando na Plataforma Khan Academy

Após a finalização da atividade anterior, os alunos deverão acessar o link abaixo,
realizar a leitura e os conjuntos de exercícios 1 e 2, na Plataforma Khan Academy.

https://pt.khanacademy.org/math/algebra2/intro-to-conics-alg2/expanded-equation-
circle-alg2/a/circle-equation-review

6.4 – Exercícios (grupo 1) plataforma Khan Academy

6.5 – Exercícios (grupo 2) plataforma Khan Academy

6.6 – Gênero textual Relatório

Gênero Textual Relatório
O Relatório é um tipo de texto que como o próprio nome indica relata sobre
algo. Trata-se de um texto que apresenta um conjunto de informações
pormenorizadas sobre determinado tema.
A linguagem presente nos relatórios é formal e cuidada e deverá ser utilizada a
norma culta. Sua forma discursiva é um misto de narração e dissertação.
Relatório Escolar de síntese: texto escolar em que se pode relatar sobre um
evento ou uma atividade proposta pelo professor, como por exemplo, um filme
assistido em sala ou uma atividade prática.

Estrutura Textual: Como Elaborar um Relatório?
Dependendo do tipo de relatório, eles seguem um padrão estrutural definido, a
saber:
• Capa: geralmente os relatórios possuem uma capa, com o título do trabalho,
nome do aluno ou do grupo, do professor, da instituição e a data.
• Título: na página seguinte, e antes de começar a escrever o relatório, esse
deve apresentar um título referente ao trabalho que fora desenvolvido (o
mesmo que apareceu na capa). Abaixo pode surgir uma epígrafe, ou seja,
uma frase em letra menor e localizada na parte direita do texto, a qual faz
referência ao tema do trabalho.
• Introdução: na introdução do relatório, as informações sobre a descrição do
trabalho e dos métodos utilizados devem aparecer, por exemplo, em que local
foi desenvolvido, a qual disciplina pertence o relatório, qual professor que
pediu, quais objetivos e justificativas, em quais circunstâncias foi
desenvolvido, dentre outros.
• Desenvolvimento: a maior parte de seu texto está no desenvolvimento; parte
em que são relatadas todas as etapas de seu trabalho apontando dados sobre
a pesquisa que podem conter gráficos, tabelas, figuras, fotos, dentre outros.
• Conclusão: na conclusão do relatório ocorre o arremate do texto, ou seja, um
resumo do que foi descrito anteriormente. As principais ideias expostas em
todo o trabalho devem ser concluídas, por exemplo, os resultados obtidos e
os resultados esperados. E, sefor um relatório de caráter crítico, o aluno pode
acrescentar algumas observações pessoais referentes ao desenvolvimento
do trabalho.
• Bibliografia
• Anexos (se houver)
53

6.7 – Folha com exercícios

Resolva as questões abaixo:

1) Escreva as coordenadas do centro e o raio das circunferências representadas pelas
equações:
a) (x + 5)2 + (y – 4)2 = 1 → Centro: _____________; Raio: ________;
b) (x + 2)2 + (y + 6)2 = 5 → Centro: _____________; Raio: ________;
c) (x – 2)2 + y2 = 4 → Centro: _____________; Raio: ________;
d) (x + 3)2 + (y – 1)2 = 16 Centro: _____________; Raio: ________;
e) x2 + (y – 4)2 = 1 → Centro: _____________; Raio: ________;
f) x2 + y2 = 10 → Centro: _____________; Raio: ________;

2) Determine uma equação da circunferência que tem:
a) Centro em C (2, 5) e raio 3: _________________________________;
b) Centro em M (-1, -4) e raio √2: _________________________________;
c) Centro em Q (0, -2) e raio 4: _________________________________;
d) Centro em D (4, 0) e raio 5: _________________________________;

3) (AAP) A equação que representa a circunferência de raio igual a 5 indicada no plano
cartesiano a seguir é:

a) x2 + y2 = √5
b) x2 + y2 = 25
c) -5x2 + 5y2 = √5
d) 5x2 + 5y2 = 25
e) x2 + y2 = 5

4) (SARESP) O raio de uma circunferência centrada na origem dos eixos cartesianos é igual
a 9. A equação desta circunferência é:
a) x2 + y2 = 9
b) x2 + y2 = 18
c) x2 + y2 = 81
d) x2 + y2 = 324
e) x2 + y2 = 729

5) (ENEM 2013) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja
fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de
cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:

I – é a circunferência de equação x2 + y2 = 9;
II – é a parábola de equação y = – x2 – 1, com x variando de – 1 a 1;
III – é o quadrado formado pelos vértices (– 2, 1), (– 1, 1), (– 1, 2) e (– 2, 2);
IV – é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2); V – é o ponto (0, 0).
Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?

1) (Puccamp) A circunferência representada a seguir é tangente ao eixo das ordenadas na
origem do sistema de eixos cartesianos.

A equação de é
a) x2 + y2 + 4x + 4 = 0
b) x2 + y2 + 4y + 4 = 0
c) x2 + y2 + 4x = 0
d) x2 + y2 + 4y = 0
e) x2 + y2 + 4 = 0

2) As extremidades de um diâmetro de uma circunferência são (-4, 8) e (2, -4). Escreva sua
equação.

3) Escreva a equação reduzida que representa cada circunferência:
a)

6.8 – Ficha de Autoavaliação do aluno/ avaliação das
aulas
Ficha de Auto avaliação – Matemática – Professora ______________
Nome: ___________________________________ nº ____ 3ª Série ___.

De acordo com seu domínio das habilidades de Matemática, preencha a
tabela abaixo utilizando cores (●, ●, ●, ou ●).

Habilidades
Não
consigo
fazer

Faço com
ajuda
Faço com
segurança

Tá muito
fácil!

Localizar pontos no
sistema cartesiano

Saber reconhecer a
equação da
circunferência

Saber determinar a
equação da
circunferência (com
auxílio do GeoGebra)

Saber determinar a
equação da
circunferência (sem
auxílio do GeoGebra)

Resolver exercícios
envolvendo equação
da circunferência

Escrever um relatório

Em relação às aulas trabalhadas nessas 2 semanas, destaque:
1) Os aspectos que facilitaram a sua aprendizagem;
2) Os aspectos que dificultaram a sua aprendizagem;
3) Que sugestões você gostaria de fazer para melhorar as próximas aulas?