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Formação Continuada - Matemática CAMPOS CONCEITUAIS ADITIVO E MULTIPLICATIVO E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Professores - 5º ano 1º Encontro 04/03/2016 Coordenadora Pedagógica: Adriana da Silva Santi Um alfaiate tem uma peça de tecido com 20 metros de comprimento. Cada dia ele tira um pedaço de 2 metros. Se o primeiro corte foi feito no dia 11 de abril, em que dia ele fará o último corte? Leia e resolva: Na perspectiva do ensino de Matemática pela compreensão... o trabalho com as operações deve estar imerso desde o primeiro momento, em situações-problema. Pressuposto a necessidade de que haja um entendimento sobre os usos das operações em diferentes contextos e práticas sociais. Aprender sobre adição, subtração, multiplicação e divisão requer aprender muito mais do que procedimentos de cálculo. Espera-se que os alunos compreendam o que fazem e construam os conceitos envolvidos nessas operações. Se os alunos estiverem repetindo procedimentos, ou executando o que lhes for dito para fazer, não estarão desenvolvendo estratégias de resolução. O problema estará se convertendo em exercício de repetição ou em execução algorítmica atividade matemática em si pode ocorrer; o que pode não acontecer é a compreensão conceitual OPERAÇÕES - Construção de conceitos (juntar, separar, retirar, agrupar, distribuir, combinar,...) - Cálculos (escritos, aproximados, exatos, pensados) - Modos de representação (desenhos, esquemas, símbolos numéricos e operacionais) Operações - Idéias das operações com números naturais: adição (aditiva), subtração (subtrativa, comparativa e aditiva), multiplicação (aditiva, combinatória, de proporcionalidade, de configuração retangular) e divisão (repartitiva e subtrativa). - Cálculos: mental e escrito, aproximado e exato. Frente de trabalho conceitual: relativa aos conceitos. Frente de trabalho procedimental: diz respeito a técnicas e estratégias de cálculo, mental ou escrito, assim como a usos de instrumentos e materiais manipuláveis como palitos, material dourado e ábaco. PROPOSTA CURRICULAR MUNICIPAL A Resolução de Problemas é uma abordagem metodológica que contribui significativamente para que a atividade matemática seja desenvolvida de modo a valorizar a compreensão conceitual inerente aos procedimentos de cálculos ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO campo conceitual aditivo MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO campo conceitual multiplicativo Conceitos não podem ser compreendidos de modo isolado, mas sim a partir de CAMPOS CONCEITUAIS conceitos envolvem e são envolvidos por situações, estruturas, operações de pensamento e representação que se relacionam entre si CAMPO CONCEITUAL ADITIVO SITUAÇÕES ADITIVAS envolve relações entre as partes e o todo, ou seja, ao somar as partes encontramos o todo, ao subtrair uma parte do todo encontramos a outra parte. Envolve ações de juntar, separar e corresponder um a um. RACIOCÍNIO ADITIVO: 1. Composição simples Envolve a ação de “juntar” as partes para determinar o todo As situações de composição relacionam as partes que compõem um todo por ações de juntar ou separar as partes para obter o todo sem promover transformação em nenhuma das partes. Numa classe, há 15 meninos e 13 meninas. Quantas crianças há ao todo? 15 + 13 = ? 2. Transformação simples As situações de transformação envolvem um estado inicial, uma transformação por ganho ou perda, acréscimo ou decréscimo e um estado final. Marina tinha 20 figurinhas e ganhou 15 num jogo. Quantas figurinhas ela tem agora? Pedro tinha 37 bolinhas, mas perdeu 12. Com quantas bolinhas ele ficou? 20 + 15 = ? 37 - 12 = ? É importante variar o lugar em que a incógnita é colocada. A alteração do X da questão possibilita raciocínios diferentes, ajudando o estudante a entender o sentido das operações e ampliando as opções de resolução. Entregar 1 folha de papel A 3 e canetinhas para cada grupo Com seu grupo elabore um problema de composição ou transformação simples. A partir desse elabore outro problema com os mesmos números mudando o lugar da incógnita. Situações de Composição simples João tem R$ 20,00 e Carlos tem R$ 15,00. Quantos reais eles tem juntos 20 + 15 = ? Situações de Transformação simples Marcos é colecionador de figurinhas e já possui 245. Em um passeio com seus pais eles compraram mais 55. Com quantas figurinhas Marcos ficou? 245 + 55 = ? Na escola tem 352 alunos. Em um dia de chuva faltaram 162 alunos. Quantos alunos vieram à escola neste dia? 352 -162 = ? Problemas elaborados pelos professores do 5º ano Situações de Composição com uma das partes desconhecida João e Carlos tem juntos R$ 35,00. Sabendo que R$ 20,00 são de João, quantos reais são de Carlos? 20 + ? = 35 Paulo tem 35 bolinhas que ganhou de seus pais. Dessas, algumas foi o pai que lhe deu e 10 foram dadas pela sua mãe. Quantas bolinhas o pai de Paulo deu a ele? ? + 10 = 35 Problemas elaborados pelos professores do 5º ano Situações de Transformação com transformação desconhecida Marcos quer completar 300 figurinhas em uma coleção, ele já tem 245. Quantas ele ainda precisa? 245 + ? =300 Minha escola tem 352 alunos, hoje vieram 280. Quantos alunos faltaram? 352 - ? = 280 Problemas elaborados pelos professores do 5º ano Situações de Transformação com estado inicial desconhecido Jonas foi ao mercado e gastou 22 reais. Ele recebeu 18 reais de troco. Quantos reais ele deu ao caixa? ? - 22 = 18 Cleonice tinha uma quantia em reais e ganhou 19 reais de sua madrinha ficando assim com 47 reais. Quanto ela tinha? ? + 19 = 47 Problemas elaborados pelos professores do 5º ano o conhecimento conceitual deve emergir de situações-problemas; a compreensão de um conceito, por mais simples que seja, não emerge apenas de um tipo de situação, assim como uma simples situação sempre envolve mais do que um único conceito; a formação dos conceitos pela criança pode ser observada por meio de suas estratégias de ação ao resolver um problema. 3. Composição com uma das partes desconhecida Problemas de composição podem envolver situações em que o todo e uma das partes são conhecidos, sendo necessário determinar a outra parte. Em uma classe de 28 alunos, 15 são meninos. Quantas são as meninas? 15 + ? = 28 28 - 15 = ? Em uma classe de 28 alunos, há alguns meninos e 13 meninas. Quantos são os meninos? ? + 13 = 28 28 - 13 = ? 4. Transformação com transformação desconhecida Trata-se de problemas aditivos de transformação desconhecida, uma vez que são conhecidos os estados iniciais e o estado final da situação. Marina tinha 20 figurinhas. Ganhou algumas e ficou com 35. Quantas figurinhas ela ganhou? 20 + ? = 35 35 - 20 = ? Na semana passada, Pedro tinha 37 bolinhas. Hoje tem 25. O que aconteceu no decorrer da semana? 37 - ? = 25 25 + ? = 37 5. Transformação com estado inicial desconhecido O estado inicial também pode ser desconhecido nas situações de transformação. Esses problemas costumam ser mais difíceis para as crianças, pois envolvem operações de pensamento mais complexas. Marina tinha algumas figurinhas, ganhou 15 num jogo e ficou com 35. Quantas figurinhas ela tinha? ? + 15 = 35 35 - 15 = ? Pedro tinha várias bolinhas, perdeu 12 e agora tem 25. Quantas bolinhas ele tinha antes? ? - 12 = 25 12 + 25 = ? 6. Comparação Nas situações de comparação não há transformação, uma vez que nada é tirado ou acrescentado ao todo ou às partes, mas há uma relação de comparação entre as quantidades envolvidas. Carlos tem 20 carrinhos e Paulo tem 13 carrinhos. Quantos carrinhos Carlos tem a mais do que Paulo? 20 - 13 = ? 13 + ? = 20 Paulo tem 13 carrinhos e Carlos 20. Quantos carrinhos a mais Paulo precisa para ter o mesmo que Carlos? 20 - 13 = ? 13 + ? = 20 Carlos tem 20 carrinhos. Paulo tem 7 a menos que ele. Quantos carrinhos tem Paulo?20 - 7 = ? ? + 7 = 20 O Campo Conceitual das estruturas aditivas é o conjunto de situações que pode ser gerado pelas seis relações básicas mencionadas anteriormente ou por combinações delas. O conjunto das estruturas aditivas não é homogêneo e as dificuldades desiguais se distribuem nas variadas situações. CAMPO CONCEITUAL MULTIPLICATIVO SITUAÇÕES MULTIPLICATIVAS envolve relações fixas entre variáveis, por exemplo, entre quantidades ou grandezas. Busca um valor numa variável que corresponda a um valor em outra variável. Envolve ações de correspondência um para muitos, distribuição e divisão. RACIOCÍNIO MULTIPLICATIVO: Entregar 1 folha de papel A 3 e canetinhas para cada grupo Com seu grupo elabore um problema de divisão com a ideia subtrativa e um com a ideia repartitiva. Explique com suas palavras qual a diferença entre os dois problemas DIVISÃO REPARTITIVA Na sala de aula que Alana estuda há 30 alunos que foram divididos em 6 filas com quantidade igual. Quantos alunos há em cada fila? 30 alunos 6 filas = 5 alunos em cada fila Flávia ganhou um encarte com 24 fivelas para cabelo, repartiu-as com suas duas primas, ficando cada uma com a mesma quantidade. Com quantas fivelas cada uma ficou? 24 fivelas 3 primas = 8 fivelas para cada prima Problemas elaborados pelos professores do 5º ano DIVISÃO SUBTRATIVA (MEDIDA) Na sala de aula que Alana estuda há 30 alunos. A sala foi organizada em filas de 5 alunos. Quantas filas foram formadas nessa sala? 30 alunos 5 alunos por fila = 6 filas Flávia tinha um encarte com 24 fivelas para cabelo. Ela deu 8 fivelas para cada uma de suas primas. Para quantas primas ela deu as fivelas? 24 fivelas 8 fivelas para cada prima = 3 primas Problemas elaborados pelos professores do 5º ano 1. Situações de comparação entre razões Alana tem 5 pacotes de figurinhas. Em cada pacote há 5 figurinhas. Quantas figurinhas Alana possui? E se fossem 8 pacotes? O esquema “um para muitos”, utilizado no registro da resolução é importante para a forma de pensar sobre o problema: para cada pacote correspondem 5 figurinhas. A quantidade de pacotes e a quantidade de figurinhas (medidas) estão relacionadas por um número fixo de figurinhas por pacote, ou seja, 5 figurinhas por pacote. Observa-se uma proporção entre a quantidade de pacotes e a quantidade de figurinhas por pacote. Proporção é a expressão da relação existente entre as duas coleções. 2. Situações de divisão por distribuição 35 figurinhas 5 amigos = ? figurinhas Alana tem 35 figurinhas repetidas e quer dividir entre seus 5 amigos. Quantas figurinhas cada amigo vai receber? O que caracteriza esse problema é o fato de a quantidade a ser dividida e o número de amigos que receberão figurinhas serem conhecidos. O quanto caberá a cada um é o que deverá ser determinado. Esquemas de correspondência e distribuição Quantidade a ser dividida: 35 figurinhas Número de amigos: 5 amigos Figurinhas por amigo: ? 3. Situações de divisão por formação de grupos Quantidade a ser dividida: 35 figurinhas Tamanho do grupo: 5 figurinhas em cada página Número de grupos: ? Problemas de divisão podem envolver a formação de grupos, quando o tamanho do grupo é conhecido e o número de grupos possíveis deve ser determinado. Alana colou 35 figurinhas em um álbum. Em cada página foram coladas 5 figurinhas. Quantas páginas foram utilizadas? Esquemas de correspondência um para muitos 20 figurinhas 5 páginas = ? páginas 4. Situações de configuração retangular Lucas organizou a coleção de carrinhos em um suporte com 4 fileiras e 4 colunas. Quantos carrinhos tem neste suporte? Os problemas deste tipo exploram a leitura de linha por coluna ou vice-versa. 5.Situações de raciocínio combinatório Situações que envolvem a necessidade de verificar as possibilidades de combinar elementos de diferentes conjuntos. Conjunto conhecido: 3 camisas Conjunto conhecido: 2 calções Número de possibilidades: ? Dois conjuntos conhecidos: camisas e calções, que devem ser combinados entre si para determinar o número de possibilidades de combinação. Kaique tem três camisas para jogar futebol, uma azul (A), uma branca (B) e uma verde (V) e dois calções, um preto (P) e um branco (B). De quantas maneiras diferentes Kaique pode se vestir para jogar futebol? Os significados ou usos das operações precisam ser conhecidos para que se saiba qual operação empregar na resolução de um problema. Os estudantes precisam saber quando cada operação deve ser usada. Não é adequado dar problemas todos do mesmo tipo (significado) porque a criança, percebendo essa regularidade, trabalha automaticamente e pára de pensar. Os algoritmos (procedimentos passo a passo) são elementos técnicos. Eles não “trabalham” com significados e com ações, que só serão exploradas e refletidas nos problemas. Na Resolução de Problemas é preciso levar em conta: - o conteúdo dos problemas; este deve, de início, estar relacionado com as vivências das crianças, para, depois, ir se diversificando, de modo que elas possam ir descobrindo estruturas matemáticas idênticas, em diferentes conteúdos; - a apresentação das informações, que, de início, deve trazer todos os dados necessários, suficientes e ordenados, até chegar a enunciados com dados desordenados, irrelevantes ou ausentes; - a dificuldade dos cálculos necessários, que devem ser sequencializados, uma vez que trabalhar com números complexos pode alterar a interpretação da situação. - o lugar da incógnita.