2021-PM Aula 02 - Dinâmica dos Eixos

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Universidade Paulista
Projetos Mecânicos
Aula 02 – 18.08.21
Dinâmica dos Eixos
Curso Engenharia Mecânica
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Eixos (slide 01/17)
Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica
Vibração lateral [1]
Eixo discretizado
Obtenção das frequências naturais para o eixo discretizado
Coeficientes de influência [m/N]:
Ao aplicarmos uma 
força unitária no ponto j, 
temos o deslocamento 
observado no ponto i.
ji
𝑥𝑖 ≤ 𝑎𝑗
𝑥𝑖 > 𝑎𝑗
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Eixos (slide 02/17)
Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica
Vibração lateral [1]
Considerando-se um sistema com três massas:
F1 F2 F3
Segundo o teorema da reciprocidade de Maxwell dij = dji
Representação gráfica dos valores de d
1 2 3
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Eixos (slide 03/17)
Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica
Exercício 3:
Considere o eixo em aço simplesmente apoiado conforme é apresentado na 
figura abaixo, com diâmetro de 25,4 mm, uma distância entre os mancais de 
0,7874m, carregando duas engrenagens de massa 15,786kg e 24,948kg
15,786 kg 24,948 kg
0,1778m 0,3302m 0,2794m
0,7874m
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Eixos (slide 04/17)
Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica
Exercício 3:
a) Encontre os coeficientes de influência;
b) Encontre S v y e S v y2 e a primeira velocidade crítica utilizando a equação de 
Rayleigh-Ritz;
c) A partir dos coeficientes de influência, encontre w11 e w22;
d) Usando a equação de Dunkerley, estime a primeira velocidade crítica;
e) Use a superposição para estimar a primeira velocidade crítica;
f) Estime a velocidade crítica do eixo em si. Sugira uma modificação na equação 
de Dunkerley para incluir o efeito da massa do eixo na primeira velocidade 
crítica dos componentes.
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Eixos (slide 05/17)
Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica
Vibração torcional [3]
Frequência 
natural
Rigidez torcional
Momento de inércia de massa
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Eixos (slide 06/17)
Momento polar 
de inércia para 
eixos 
escalonados
Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica
Vibração torcional [3]
Momento polar de inércia
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Eixos (slide 07/17)
Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica
Vibração torcional [3]
Dois discos em um mesmo eixo
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Eixos (slide 08/17)
Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica
Vibração torcional [3]
Dois discos em um mesmo eixo
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Eixos (slide 09/17)
Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica
Exercício 4
Um eixo livre carrega um volante com I1 = 2 kgm
2 em uma extremidade e
I2 = 4 kgm
2 na outra. O eixo conectado às duas massas tem rigidez de
4.106 Nm/rad. Calcule a frequência natural deste sistema e a posição do nó.
I1 = 2 kgm
2
I2 = 4 kgm
2
kt21 = 4.10
6 Nm/rad
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Eixos (slide 10/17)
Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica
Vibração torcional [3]
Múltiplos discos no mesmo eixo
I1
2
I2
I3
1
kt12 kt23
q2
q1
q3
3
wn1
wn2
Para o caso de três massas os quadrados, das frequências naturais são 
as raízes de:
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Eixos (slide 11/17)
Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica
Exercício 5a
Um eixo possui três inércias montadas sobre ele, sendo estas de 2, 4 e 2 kgm2,
respectivamente, quando vistas da esquerda para a direita. O eixo conectando as
duas primeiras inércias tem rigidez torcional de 3.106 Nm/rad e o eixo conectando
as duas últimas tem o valor correspondente de 2.106 Nm/rad. O sistema é
suportado por mancais nas duas extremidades. Ignore a inércia dos eixos e
encontre as frequências naturais do sistema. Determine as frequências naturais.
I1 = 2 kgm
2
2
I2 = 4 kgm
2
I3 = 2 kgm
2
1
Kt12 = 3.10
6 Nm/rad
q2
q1
q3
3
wn1
wn2
Kt23 = 2.10
6 Nm/rad
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Eixos (slide 12/17)
Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica
Vibração torcional
Estudo do caso generalizado – Método de Holzer
I1
2
I2
I3
1
kt12 kt23
q2
q1
q3
3
wn1
wn2
Quando o disco 1 oscila em relação ao disco 2, o balanço de torque nos dá: I1a1 – kt12 (q1 – q2) = 0
Quando o disco 2 oscila em relação aos discos 2 e 3, o balanço de torque nos dá: I2a2 – kt12 (q2 – q1) – kt23 (q2 – q3) = 0
Quando o disco 3 oscila em relação ao disco 2, o balanço de torque nos dá: I3a3 – kt23 (q3 – q2) = 0
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Eixos (slide 13/17)
Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica
Vibração torcional
Estudo do caso generalizado – Método de Holzer
I1
2
I2
I3
1
kt12 kt23
q2
q1
q3
3
wn1
wn2
No movimento harmônico simples, podemos substituir a por –w2q em cada uma das 
equações e rearranjá-las para se obter:
I1 w
2 q1 = kt12 (q1 – q2)
I2 w
2 q2 = kt12 (q2 – q1) + kt23 (q2 – q3)
I3 w
2 q3 = kt23 (q3 – q2)
A soma de todas estas equações resulta em: I1 w
2 q1 + I2 w
2 q2 + I3 w
2 q3 = 0
Para qualquer número de discos pode ser generalizado que: S I w2 q = 0
No método de Holzer, assumimos que q1 = 1 e calculamos as outras deflexões.
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Eixos (slide 14/17)
Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica
Vibração torcional
Estudo do caso generalizado
A deflexão no disco 2 pode ser encontrada rearranjando-se I1 w
2 q1 = kt12 (q1 – q2) para se 
obter:
𝜃2 = 𝜃1 −
𝜔2
𝑘𝑡12
𝐼1𝜃1
A deflexão no disco 3 pode ser encontrada rearranjando-se I2 w
2 q2 = kt12 (q2 – q1) 
+ kt23 (q2 – q3) para se obter:
𝜃3 = 𝜃2 −
𝜔2
𝑘𝑡23
(𝐼1𝜃1 + 𝐼2𝜃2)
Caso tivéssemos 4 discos a deflexão no disco 4 seria:
𝜃4 = 𝜃3 −
𝜔2
𝑘𝑡34
(𝐼1𝜃1 + 𝐼2𝜃2 + 𝐼3𝜃3) ... e assim sucessivamente.
𝐷𝑖𝑐𝑎: 𝜃2 − 𝜃1 = −
𝜔2
𝑘𝑡12
𝐼1𝜃1
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Eixos (slide 15/17)
Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica
Vibração torcional
Estudo do caso generalizado
Os torques atuantes são:
- no disco 1: I1 w
2q1 
- no disco 2: I2 w
2q2 
- no disco 3: I3 w
2q3
... e da esquerda para a direita:
T1 = w
2 I1 q1 
T2 = T1 + w
2 I2 q2
T3 = T2 + w
2 I3 q3 
Uma vez que precisamos satisfazer a condição S I w2 q = 0, a expressão de torque no 
último disco é igual a 0, já que a oscilação deste é livre.
O problema consiste em encontrar os valores de w que satisfazem esta condição, e estes 
são numericamente iguais às frequências naturais do sistema.
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Eixos (slide 16/17)
Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica
Exercício 5b
Um eixo possui três inércias montadas sobre ele, sendo estas de 2, 4 e 2 kgm2,
respectivamente, quando vistas da esquerda para a direita. O eixo conectando as
duas primeiras inércias tem rigidez torcional de 3.106 Nm/rad e o eixo conectando
as duas últimas tem o valor correspondente de 2.106 Nm/rad. O sistema é
suportado por mancais nas duas extremidades. Ignore a inércia dos eixos e
encontre as frequências naturais do sistema. Determine as frequências e os
modos naturais de vibração pelo método de Holzer.
I1 = 2 kgm
2
2
I2 = 4 kgm
2
I3 = 2 kgm
2
1
Kt12 = 3.10
6 Nm/rad
q2
q1
q3
3
wn1
wn2Kt23 = 2.10
6 Nm/rad
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Eixos (slide 17/17)
Bibliografia
Bibliografia Básica
[1] BUDYNAS, R. G.; NISBETT J. K. Elementos de Máquinas de Shigley – Projeto de engenharia mecánica.
Porto Alegre: Bookman, 2011.
[2] JUVINALL, Robert & MARSHEK, Kurt M., Projeto de Componentes de Máquinas, Rio de Janeiro: Editora
LTC, 2008.
[3] NORTON, Robert L., Projeto de Máquinas – Uma abordagem integrada, Porto Alegre: Bookmann, 2013.
Bibliografia Complementar
[4] CUNHA, Lamartine. – Elementos de Máquinas – Rio de Janeiro – Editora LTC – 2009.
[5] RESHETOV, D. N. Atlas de construção de Máquinas. São Paulo: Hemus Editora, 2005.
[6] NIEMANN, G. Elementos de Máquinas. Ed. Edgard Blücher ,2002. (3v).
[7] COLLINS, J. A. Projeto mecânico de elementos de máquinas. Rio de Janeiro: LTC,2006.
[8] MELCONIAN, S, Fundamentos De Elementos De Máquinas: Transmissões, Fixações E Amortecimento.
São Paulo: Saraiva, 2014.
[9] Rao, Sighiresu S., Vibrational Mechanics, Pearson, 2011.