FT3_Unidade II_Parte 2_Exercicios Resolvidos

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Fenômenos de Transporte III 
Unidade 2 – Condução de Calor em Regime Permanente e Transiente 
Profa. Maria das Graças Enrique da Silva 
1 
 
UNIDADE 2 
 
CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME 
PERMANENTE E TRANSIENTE 
(Parte 2) 
 
(Exercícios Resolvidos) 
Fenômenos de Transporte III 
Unidade 2 – Condução de Calor em Regime Permanente e Transiente 
Profa. Maria das Graças Enrique da Silva 
2 
Exemplos: 
 
1) Uma face de uma placa de cobre de L = 3cm de 
espessura é mantida a 400oC, e a outra face é mantida a 
100oC. Calcule a temperatura na linha central da placa, x 
= L/2. 
 
R.: T(L/2) = 250º C 
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3 
3 
Condições de Contorno: 
 
Temperatura da superfície constante: 
 2
1
TTLx
TT0x


T2 
T1 
x 
x = 0 
x = L 
 
1
12 Tx
L
TT
)x(T 


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4 
4 
Temperatura em x= L/2: 
T2 
T1 
x 
x = 0 
x = L 
 
1
12 T
2
L
L
TT
)2/L(T 






 
1
12 T
2
TT
)2/L(T 


Substituindo os valores: 
 
400
2
400100
)2/L(T 

 C250)2/L(T o
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5 
2) Para o exemplo anterior, determine o fluxo de calor por 
unidade de área através da parede, considerando k = 370 
W/moC. 
 
 
R.: 3,7MW/m2 
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6 
6 
Para determinar o fluxo de calor quando se tem a função de 
temperatura, usa-se a lei de Fourier na forma de equação 
diferencial: 
Em seguida, deriva-se a função da temperatura em relação a 
x e substitui-se na equação acima... 
dx
dT
k
A
q

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7 
7 
A função da temperatura para este problema é dada por: 
A sua derivada primeira é: 
 
1
12 Tx
L
TT
)x(T 


 
L
TT
dx
dT 12 
Substituindo na Lei de Fourier, encontra-se: 
 



 

L
TT
k
A
q 12
dx
dT
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8 
8 
Substituindo os valores... 
 
03,0
400100
370
A
q 

26 m/W10x7,3
A
q

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9 
9 
3) Observa-se que a distribuição de temperaturas, em regime 
estacionário, no interior de uma parede unidimensional com 
condutividade térmica de 50W/mK e espessura de 50mm tem a forma 
T(x) = 200 - 2.000x2, onde x é dado em metros. 
(a) Qual a temperatura em x = L/2? R.: T(L/2) = 198,75oC 
 
(b) Qual o fluxo de calor em x = 0 e x = L? R.: 
 
 
(c) Qual a taxa de geração de calor na parede? R.: 
 
3
5
m
W
100,2q 
2m
W
0q 
2m
W
000.10q 
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10 
10 
Função de temperatura: T(x) = 200 - 2.000x2 
a) Qual a temperatura em x = L/2? 
T(L/2) = 200 - 2.000(L/2)2 = 200 – 2.000(0,05/2)2 
T(L/2) = 198,75oC 
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11 
11 
Função de temperatura: T(x) = 200 - 2.000x2 
 
(b) Qual o fluxo de calor em x = 0 e x = L? 
A derivada primeira da função de temperatura é: 
x000.4
dx
dT

Substituindo na Lei de Fourier, encontra-se:  x000.4k
A
q

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12 
12 
Substituindo os valores: 
 
Para x = 0:  0000.450
A
q

2m
w
0
A
q

Para x = L = 0,05m:  05,0000.450
A
q

2m
w
000.10
A
q

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13 
13 
(c) Qual a taxa de geração de calor na parede? 
A geração de calor está relacionada com a função de temperatura pela 
equação diferencial simplificada da equação geral da condução para o 
problema unidimensional, permanente, com geração de calor, como visto 
antes: 
0
k
q
dx
Td
2
2



Ou ainda, isolando-se q’’’: 
2
2
dx
Td
kq 
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Tem-se: 
14 
14 
A derivada primeira da função de temperatura é: 
x000.4
dx
dT

Substituindo-se na equação: 
E a derivada segunda: 000.4
dx
Td
2
2

2
2
dx
Td
kq 
 000.4kq 
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15 
15 
Substituindo os valores:  000.450q 
3m
w
000.200q 
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16 
16 
4) Um reator nuclear de alta temperatura com resfriamento a gás é 
formado por uma parede cilíndrica composta, na qual um elemento 
combustível de tório (kT = 57W/mK) encontra-se envolto em grafite 
(kG = 3W/mK) e hélio gasoso escoa através de um canal anular de 
resfriamento. Considere condições nas quais a temperatura do hélio é de 
Tinf = 600K e o coeficiente de transferência de calor por convecção na 
superfície externa do grafite é h = 2000W/m2K. Se energia térmica 
[W/m3] é uniformemente gerada no elemento combustível a uma taxa 
q’’’ = 108W/m3. Quais são as temperaturas T1 e T2 nas superfícies interna 
e externa, respectivamente, do elemento tório? 
R.: T1 = 938K e T2 = 931K 
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17 
17 
Sup. 
adiabática 
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18 
18 
Questionamentos: 
1) É possível calcular o fluxo de calor da superfície a T1 até 
o meio gasoso, a Tinf? Por que? 
Solução: 
2) É possível calcular o fluxo de calor da superfície a T2 até 
o meio gasoso, a Tinf? 
3) O que deve ser feito para determinar T1? 
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19 
Questionamentos: 
1) É possível calcular o fluxo de calor da superfície a T1 até 
o meio gasoso, a Tinf? Por que? 
Solução: 
Não!!! Porque o material tório tem geração de 
calor!!! 
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20 
20 
Questionamentos: 
2) É possível calcular o fluxo de calor da superfície a T2 até 
o meio gasoso, a Tinf? 
Solução: 
Sim!!! Acha-se com isso T2. 
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21 
Fluxo de calor por unidade de 
comprimento: 
A equação acima possui duas incógnitas: q/L e T2!!! 
3G
23
inf2
r2h
1
2k
)r/rln(
)TT(
L/q





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22 
22 
O fluxo de calor por unidade de 
comprimento pode ser 
determinado da geração 
de calor!!! 
L)rr(
q
q
q
q
2
1
2
2 



Área do anel para o tório!!! 
L
q
)rr(
1
q
2
1
2
2



Fluxo por comprimento!!!Fenômenos de Transporte III 
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23 
23 
Isolando o q/L e substituindo os valores... 
)rr(q
L
q 2
1
2
2 
 228 )008,0()011,0(10
L
q

m/W07813,907.17
L
q

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24 
24 
Agora pode-se determinar T2: 
inf
3G
23
2 T
r2h
1
2k
)r/rln(
L/qT 









600
014,02000.2
1
23
)011,0/014,0ln(
1,907.17T2 









K931K89,930T2 
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25 
25 
Questionamentos: 
3) O que deve ser feito para determinar T1? 
Solução: 
22
1
TTrr
0
dr
dT
rr


Determinar a função de 
temperatura para o tório 
usando como condições 
de contorno: 
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26 
26 
Condições de Contorno: 
(Equação 7) 0k
q
dr
dT
r
dr
d
r
1








22
1
TTrr
0
dr
dT
rr


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27 
27 
Integrando duas vezes a Equação 7, tem-se: 
(Equação 8) 21
2 CrlnCr
k4
q
)r(T 


Substituindo as condições de contorno já estabelecidas 
anteriormente, pode-se determinar as constantes de 
integração C1 e C2. Assim, 
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28 
28 
0
dr
dT
rr:1#CC 1 
r
C
r
k2
q
dr
dT 1


1
1
1
r
C
r
k2
q
0 


2
11 r
k2
q
C


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29 
29 
22 TTrr:2#CC 
  221
2
22 CrlnCr
k4
q
T 


21
2 CrlnCr
k4
q
)r(T 


  21
2
222 rlnCr
k4
q
TC 


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30 
30 
2
2
1
2
222 rlnr
k2
q
r
k4
q
TC 




 



Substituindo o valor de C1, tem-se: 
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31 
31 
Substituindo as constantes de integração C1 e C2, na Equação 
8, tem-se: 
2
2
1
2
22
2
1
2 rlnr
k2
q
r
k4
q
Trlnr
k2
q
r
k4
q
)r(T 




 







 



Simplificando... 
  








2
2
1
T
22
2
T
2
r
r
lnr
k2
q
rr
k4
q
T)r(T
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32 
32 
Quando r = r1 => T = T1, 
Assim... 
  








2
12
1
T
2
1
2
2
T
21
r
r
lnr
k2
q
rr
k4
q
TT
  








2
2
1
T
22
2
T
2
r
r
lnr
k2
q
rr
k4
q
T)r(T
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33 
33 
Substituindo os valores das variáveis, tem-se: 
  









011,0
008,0
ln)008,0(
572
10
)008,0()011,0(
574
10
931T 2
8
22
8
1
K938K122,938T1 
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34 
34 
e) Condução unidimensional com geração de calor (sistemas 
radiais) 
Considerações: k é constante e T(r) é unidimensional, permanente e com 
geração de calor. 
Equação Geral da Condução (k = cte) 
Geometria: Cilindro sólido 
pC
k


0 0 0 
t
T
k
C
k
q
z
TT
r
1
r
T
r
1
r
T p
2
2
2
2
22
2
















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35 
35 
Condições de Contorno: 
 
Temperatura da superfície constante: 
 0
dr
dT
0r
TTRr ss


(Equação 7) 0k
q
dr
dT
r
dr
d
r
1








Assim, realizada as simplificações consideradas e colocando a 
equação diferencial em na forma conservativa, obtém-se: 
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36 
36 
Integrando a Equação 7, tem-se: 
 
 
Da segunda integração, obtêm: 
(Equação 9) 21
2 CrlnCr
k4
q
)r(T 


r
C
r
k2
q
dr
dT 1


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Substituindo as condições de contorno já estabelecidas 
anteriormente para temperatura da superfície constante, 
pode-se determinar as constantes de integração C1 e C2. 
Assim, 
37 
37 
ss TTRr:1#CC 
2s1
2
ss CRlnCR
k4
q
T 


ss1
2
s2 TRlnCR
k4
q
C 


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38 
38 
0C1 
0
dr
dT
0r:2#CC 
0
r
C
0.
k2
q
dr
dT 1 


0 
=> 
Assim, 
s
2
s2 TR
k4
q
C 


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39 
39 
Substituindo as constantes de integração C1 e C2, na Equação 
9, tem-se: 
  s22s TrR
k4
q
)r(T 


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40 
40 
5) Um fio de aço inoxidável AWG No 10, de comprimento igual a 
1ft, raio externo igual a 0,051in e k = 10Btu/h ft oF, é usado 
como um aquecedor de resistência elétrica, numa experiência de 
laboratório. 
A queda de voltagem, E, medida através do fio é de 20volts e a 
corrente, I, é de 40A. A temperatura da superfície do fio, medida 
por um termopar ligado, é igual a 600oF. Encontre a temperatura 
máxima do fio. 
Dados: 1W = 3,412Btu/h e 1ft = 12in 
 
 
Potência elétrica: 
 
R.: Tmax = 622
oF 
EI
I
E
IRI 22 
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41 
41 
Solução: 
 
Cálculo da potência elétrica: EI
I
E
IRI 22 
W8004020EI 
As condições de contorno do problema são adiabático no eixo do 
fio (condição geral para cilindro sólido) e temperatura constante na 
superfície. Assim, a equação para este problema, já determinada, é 
dada por: 
  s22s TrR
k4
q
)r(T 


Pela relação, 1W = 3,412Btu/h h/Btu6,729.2W800EI 
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42 
42 
Solução: 
A temperatura máxima do fio é no eixo (adiabático), ou seja, em 
r = 0, assim: 
  s22s TrR
k4
q
)r(T 

   s22smax T0R
k4
q
T)0(T 


s
2
smax TR
k4
q
T 


Fenômenos de Transporte III 
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43 
43 
Solução: 
É necessário determinar o calor gerado q”’: 
LR
q
L.A
qq
q
2
s



1
12
051,0
6,729.2
q
2








363 hft/Btu10x1,48hft/Btu901.102.48q 
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44 
44 
Solução: 
Substituindo os valores na equação, tem-se: 
600
12
051,0
104
10x1,48
T
26
max 







F622F7,621T oomax 
s
2
smax TR
k4
q
T 

