Unidade 1

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Cálculo Avançado - Unidade 1 - Derivadas e Integrais 
1 
Gustavo de Lins e Horta 
 
 
Cálculo Avançado 
 
 
Unidade 1 
Derivadas e Integrais 
 
 
 
 
Autor: Gustavo de Lins e Horta 
Revisor técnico: Carlos Augusto Xavier 
 
 
Cálculo Avançado - Unidade 1 - Derivadas e Integrais 
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Gustavo de Lins e Horta 
Introdução 
Nesta unidade, serão apresentados os conceitos de derivadas e integrais e também iremos 
aprender o que são equações paramétricas. 
 
Diferenciação é um processo que nos permite encontrar a inclinação de uma linha tangente a 
uma curva em um ponto. Uma derivada também representa uma taxa instantânea de mudança. 
 
Ao longo desta unidade, aprenderemos algumas técnicas para encontrar derivadas. É possível 
determinar a distância que um veículo percorreu, se conhecermos sua função de velocidade? 
Podemos determinar o lucro total de uma empresa, se conhecermos sua função de lucro 
marginal? Podemos, usando um processo chamado integração, que é um dos dois principais 
ramos do cálculo, sendo o outro a diferenciação. 
 
Veremos que podemos usar a integração para encontrar a área sob uma curva, que tem muitas 
aplicações práticas em ciência, negócios e estatística. 
 
Bons estudos! 
 
 
1. Atividade diagnóstica 
Vamos relembrar o conceito de limites. O limite é fundamental para calcular a tangente de uma 
curva ou a velocidade de um objeto, por exemplo. Um aspecto importante do estudo do cálculo 
é a análise de como os valores das funções (saídas) mudam à medida que os valores das entradas 
mudam. 
 
1.1 Definição de limite 
Conforme x se aproxima de a, o limite de f(x) é L e é escrito como: 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
Se todos os valores de f(x) estiverem próximos de L, para valores de xI suficientemente 
próximos, mas não é igual a. O limite L deve ser um número real único. 
 
Quando escrevemos 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥), estamos indicando que x se aproxima de a de ambos os lados. 
Se queremos ser específicos sobre o lado em que os valores x se aproximam do valor a, usamos 
a notação: 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥), para indicar o limite da esquerda (ou seja, onde 𝑥 < 𝑎), 
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𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥), para indicar o limite da direita (ou seja, onde 𝑥 > 𝑎), 
 
Estes são chamados de limites esquerdo e direito, respectivamente. Para que um limite exista, 
os limites, esquerdo e direito devem existir e ser os mesmos. Isso leva ao seguinte teorema. 
 
1.2 Teorema 
Conforme x se aproxima de a, o limite de f(x) é L se o limite da esquerda existir e o limite da 
direita existir e os dois limites forem L. Isso é, 
se 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
Exemplo: 
 
Dada a função 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥−1
, determine o limite de 𝑓(1). O limite de 𝑓(1)pode ser calculado 
da seguinte forma: 
𝑓(1) =
(1)2 − 1
(1) − 1
=
0
0
 
 
Não há resposta, pois obtemos um zero no denominador. Logo 𝑓(1)não existe dentro do 
conjunto dos números reais (𝑅). 
 
1.3 Propriedades dos limites 
Se 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿e 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑀 e c é qualquer constante, então temos as seguintes 
propriedades dos limites. 
 
• Limite de uma constante é a própria constante: 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑐 = 𝑐 
 
• O limite de uma potência é a potência desse limite, e o limite de uma raiz é a raiz desse 
limite (assumindo que n é um número inteiro positivo): 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑛 = [𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)]𝑛 = 𝐿𝑛 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
√𝑓(𝑥)
𝑛
= √𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)𝑛 = √𝐿
𝑛
 
No caso da raiz, devemos ter 𝐿 ≥ 0 se n for par. 
 
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• O limite de uma soma ou diferença é a soma ou a diferença dos limites: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 ± 𝑀 
 
• O limite de um produto é o produto dos limites: 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥)] = [𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)] × [𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)] = 𝐿 × 𝑀 
 
• O limite de um quociente é o quociente dos limites: 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
=
𝐿
𝑀
, 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑀 ≠ 0 
 
• O limite de constante vezes uma função é a constante vezes o limite da função: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑐 × 𝑓(𝑥) = 𝑐 × 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑐𝐿 
 
Exemplo: Encontre o limite 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
 (𝑥2 − 3𝑥 + 7)utilizando as propriedades dos limites. 
 
 
Solução: 
Sabemos que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
𝑥é igual a 4 pela propriedade do limite de produto: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
𝑥2 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
𝑥 × 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
𝑥 = 4 × 4 = 16 
 
Pela propriedade do limite de uma constante, vezes uma função, temos: 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
(−3𝑥) = −3 × 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
𝑥 = −3 × 4 = −12 
 
Pela propriedade do limite de uma constante: 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
7 = 7 
 
Combinando os resultados acima com a propriedade da soma de limites, temos: 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
 (𝑥2 − 3𝑥 + 7) = 16 − 12 + 7 = 11 
 
2. Derivada 
A derivada de uma função f(x) é denotada por f´(x) e é dada pela equação: 
 
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𝑓´(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
, se o limite existir. 
 
Segundo Thomas (2009), na definição de derivada é utilizada a notação f(x) ao invés de 
simplesmente f, para enfatizar a variável independente x. O domínio de f´é o conjunto de pontos 
no domínio de f para o qual o limite existe. Dizemos que se f´existe para determinado valor de 
x, então f é derivável em x. Se f´existe em qualquer ponto no domínio de f, dizemos que f é 
derivável. 
 
O procedimento para calcular uma derivada é denominado derivação. 
 
Exemplo: 
 
Calcule a derivada de 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 0. 
Solução: Pela definição de derivada, temos: 
𝑓´(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 
Se substituirmos x + h = z, teremos que h = z – x e então: 
 
Existem várias formas de representar a derivada de uma função. É possível representar a 
derivada de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), onde x é a variável independente, e y é a variável dependente 
de várias maneiras. As notações alternativas para representar uma derivada são: 
 
2.1 Representação gráfica de uma derivada 
É possível construir gráficos de derivadas de 𝑦 = 𝑓(𝑥), estimando os coeficientes angulares 
no gráfico de f. No exemplo de Hoffmann (2010), o gráfico mostra a variação do volume de 
madeira de uma árvore, V, com o tempo t (idade da árvore). 
 
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Figura 1 - Variação do volume de maneira. Fonte: HOFFMANN (2010, p. 89) 
 
Ainda, segundo Hoffmann (2010), no exemplo do gráfico do crescimento de um população, a 
variação do número P de moscas-das-frutas com o tempo t , durante um experimento é dado 
pelo seguinte gráfico: 
 
 
Figura 2 - Crescimento de uma população. Fonte: HOFFMANN (2010, p. 89) 
 
A partir do gráfico, estime a taxa do aumento da população, após 20 dias e após 26 dias. Em 
qual das situações a população aumenta mais rápido? 
 
Solução: 
 
As respostas vão variar. Desenhar uma linha tangente em cada um dos pontos indicados na 
curva, mostra que a população cresce, aproximadamente, 10/dia, após 20 dias e 8/dia, após 36 
dias. A inclinação da linha tangente é mais acentuada entre os dias 24 e 30, ou seja, é mais 
acentuada no dia 27. 
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2.2 Regra da cadeia 
Suponha que seja necessário derivar a seguinte função: 
 
𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1 
 
Essa função é uma função composta. Se assumirmos que 𝑦 = 𝑓(𝑢) = √𝑢 e 𝑢 = 𝑔(𝑥) = 𝑥2 +
1, então podemos escrever 𝑦 = 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), ou seja, 𝐹 = 𝑓 × 𝑔. 
A derivada da função composta 𝐹 = 𝑓 × 𝑔 é o produto das derivadas f e g. Essa regra é 
chamada de regra da cadeia. 
A notação da regra da cadeia, se 𝑦 = 𝑓(𝑢)e 𝑢 = 𝑔(𝑥)forem funções deriváveis então:𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
A regra da cadeia também pode ser escrita na notação de linha. 
 
(𝑓 × 𝑔)´(𝑥) = 𝑓´(𝑔(𝑥)) × 𝑔´(𝑥) 
Voltando à equação 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1, onde 𝑓(𝑢) = √𝑢 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1 
𝑓´(𝑢) =
1
2
𝑢−
1
2 =
1
2√𝑢
 e 𝑔´(𝑥) = 2𝑥, temos que: 
𝑓´(𝑥) = 𝑓´(𝑔(𝑥)) × 𝑔´(𝑥) =
1
2√𝑥2 + 1
× 2𝑥 =
𝑥
√𝑥2 + 1
 
 
Resolvendo a mesma equação de outra maneira 
𝑢 = 𝑥2 + 1 e 𝑦 = √𝑢, temos: 
 
𝑓´(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
2√𝑢
(2𝑥) =
1
2√𝑥2 + 1
(2𝑥) =
𝑥
√𝑥2 + 1
 
 
 
2.3 Derivadas laterais 
De acordo com Thomas (2009), uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥)será derivável em um intervalo aberto 
(finito ou infinito) se tiver uma derivada em cada ponto do intervalo. Será derivável no intervalo 
fechado [a, b], se for derivável no intervalo aberto (a, b) e se os limites existirem nas 
extremidades. 
 
𝑙𝑖𝑚
ℎ→0 +
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
, derivada à direita em a 
𝑙𝑖𝑚
ℎ→0−
𝑓(𝑏+ℎ)−𝑓(𝑏)
ℎ
 , derivada à esquerda em b 
 
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3. Integral 
O cálculo de áreas e volumes foi revolucionado pela integral. A integral permite também 
calcular quantidades e é aplicada em probabilidade, médias, consumo de energia e forças que 
atuam em uma comporta de uma represa, por exemplo. A integral possui várias aplicações nas 
áreas de engenharia, economia e ciências. 
 
3.1 Integral definida 
A integral definida é aquela que tem uma função com intervalo fechado [a, b]. Segundo Thomas 
(2009), o conceito de integral definida é baseado nos limites de soma de Riemann, que para 
certas funções, quando a norma das partições de [a, b] tende a zero, os valores das somas de 
Riemann correspondentes tendem a um valor limite I. 
 
A notação para um integral definida é dada por: 
 
∫
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, 
 
Que é lido da seguinte forma: “integral de a até b de f de x dx”. 
 
Outros componentes do símbolo da integral também têm nomes: 
 
 
Figura 3 - Componentes da integral. Fonte: Thomas (2009, p. 374) 
 
3.1.1 Teorema 1 
Uma função contínua é integrável. Ou seja, se uma função f é contínua em um intervalo [a, b] 
então sua integral definida em [a, b] existe. 
 
3.1.2 Teorema 2 
Quando f e g são integráveis no intervalo [a, b], a integral definida satisfaz as regras da Tabela 
1. 
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Tabela 1- Propriedades das integrais definidas. Fonte: Thomas (2009, p. 378) 
 
 
 
3.2 Média ou valor médio de uma função 
Se f for integrável em [a, b], então seu valor médio, em [a, b], é definido pela equação: 𝑀(𝑓) =
1
𝑏−𝑎
∫
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 
 
Exemplo: 
 
Determine o valor médio de 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2, 𝑒𝑚 [−2, 2]. 
 
A função 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2representa o semicírculo superior de raio 2 centrado na origem. A 
área entre o semicírculo e o eixo x de -2 até 2 pode ser calculada pela fórmula geométrica. 
Á𝑟𝑒𝑎 =
1
2
𝜋𝑟2 =
1
2
𝜋(2)2 = 2𝜋 
 
Como a função f é positiva, a área é o valor da integral de -2 até 2. 
 
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∫
2
−2
√4 − 𝑥2𝑑𝑥 = 2𝜋 
 
Logo, o valor médio da função f será: 
 
𝑀(𝑓) =
1
2 − (−2)
∫
2
−2
√4 − 𝑥2𝑑𝑥 =
1
4
(2𝜋) =
𝜋
2
 
 
 
3.3 Teorema fundamental do cálculo 
Se a função f(x) for integrável em um intervalo finito I, então a integral de qualquer número 
fixo 𝛼 ∈ 𝐼até outro número 𝑥 ∈ 𝐼 irá definir uma nova função F, cujo valor x será: 
𝐹(𝑥) = ∫
𝑥
𝑎
𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 
 
A conforme Thomas (2009), a função F(x) definida pela equação anterior, fornece a área sob 
o gráfico de ƒ de a até x quando ƒ é não negativa e x > a. A Figura 4 apresenta essa área. 
 
Figura 4 - Área sob a chuva. Fonte: Thomas (2009, p. 388) 
 
O teorema fundamental do cálculo diz que se f é contínua em [a, b], então 𝐹(𝑥) = ∫
𝑥
𝑎
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 
é contínua em [a, b] e derivável em (a, b), e sua derivada será f(x). 
 
𝐹´(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
∫
𝑥
𝑎
𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥) 
 
E ainda, se f é contínua em qualquer ponto de [a, b] , e se F é qualquer primitiva de f em [a, b], 
então: 
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∫
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
3.4 Integração por substituição 
Segundo Hoffmann (2011), muitas integrais, aparentemente simples, exigem métodos 
especiais ou artifícios apropriados para serem calculadas. O método de mudança de variável 
ou regra da cadeia é chamado de integração por substituição e é considerado o inverso da regra 
da cadeia para derivadas. 
 Mudamos da variável x para uma nova variável u. 
 
Os passos para a integração por substituição são (HOFFMANN, 2011): 
 
1. Escolha uma substituição 𝑢 = 𝑢(𝑥), que simplifique o integrando f(x). 
2. Expresse toda a integral em termos de u e 𝑑𝑢 = 𝑢´(𝑥) 𝑑𝑥. Isso significa que todos os 
termos que envolvem x e dx devem ser transformados em termos que envolvem u e du. 
3. Assim a integral fica da seguinte forma: 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑢)𝑑𝑢 
 
Se possível, calcule o valor da integral transformada, determinando uma antiderivada G(u) de 
g(u). 
 
1. Substitua u por u(x) em G(u) , para obter uma antiderivada G(u(x)) para f(x), de modo 
que: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐺(𝑢(𝑥)) + 𝐶 
Exemplo: Determine ∫ 8𝑥(4𝑥2 − 3) 5𝑑𝑥. 
 
O primeiro passo é usar a substituição. 
 
𝑢 = 4𝑥 2 − 3 𝑒, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑑𝑢 = 4(2𝑥 𝑑𝑥) = 8𝑥 𝑑𝑥 
 
Assim, obtemos: 
 
∫ 8𝑥(4𝑥2 − 3) 5𝑑𝑥 = ∫ (4𝑥2 − 3) 5(8𝑥 𝑑𝑥) 
 
= ∫ 𝑢5𝑑𝑥 =
1
6
𝑢 6 + 𝐶 
 
Substituindo u por (4𝑥2 − 3), temos: 
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=
1
6
(4𝑥2 − 3) 6 + 𝐶 
 
4. Equações paramétricas 
Diz-se que uma curva no plano é parametrizada, se o conjunto de coordenadas na curva (x, y) 
for representado como função de uma variável t. Nomeadamente, 
 
𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡) 𝑡 ∈ 𝐷 
 
Em que D é um conjunto de números reais. A variável t é chamada parâmetro e as relações 
entre x, y e t são denominadas equações paramétricas. O conjunto D é chamado de domínio de 
f e g, e é o conjunto de valores que t assume. 
 
Por outro lado, dado um par de equações paramétricas com o parâmetro t, o conjunto de pontos 
(f (t), g (t)) forma uma curva no plano. Como exemplo, o gráfico de qualquer função pode ser 
parametrizado. Pois, se y = f (x), então deixe t = x para que 
𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 𝑓(𝑡) 
 
É um par de equações paramétricas com o parâmetro t , cujo gráfico é idêntico ao da função. 
O domínio das equações paramétricas é o mesmo que o domínio de f. 
Exemplo 1: 
 
Esboce a curva descrita pelas seguintes equações paramétricas. 
 
𝑥(𝑡) = 𝑡2 − 3, 𝑦(𝑡) = 2𝑡 + 1, −2 ≤ 𝑡 ≤ 3 
 
Para criar um gráfico desta curva, primeiro vamos preencher a tabela de valores: 
 
t x(t) y(t) 
-2 1 -3 
-1 -2 -1 
0 -3 1 
1 -2 3 
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2 1 5 
3 6 7 
 
A segunda e terceira colunas, nesta tabela, fornecem um conjunto de pontos a serem plotados. 
O primeiro ponto, no gráfico (correspondente a t = −2), possui coordenadas (1, -3) e o último 
ponto (correspondente a t = 3) possui coordenadas (6,7). À medida que t progride de -2 para 3, 
o ponto na curva viaja ao longo de uma parábola. 
 
Figura 5 - Gráfico do exemplo 1. Fonte: o Autor. 
 
Exemplo 2: 
Esboce a curva descrita pelas seguintes equações paramétricas. 
 
𝑥(𝑡) = 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡, 𝑦(𝑡) = 4 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
 
Nesse caso, vamos usar múltiplos de 
𝜋
6
para criar a tabela de valores. 
 
t x(t) y(t) 
0 4 0 
𝜋
6
 3,5 2 
𝜋
3
 2 3,5 
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𝜋
2
 0 4 
2𝜋
3
 
-2 3,5 
5𝜋
6
 
-3,5 2 
𝜋 -4 0 
7𝜋
6
 
-3,5 2 
4𝜋
3
 
-2 -3,5 
3𝜋
2
 
0 -4 
5𝜋
3
 
2 -3,5 
11𝜋
6
 
3,5 2 
2𝜋 4 0 
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4.1 Eliminando o parâmetro 
Para entender melhor o gráfico de uma curva representada parametricamente, é útil reescrever 
as duas equações como uma única equação que relaciona as variáveis x e y. Em seguida, 
podemos aplicar qualquer conhecimento prévio de equações de curvas no plano para identificar 
a curva. 
 
Exemplo 3: 
 
Dadas as equações paramétricas: 
 
𝑥(𝑡) = √2𝑡 + 4, 𝑦(𝑡) = 2𝑡 + 1, −2 ≤ 𝑡 ≤ 6 
 
Para eliminar o parâmetro, podemos resolver qualquer uma das equações para t. Por exemplo, 
resolver a primeira equação para t fornece: 
 
𝑥 = √2𝑡 + 4 
𝑥2 = 2𝑡 + 4 
𝑥2 − 4 = 2𝑡 
𝑡 =
𝑥2 − 4
2
 
 
Figura 6 - Gráfico do exemplo 2. Fonte: o Autor. 
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Substituindo t em y(t) temos: 
 
 
𝑦(𝑡) = 2𝑡 + 1 
𝑦 = 2(
𝑥2−4
2
) + 1→ 𝑦 = 𝑥2 − 4 + 1 
𝑦 = 𝑥2 + 3 
 
Figura 7 - Gráfico do exemplo 3. Fonte: o Autor (2020) 
 
Esta é a equação de uma parábola com concavidade voltada para cima. Há, no entanto, uma 
restrição de domínio devido aos limites no parâmetro t. Quando 𝑡 = −2, 𝑥 = √2(−2) + 4 =
0,e quando 𝑡 = 6, 𝑥 = √2(6) + 4 = 4. 
 
Exemplo 4: 
 
Sejam as equações paramétricas: 
 
𝑥(𝑡) = 43 𝑐𝑜𝑠 𝑡 
𝑦(𝑡) = 3 𝑠𝑒𝑛 𝑡 
 
Resolver qualquer equação, para t diretamente, não é aconselhável porque seno e cosseno não 
são funções individuais. No entanto, dividir a primeira equação por 4 e a segunda equação por 
3 (e suprimir o t) resulta em: 
 
𝑐𝑜𝑠 𝑡 =
𝑥
4
 
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𝑠𝑒𝑛 𝑡 =
𝑦
3
 
 
Agora use a identidade de Pitágoras 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 = 1e substitua as expressões por sen t e 
cos t pelas expressões equivalentes em termos de x e y. Isto dá: 
 
(
𝑥
4
) 2 + (
𝑦
3
) 2 = 1→ 
𝑥2
16
+
𝑦2
9
= 1 
 
Esta é a equação de uma elipse horizontal centralizada na origem. 
 
 
Figura 8 - Gráfico do exemplo 4. Fonte: o Autor (2020) 
 
Síntese 
Nesta unidade, recordamos os conceitos de limites e o teorema geral do limite. Também 
recordamos as propriedades dos limites e aprendemos um importante conceito, o conceito de 
derivada. Uma derivada representa uma taxa instantânea de mudança. 
 
Vimos a representação gráfica de uma derivada, aprendemos a importante regra da cadeia das 
derivadas e o conceito de derivadas laterais. Aprendemos ainda, o que é uma integral que pode 
ser usada, por exemplo, para encontrar a área sob uma curva e possui diversas aplicações na 
ciência, engenharia e estatística. 
 
Aprendemos o conceito de integral definida e suas propriedades, a calcular a média de uma 
função por meio da integral e aprendemos o importante teorema fundamental do cálculo. 
Também aprendemos o processo de integração por substituição, o que facilita o cálculo de 
algumas integrais. 
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Por fim, iniciamos o estudo das equações paramétricas e aprendemos como eliminar o 
parâmetro da equação parametrizada, para chegar à equação cartesiana. Na próxima unidade, 
daremos continuidade às equações paramétricas de seções cônicas e vamos aprender as 
coordenadas polares. 
 
Em suma, podemos resumir os conhecimentos adquiridos, nesta unidade, em: 
 
• Os conceitos de limites e suas principais propriedades; 
 
• Observamos e compreendemos os conceitos de derivadas e integrais, bem como suas 
representações gráficas; 
 
• Além disso, tivemos a oportunidade de estudar as equações paramétricas. 
 
Bibliografia 
BITTINGER, Marvin L. Calculus and Its Applications. 10. ed. Addison-Wesley, 2012. 
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo, volume 4. 5.ed. Rio de Janeiro : LTC, 
2013. 
 
HUGHES – HALLETT, Deborah, McCALLUM, William G.; GLEASON, Andrew. Et al. 
Cálculo a uma e a várias variáveis, volume 2. Tradução: Maria Cristina Varriale, Waldir Leite 
Roque. Rio de Janeiro: LTC, 2011. 
 
THOMAS, George Brinton; WEIR, Maurice D.; HASS, Joel. Cálculo. Tradução de Thelma 
Guimarães e Leila Maria Vasconcellos Figueiredo . 11. ed. São Paulo: Pearson Education do 
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Referências Imagéticas: Todas as imagens foram elaboradas pelo autor.