Matemática Financeira: Aplicações Básicas

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02/09/2021
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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Aplicações dos conceitos básicos
Mariana Silva Ribeiro de Oliveira
• Unidade de Ensino: 2
• Competência da Unidade: Conhecer os métodos e técnicas de cálculo de
valor do dinheiro no tempo.
• Resumo: Nessa unidade você estudará negociações com juros simples e
compostos, capital de giro, desconto bancário com IOF, taxa efetiva e
nomina.
• Palavras-chave: Taxas de juros; Negociação. Desconto.
• Título da Teleaula: Aplicações dos conceitos básicos
• Teleaula nº: 1
Contextualização
• No sistema financeiro, as operações de empréstimo são
muito utilizadas pelas pessoas.
• Tais movimentações geram ao credor um título de
crédito, como por exemplo a “nota promissória”, que é
a justificativa da dívida.
Contextualização
Esses títulos possuem datas de vencimento pré-
determinadas, mas o devedor tem o direito de antecipar o
pagamento; caso isto aconteça, um abatimento chamado
de desconto é efetuado.
Como calcular o valor de um título quando ele é 
resgatado antecipadamente?
Capital de giro –
desconto bancário
Capital de Giro
Refere-se aos recursos financeiros que garantem
condições para uma empresa dar continuidade às suas
operações, como compra de matéria-prima,
estoques de produtos de vendas, pagamentos de
funcionários, etc.
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Capital de Giro
Uma das formas de se ter Capital de Giro é:
• Antecipação dos recebimentos de títulos que podem
ser boletos ou promissórias resultantes de vendas
ou serviços prestados a clientes que pagarão numa
relação futura
Fonte: https://image.freepik.com/vetores-gratis/mulher-fazendo-analise-do-mercado-de-acoes_23-2148589217.jpg
Desconto bancário
Refere-se ao valor resultante da antecipação de um
título, ou seja, é a quantia a ser abatida do valor
nominal.
= -Valor 
resgatado
Valor 
nominal
Desconto 
Desconto racional
O desconto racional de um título é dado por:
Em que:
• � é o valor nominal.
• � corresponde a taxa de juros simples ao dia.
• � é o período de antecipação.
O cálculo do valor resgatado (��) é dado por: 
� = � � � � �
�� = �(1 − ��)
Lembre-se!
As antecipações de títulos ocorrem geralmente há
poucos dias dos clientes os pagarem, isso para que o
valor resgatado �� seja o mais próximo do valor
nominal � , ou seja, do valor do título.
A taxa nominal é uma taxa de juros 
simples.
Situação-problema 1
Uma Empresa Metalúrgica necessita comprar uma máquina, e
você, como Gerente Financeiro, deverá garantir a parte da
verba da entrada.
Você irá pagar parte da entrada com a antecipação do
recebimento de título de baixo porte (títulos que não pagam
IOF):
• Título de R$ 1.000,00 antecipado em 07 dias.
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Resolução
A instituição cobra pelas antecipações dos títulos uma taxa
nominal administrativa de 108% ao semestre.
Você deverá apresentar o valor obtido pelo título como
parte da entrada.
��� =
1,08
180
= 0,006 �. � = 0,6% �. �
Assim: � = 0,6% �. �
Título de R$1.000,00 antecipado em 07 dias.
�� = � 1 − ��
�� = 1000 1 − 0,006 � 7
�� = 1000 1 − 0,042
�� = 1000.0,958
�� = �$958,00
Desconto bancário 
com IOF
Imposto sobre Operações Financeiras (IOF)
O IOF envolve operações de câmbio, crédito, seguro ou
relativas a títulos ou valores imobiliários.
No desconto bancário, antecipação de títulos,
promissórias e duplicatas, o IOF se apresenta conforme a
fórmula a seguir:
�� = �[1 − � + ��� �]
Desconto bancário com IOF
�� = Valor descontado, valor resgatado, valor resultante da
antecipação.
� = Valor nominal, valor do título antecipado.
� = Taxa nominal, taxa de juros simples, ao dia.
� = Período de antecipação do título, geralmente em dias.
��� = Imposto sobre Operações Financeiras, taxa de
juros simples, ao dia.
�� = �[1 − � + ��� �]
Taxas
A taxa nominal e o IOF são taxas de juros simples,
então se necessitarmos convertê-las de mês para dia,
ou de ano para dia, usaremos o conceito de Taxa
Equivalente em Juros Simples.
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Situação-problema 2
Uma Empresa Metalúrgica necessita comprar uma máquina, e
você, como Gerente Financeiro, deverá garantir a parte da
verba da entrada.
Você irá pagar parte da entrada com a antecipação do
recebimento de título de alto porte (títulos que pagam IOF):
• Título de R$ 11.000,00 antecipado em 03 dias.
Resolução
A instituição cobra pelas antecipações dos títulos uma taxa
nominal administrativa de 108% ao semestre e IOF de
�, ��% �. �.
Você deverá apresentar o valor obtido pelo título como
parte da entrada.
��� =
1,08
180
= 0,006 �. � = 0,6% �. �
Assim: � = 0,6% �. �
��� =
1,08
180
= 0,006 �. � = 0,6% �. �
� = 0,6% �. �
�� = � � − � + ��� �
�� = � 1 − 0,006 + 0,0007 �
�� = �(1 − 0,0067�)
Para pensar!
Para pensar!
A taxa nominal e o IOF apresentam que regime de juros? 
Qual é a sua unidade trabalho temporal?
Fonte: https://image.freepik.com/vetores-gratis/trabalhador-com-duvidas_1012-193.jpg
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Taxa efetiva e 
nominal 
Taxa efetiva (���): taxa de juros compostos
A taxa efetiva refere-se a uma taxa em que a unidade
de tempo é igual a unidade de tempo do período de
capitalização.
Fonte: https://image.freepik.com/vetores-gratis/cliente-e-gerente-do-banco-discutindo-taxa-de-juros_74855-6854.jpg
Taxa nominal (d)
A taxa nominal refere-se a uma taxa em que a unidade de
tempo é diferente da unidade de tempo do período de
capitalização.
Fonte: https://image.freepik.com/vetores-gratis/cliente-e-gerente-do-banco-discutindo-taxa-de-juros_74855-6854.jpg
Taxa nominal para efetiva
Para converter uma taxa nominal em efetiva usa-se a 
seguinte fórmula:
Em que:
� = período da taxa nominal, em dias.
� = período da taxa efetiva, em dias
��� =
�
�
+ 1
�
− 1
Conversão taxa efetiva para nominal
Para converter uma taxa efetiva em nominal usa-se a seguinte 
fórmula:
Em que:
� = período da taxa nominal, em dias.
� = período da taxa efetiva, em dias
d = taxa nominal
��� = taxa efetiva
� = [(��� + 1)
�
�−1]�
Exemplo
Um contrato de financiamento em regime de juros compostos
apresentou taxa nominal de 32% a.a. Apresente a taxa de
trabalho desse financiamento ao ano.
Como se trata de um financiamento em juros
compostos, a taxa de trabalho não pode ser a taxa
nominal, pois ela é taxa de juros simples; então
deveremos trabalhar com taxa efetiva.
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��� =
�
�
+ 1
�
− 1
��� =
0,32
360
+ 1
���
− 1
��� = 0,0009 + 1
��� − 1
��� = 1,3824 − 1
��� = 0,3824 �. � = 38,24% �. �
Situação-problema 3
Você se tornou Gerente Financeiro de uma Metalúrgica, que
precisa comprar uma máquina.
Agora, você deve apresentar de forma adequada a taxa de
juros da proposta de pagamento.
• Pagar uma entrada e financiar o restante em
parcelas mensais e iguais, sob a taxa nominal
de 13,2% a.a. em regime de juros compostos.
��� =
�
�
+ 1
�
− 1
��� =
0,132
360
+ 1
��
− 1
��� =
0,132
360
+ 1
��
− 1
��� = 0,0004 + 1
�� − 1
��� = 1,0121 − 1
��� = 0,0121 �. � = 1,21% �. �
Negociação com juros 
simples e compostos
Negociação
A negociação tem como princípio um fundamento básico,
que é:
O capital numa situação A deve ser o mesmo numa
situação B, ou seja, o capital do anúncio tem que ser o
mesmo do proposto, independentemente da forma de
pagamento e regime de juros.
�� = ��
CA = capital numa situação “A”
CB = capital numa situação “B”
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Negociação
Quando a situação envolver entrada, passaremos a
trabalhar com a seguinte relação:
AV� = AV�
AVA = valor à vista na situação “A”
AVB = valor à vista na situação “B”
����������� = ����������
�
����������
1 + ���������
����������
= �
����������
1 + ���������
����������
�
���
�
���
Situação-problema 4
A Empresa Metalúrgica necessita comprar uma máquina
cujo fornecedor ofereceu a seguinte condição :
• Três parcelas iguais a R$22.000,00 com
vencimento a cada 10 dias, sob a taxa de juros
simples de 1,3% a.m.
Fonte: https://image.freepik.com/vetores-gratis/cliente-e-gerente-do-banco-discutindo-taxa-de-juros_74855-6854.jpg
Mas você, como gerente financeiro, apresentaa seguinte proposta:
Entrada
• Valor total da entrada: R$ 25.670,40.
Taxa de juros que definirá o valor das parcelas propostas:
• Taxa efetiva de 1,21% a.m.
Parcelamento proposto:
• Três parcelas mensais e iguais.
Resolvendo
��� =
0,012
30
= 0,0004 �. �. = 0,04% �. �
����������� = ����������
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����������� = ����������
�
�����������
1 + ���������������������
= ��������� + �
����������
1 + ���������
����������
�
���
�
���
22.000
1 + 0,0004 � 10
+
22.000
1 + 0,0004 � 20
+
22.000
1 + 0,0004 � 30
=
= 25.670,40 +
�
1 + 0,0121 �
+
�
1 + 0,0121 �
+
�
1 + 0,0121 �
22.000
1 + 0,0004 � 10
+
22.000
1 + 0,0004 � 20
+
22.000
1 + 0,0004 � 30
= 25.670,40 +
�
1 + 0,0121 �
+
�
1 + 0,0121 �
+
�
1 + 0,0121 �
65.476,88 = 25.670,40 + �
1
1,0121
+
1
1,0243
+
1
1,0367
 65.476,88 − 25.670,40 = �(0,9880 + 0,9763 + 0,9646)
39.806,48 = 2,9289�
� =
39.806,48
2,9289
� = �$13.590,93
Portanto, o valor das parcelas propostas é de R$13.590,93.
Assim, a Empresa Metalúrgica apresenta a seguinte proposta
de pagamento pela compra de máquina:
• Entrada: R$ 25.670,40.
• E três parcelas mensais e iguais a R$ 13.590,93.
Atividade
Atividade
Um contrato de financiamento em regime de juros compostos
apresentou taxa nominal de 32% a.a. Apresente a taxa de
trabalho desse financiamento ao ano.
��� =
�
�
+ 1
�
− 1
��� =
0,32
360
+ 1
���
− 1
��� = 0,0009 + 1
��� − 1
��� = 1,3824 − 1
��� = 0,3824 �. � = 38,24% �. �
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Recapitulando
Desconto racional de títulos � = � � � � �
Valor resgatado �� = �(1 − ��)
Imposto sobre operações
financeiras (IOF)
�� = �[1 − � + ��� �]
Taxa nominal e taxa efetiva
��� =
�
�
+ 1
�
− 1