AULA 12 - Geometria analítica - distância entre retas

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CURSINHO COLMEIA
MATEMÁTICA B – PROFESSORA: GABI RIBEIRO
AULA 12 - GEOMETRIA ANALÍTICA
É preciso conhecer 2 pontos da reta
m = tg Ꝋ
RELEMBRANDO...Coeficiente Angular da Reta (tangente da inclinação) - m
→ Cálculo do coeficiente angular formado por dois pontos da reta:
Ꝋ
Exemplo: 
Determine o coeficiente angular da reta r, que passa pelos pontos 
A(1,4) e B(2,3).
x0=1 e y0=4
x=2 e y=3
0° < Ꝋ < 90°
tg Ꝋ > 0
m será POSITIVO
90° < Ꝋ < 180°
tg Ꝋ < 0
m será NEGATIVO
(𝑦 − 𝑦0)
(𝑥 − 𝑥0)
Equação Fundamental da Reta 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥0)
Onde:
x e y = permanecem x e y, não muda
(x0, y0) = ponto qualquer da reta
m = Coeficiente angular da reta
Equação da Reta
→ Chamamos de equação da Reta a condição que as coordenadas de um ponto P devem 
satisfazer para que este pertença a reta;
→ É possível determinar a equação da reta apenas com um dos seus pontos P (x0;y0) e seu 
coeficiente angular:
Exemplo: 
Determine a equação fundamental da reta que passa pelos pontos A(3,1) e B(2,3).
x0=3 e y0=1
x=2 e y=3 
m =
(3 − 1)
(2 − 3)
= −2 y - 1 = -2 (x - 3)
/
𝑚 =
(𝑦 − 𝑦0)
(𝑥 − 𝑥0)
𝑚 𝑥 − 𝑥0 = (𝑦 − 𝑦0)
Lembrete “yoyo mi xoxo”
Equação Fundamental da Reta
Ꝋ
Equação Reduzida da Reta y = mx + b
Onde:
m = Coeficiente Angular da Reta (inclinação)
b = Coeficiente Linear (ponto de intersecção com o eixo y)
y e x = ponto qualquer
OBS: Equação Reduzida da Reta 
auxilia na hora de desenhar 
gráficos
Exemplo: 
Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(3,1) e B(2,3).
x1=3 e y1=1
x2=2 e y2=3 
m =
(3 − 1)
(2 − 3)
= −2 y - 1 = -2 (x - 3)
y - 1 = -2x + 6
y = -2x + 6 + 1
y = -2x + 7Equação Fundamental da Reta
Equação Reduzida da Reta
PARAMOS 
AQUI 24/09 
Equação Geral da Reta ax + by + c = 0
→ Equação “estética” 
→ Toda reta do plano cartesiano, está associada a uma equação do 1° grau (igualada a zero)
→ Sejam os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), não coincidentes e pertencentes ao plano cartesiano
→ A, B e C são reais, sendo A ≠ 0 ou B ≠ 0
→ Pra encontrar a equação da reta: faz determinante formado pelas coordenadas dos pontos = 0
ax + by + c = 0
Equação Geral da Reta
OBS: Alinhamento de 3 pontos 
→ Define a equação geral da reta
→ Dados 3 pontos:
A (XA, YA) M (XM, YM) B (XB, YB)
Teremos que A, M e B estão alinhados se o determinante for igual a 0
Exemplo: Dados os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), determine se estão alinhados.
Diagonal principal
2 . 7 . 1 = 14
5 . 1 . 5 = 25
1 . 3 . 11 = 33
Diagonal secundária
1 . 7 . 5 = 35
2 . 1 . 11 = 22
5 . 3 . 1 = 15
Somatório diag. principal – Somatório diag. Secundária
(14 + 25 + 33)– (35 + 22 + 15)
72 – 72 = 0
Pontos estão alinhados
Exemplo: Transformando equação geral em reduzida
Determine os coeficientes angular e linear da equação:
2x + 3y – 1 = 0
Resolução:
“2” e “3” NÃO são os coeficientes!!
→ Isolar o y:
3𝑦 = −2 𝑥 + 1
𝑦 =
−2 𝑥 + 1
3
𝑦 =
−2
3
𝑥 +
1
3
→ Coeficiente angular = 
−2
3
→ Coeficiente linear = 
1
3
Equação Reduzida da Reta y = mx + b
Equação Geral da Reta ax + by + c = 0
→ Surgindo a fórmula genérica:
𝑑 =
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶
𝐴2 + 𝐵²
Onde:
A, B e C = Coeficiente da equação geral da reta
“x” e “y” = As coordenadas do ponto 
Ax + By + C = 0
P (x , y)
d
Distância entre ponto e reta
→ A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de 
um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º).
→ Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da:
- Equação geral da reta (Ax + By + C = 0) e da coordenada do ponto P (x , y)
Distância entre duas retas
→ RETAS CONCORRENTES 𝑑 = 0
→ RETAS PARALELAS: As retas r e s são paralelas se possuírem a mesma 
inclinação, ou seja, mesmo coeficiente angular.
DICA: Para que duas retas sejam paralelas e não coincidentes, elas precisam possuir 
os mesmos valores de a e b, e valores diferentes de c.
r’: ax + by = c’
r: ax + by = c
𝑑 =
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶
𝐴2 + 𝐵²
Distância entre 
ponto e reta
Distância entre 
retas paralelas
Exemplo: Calcule a distância entre as retas paralelas r e s
r: 2x + 3y = 4
s: 2x + 3y = 1
1° SEMPRE colocar todos os valores do lado
a = 2
b = 3
c = 4
c’ = 1
Exercício:
1) Um especialista, ao fazer um levantamento hidrográfico de uma região marítima, 
representou no plano cartesiano os dados obtidos. Ao terminar a sua tarefa observou que, 
em particular, as ilhas A, B e C formavam um triângulo conforme a figura.
2) Calcular segmentos BC e AC
Sabendo que as coordenadas dos pontos que 
representam as ilhas são A(2; 3), B(18; 15) e C(18; 3), 
pode-se concluir que a tangente do ângulo BÂC é:
Tg BÂC = 
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐵𝐶
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝐶
1) Triângulo ABC é retângulo
d(B,C) = [(18 − 18)² + (15 − 3)²]
d(B,C) = [(0)² + (12)²]
d(B,C) = 12² = 𝟏𝟐
B (18 , 15) C(18 , 3) 
A (2 , 3) C(18 , 3) d(A,C) = [(18 − 2)² + (3 − 3)²]
d(A,C) = [(16)² + (0)²]
d(A,C) = 16² = 𝟏𝟔
3) Tangente Tg BÂC = 
12
16
=
3
4
Exercício:
2) (Udesc-SC) A soma do coeficiente angular com o coeficiente linear da reta que passa pelos 
pontos A=(1,5) e B=(4,14) é:
a) 4
b) -5
c) 3
d) 2
e) 5
2) Equação da reta
RESOLUÇÃO:
1) Calculando o coeficiente angular da reta
m = 
14 −5
4−1
=
9
3
= 3
A (1 , 5) C(4 , 14) 
y-y0 = m (x-x0)
y - 5 = 3 (x - 1)
A=(1,5) 
y - 5 = 3x - 3
y = 3x - 3 + 5
y = 3x + 2
3 + 2 = 5 
y = mx + b
FIM!
MATEMÁTICA B – PROFESSORA: GABI RIBEIRO