limites euler

Prévia do material em texto

Aueulog.doc 1/6
Limites Envolvendo a Seqüência de Euler 
Leohnard Euler, 1707-1783, ( 27/08/01 11:50:50, arquivo: aueulog.doc 
 
 
Usar o limite fundamental: 
 
e
x
x
x
=+
®µ
)11(lim ou ( ) et t
t
=+
®
1
0
1lim 
 
Limites da Seqüência de Euler: x
x
)11( + 
1. 
x
x x
321lim ÷
ø
ö
ç
è
æ +
µ+®
= ? à 
x
x x
321lim ÷
ø
ö
ç
è
æ +
µ+®
=
3
21lim
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ +
µ+®
x
x x
=
3
2
11lim
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ
+
µ+®
x
x x
= 
3211lim
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ +
µ+®
t
t t
= 
6
11lim
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ +
µ+®
t
t t
= 6e Fazendo t= 
î
í
ì
+¥®
+¥®
t
xx ,2 e x=2t 
2. ( ) x
x
x
5
0
31lim -
®
= ? à ( ) x
x
x
5
0
31lim -
®
= ( )
51
0
31lim úû
ù
êë
é -
®
x
x
x = ( )
53
0
1lim úû
ù
êë
é +
-
®
t
t
t = 
( )
151
0
1lim
-
® úû
ù
êë
é + t
t
t = 15-e = 15
1
e
 
Fazendo 
î
í
ì
®
®
-=
0
0
,3
t
x
xt e 
3
tx -= 
3. 
x
x x
21
4
31lim
-
µ-®
÷
ø
ö
ç
è
æ - =? à 
x
x x
21
4
31lim
-
µ-®
÷
ø
ö
ç
è
æ - = 
x
x x
21
3
4
11lim
-
µ-®
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
+ = 
2
3111lim
t
t t
+
µ+®
÷
ø
ö
ç
è
æ + = 
111lim ÷
ø
ö
ç
è
æ +
µ-® tx
.
2
3
11lim
t
t t
÷
ø
ö
ç
è
æ +
µ+®
=
2
3
11lim
t
t t
÷
ø
ö
ç
è
æ +
µ+®
 
î
í
ì
+¥®
-¥®
-=
t
xxt ,
3
4
com 
4
3tx -= 
4. 
x
x x
x 21
52
5lim
-
µ+®
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=? à 
x
x x
x 21
52
5lim
-
µ+®
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
x
x
x
x
x
x
x 21
5
5
5
2
5
5
lim
-
µ+® ÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ
+
= 
x
x
x
21
1
2
5
1
1lim
-
µ+®
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
+
= 
1
1
2
5
1
1lim
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
+
µ+®
x
x
.
x
x
x
2
1
2
5
1
1lim
-
µ+®
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
+
= 
 
 Aueulog.doc 2/6
2
.
5
2
11
1lim
-
µ+®
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
+
t
t
t
=
( )2.
5
2
11
1lim
-
µ+®
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
+
t
t
t
= 
.
5
4
11
1lim
-
µ+®
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ +
tt
t
= 
5
4
1
-
e
= 5
4
e 
 Fazendo t=
î
í
ì
+¥®
+¥®
t
xx ,
2
5
 e x=
5
2t
. 
5. 
x
x x
x
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
µ+® 3
4lim =? à 
x
x x
x
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
µ+® 3
4lim =
x
x
x
x
x
x
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
+
µ+® 3
4
lim = 
x
x
xx
x
xx
x
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
+
µ+® 3
4
lim = 
x
x
x
x
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
+
µ+® 31
41
lim = 
x
x
x
x
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
+
+
µ+®
3
11
4
11
lim = 73
4
e
e
e
=- 
6. 
x
x ax
ax
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
µ+®
lim =? à 
x
x
x
ax
x
ax
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
+
µ+®
lim = 
x
x
x
a
x
x
x
a
x
x
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
+
µ+®
lim = 
x
x
x
a
x
a
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
+
µ+® 1
1
lim = 
x
x
a
x
a
x
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
+
+
µ+® 11
11
lim = x
x
x
x
a
x
a
x
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ
-
+
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ
+
µ+®
µ+®
11lim
11lim
= ( )saa
a
e
e
e --
- = =e
2a . 
7. x
x
x+
®
1lim
0
=? à ( ) x
x
x
1
0
1lim +
®
= 1e 
8. x
x
x.31lim
0
-
®
=? à x
x
x.31lim
0
-
®
= 
t
t t
÷
ø
ö
ç
è
æ -+
+¥®
31lim =
t
t t
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
+
+¥®
3
11lim = 
y
y y
3
11lim
-
-¥® ÷÷ø
ö
çç
è
æ
+ = 
3
11lim
-
-¥® ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
y
y y
= 3-e ¬ fazendo 
î
í
ì
-¥®
+¥®
-=
y
tty ,
3
 , com t=-3y 
9. ( ) xg
x
xtg
2cot2
0
1lim +
®
=? à fazendo xgt 2cot= e substituindo no limite, temos 
( ) xg
x
xtg
2cot2
0
1lim +
®
=
t
t t
÷
ø
ö
ç
è
æ +
+¥®
11lim = e 
 
 
 
 Aueulog.doc 3/6
 
 
Outros Limites que dependem do limite fundamental 
x
a x
x
1lim
0
-
®
aln= 
 
Teorema: Prove que 
x
a x
x
1lim
0
-
®
aln= , onde aln é o logaritmo de a na base e.
Demonstração: Fazendo 1-= xat , 
î
í
ì
®
®
0
0
t
x
 
1+= ta x , aplicando-se logaritmo natural na 
igualdade anterior, temos: 
( )1lnln += ta x à ( )1lnln. += tax à 
( )
a
tx
ln
1ln +
= Logo 
x
a x
x
1lim
0
-
®
= 
( )
a
t
t
t
ln
1ln
lim
0 +®
= ( )
t
t
a
t 1ln
lnlim
0 +®
= ( )
t
t
a
t
t
1lnlim
lnlim
0
0
+
®
® = 
( ) t
t
t
a
1
0
1lnlim
ln
+
®
= 
( ) t
t
t
a
1
0
1limln
ln
+
®
= 
e
a
ln
ln = aln . 
 
Calcular os limites abaixo: use o limite 
x
a x
x
1lim
0
-
®
aln= 
 
10. 
x
a x
x
1lim
3
0
-
®
=? à 
x
a x
x
1lim
3
0
-
®
= 
3
1lim
0 t
a t
t
-
®
=
t
a t
t
1.3lim
0
-
®
= aln.3 . 
Fazendo 
î
í
ì
®
®
=
0
0
,3
t
x
xt com x=
3
t
. 
11. 
x
ee xx
x 2
lim
0
-
®
- =? à 
x
ee xx
x 2
lim
0
-
®
- = 
x
e
e x
x
x 2
1
lim
0
-
®
= 
x
e
e
x
x
x 2
1
lim
2
0
-
®
= 
xe
e
x
x
x 2.
1lim
2
0
-
®
= x
x
x ex
e 1.
2
1lim
2
0
-
®
= xx
x
x ex
e 1lim.
2
1lim
0
2
0 ®®
-
= 0
1.ln
e
e = 1.1 =1 
12. 
2
lim
2
0 -
-
® x
ee x
x
= ? à 
2
lim
2
0 -
-
® x
ee x
x
=
( )
2
1.lim
22
0 -
--
® x
ee x
x
= 
2
1.
1
lim
22
0 -
--
® x
ee x
x
= 
ee ln.2 = 2e 
13. 
ax
ee ax
x -
-
®0
lim = ? à 
ax
ee ax
x -
-
®0
lim = ( )
ax
ee axa
x -
--
®
1.lim
0
= 
ax
ee
ax
x
a
x -
--
®®
1lim.lim
00
= ae .lne= ae 
14. 
x
ee x
x
-+
®
1
0
lim =? à 
x
ee x
x
-+
®
1
0
lim = 
x
ee x
x
÷
ø
öç
è
æ --+
®
1.
lim
11
0
= 
( )
tt
ee t
t 2
1.lim 20 +
-
®
= ( )( )2
1.lim
0 +
-
® tt
ee t
t
= 
t
e
t
e t
t
1.
2
lim
0
-
+®
= ee ln.
2
=
2
e Fazendo 
î
í
ì
®
®
-+=
0
0
11
t
x
xt , onde ttx 22 += . 
 
 Aueulog.doc 4/6
15. 
13
15lim
2
0 -
-
® x
x
x
=? à 
13
15lim
2
0 -
-
® x
x
x
= 
x
x
x
x
x 13
2
15.2
lim
2
0 -
-
®
= 
x
x
x
x
x
x
13lim
2
15.2lim
0
2
0
-
-
®
®
= 
3ln
5ln.
1
2 
16. 
4
813lim
4 -
-
® x
x
x
=? à 
4
813lim
4 -
-
® x
x
x
= 
4
33lim
4
4 -
-
® x
x
x
= ( )
4
13.3lim
44
4 -
--
® x
x
x
= 
4
13lim.3lim
4
4
4
4 -
--
®® x
x
xx
= 3ln.34 
17. 
x
ba xx
x
-
®0
lim =? à 
x
ba xx
x
-
®0
lim = 
x
b
ab
x
x
x
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-÷
ø
ö
ç
è
æ
®
1
lim
0
= 
x
b
a
b
x
x
x
1
.lim
0
-÷
ø
ö
ç
è
æ
®
= 
x
b
a
b
x
x
x
x
1
lim.lim
00
-÷
ø
ö
ç
è
æ
®®
= 
b
ab ln.0 
18. 
252
25,02lim 22 ++
-
-® xx
x
x
=? à Solução: 
252
25,02lim 22 ++
-
-® xx
x
x
= 
252
4
12
lim 22 ++
-
-® xx
x
x
= 
( )
( )( )12.2
12
4
1
lim
2
2 ++
-+
-® xx
x
x
= 
÷
ø
ö
ç
è
æ +
+
-+
-®
2
1.2.4
1.
2
12lim
2
2
xx
x
x
= 
÷
ø
ö
ç
è
æ +
+
-
-®
+
-®
2
1.2.4
1lim.
2
12lim
2
2
2
xx
x
x
x
= 
÷
ø
ö
ç
è
æ +-
2
12.2.4
1.2ln = 2ln.
2
3.2.4
1
÷
ø
ö
ç
è
æ-
= ( ) 2ln.3.4
1
-
= 
2ln.
12
1
- 
BriotxRuffini para fatorar: 252 2 ++ xx =? = ( )( )12.2 ++ xx 
 
 2 5 2 
-2 • -4 -2 
 2 1 0 (resto) 
 
19. 
x
ee x
x 3
lim
1
0
-+
®
=? à 
x
ee x
x 3
lim
1
0
-+
®
= 
( )
x
ee x
x 3
1.lim
0
-
®
=
3
.1lim
0
e
x
e x
x
-
®
= 
3
lim.1lim
00
e
x
e
x
x
x ®®
-
= ee ln.
3
=
3
e 
 
 Aueulog.doc 5/6
20. 
1
3lim
2
0 -
-
® xx e
xx =? à 
1
3lim
2
0 -
-
® xx e
xx = 
x
e
x
xx
xx 1
3
lim
2
0 -
-
®
=
x
e
x
xx 1
3lim
0 -
-
®
=
x
e
x
x
x
x
1lim
3lim
0
0
-
-
®
® 
=
eln
3-
= 3- 
21. 
1
3senlim
0 -® xx e
x =? à 
1
3senlim
0 -® xx e
x = 
x
e
x
x
xx 1
3
3sen.3
lim
0 -®
= 
x
e
x
x
x
x
x
1lim
3
3sen.3lim
0
0
-
®
®
= 
eln
1.3
= 3 
22. 
x
e x
x 4sen
1lim
3
0
-
®
=? à 
x
e x
x 4sen
1lim
3
0
-
®
= 
x
x
x
e x
x
4
4sen.4
3
1.3
lim
3
0
-
®
= 
x
x
x
e
x
x
x
4
4sen.4lim
3
1.3lim
0
3
0
®
®
-
= 
1.4
ln.3 e
=
4
3
 
23. 
÷
ø
ö
ç
è
æ -
-
®
x
e x
x
2
cos
1lim
sen
0 p
=? à 
÷
ø
ö
ç
è
æ -
-
®
x
e x
x
2
cos
1lim
sen
0 p
=
x
e x
x sen
1lim
sen
0
-
®
= eln =1 
24. ( )1
42lim
1
1 -
-+
® xtg
x
x
=? à ( )1
42lim
1
1 -
-+
® xtg
x
x
= ( )1
22lim
21
1 -
-+
® xtg
x
x
= ( )( )1
12.2lim
12
1 -
--
® xtg
x
x
 
= ( )
1
1
1
12.2
lim
1
2
1
-
-
-
--
®
x
xtg
x
x
x
= ( )
1
1lim
1
12.2lim1
1
2
1
-
-
-
-
®
-
®
x
xtg
x
x
x
x
= ( )
1
1lim
1
12lim.2lim
1
1
1
2
1
-
-
-
-
®
-
®®
x
xtg
x
x
x
xx
 = 
1
2ln.22
= 2ln.4 
25. 
xx
ee xx
x cossen1
lim
1cossen
0 -+
- --
®
=? à 
xx
ee xx
x cossen1
lim
1cossen
0 -+
- --
®
= 
( )
1cossen
1.lim
cossen1
0 +-
---
® xx
ee xx
x
= 
( )1cossen.
1lim
1cossen
0 +-
-+-
® xxe
e xx
x
= ( )1cossen
1.1lim
1cossen
0 +-
-+-
® xx
e
e
xx
x
= 
t
e
e
t
t
1.1lim
0
-
®
= 
et
e t
t
1.1lim
0
-
®
= e
e
ln.1 = 1-e 
 Fazendo 
î
í
ì
®
®
-+=
0
0
,cossen1
t
x
xxt 
26. ( )x
xe x
x +
-+
® 1ln
1senlim
0
=? à ( )x
xe x
x +
-+
® 1ln
1senlim
0
= ( )x
xe x
x +
+-
® 1ln
sen1lim
0
= 
( )
x
x
x
x
x
e x
x +
+
-
® 1ln
sen1
lim
0
= ( )
x
x
x
x
x
e
x
x
x
x
+
+
-
®
®®
1lnlim
senlim1lim
0
00
 = 
( )x
x
x
e
1
0
1limln
1ln
+
+
®
= 
eln
2
= 2. 
Aplicando a Regra de L’Hôspital: ( )x
xe x
x +
-+
® 1ln
1senlim
0
= ? à 
1ln
10sen0 -+e
= 
0
0
 
 
 Aueulog.doc 6/6
Fazendo 
( )
( ) ( )x
xe
xg
xf x
+
-+
=
1ln
1sen
 à 
( )
( )0
0
g
f
= 
0
0
. Derivando separadamente o numerador e o 
denominador, temos: 
( )
( )
x
xe
xg
xf x
+
+
=
1
1
cos
'
'
 e 
( )
( )
01
1
0cos
0'
0' 0
+
+
=
e
g
f
= 
1
2
. Logo 
( )x
xe x
x +
-+
® 1ln
1senlim
0
= 
1
2
=2. 
 
27. ( )ax
axeax
x +
-+
® 1ln
1senlim
0
=? à ( )ax
axeax
x +
-
® 1ln
sen.
1
1lim
0
= 
( )ax
x
ax
x
e x
x
+
-
®
1ln.1
sen.1lim
0
= 
( )ax
x
ax
x
+
®
1ln.1
senlim.1
0
 = 
( )ax
x
ax
x
+
®
1ln.1
senlim
0
 =
( ) xx ax
ax
10
1ln
senlim
+
®
= 
( ) x
x
x
ax
ax
1
0
0
1lnlim
senlim
+
®
® = 
( ) x
x
x
ax
ax
1
0
0
1lnlim
senlim
+
®
® = 
( )
( )x
x
ax
a
1
0
1limln
0.sen
+
®
= ae
0
= 0