Eq_Dif_Chorfi_1

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1
 
EDO – Seção 1. 
 
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Objetivo(s): Apresentar os conceitos preliminares de Equações Diferenciais 
Professor: Domingos Chorfi 
Curso: Engenharia (todos os cursos) Disciplina: Equações diferenciais 
 
A) EQUAÇÃO DIFERENCIAL : Uma Equação Diferencial é uma relação que envolve como 
incógnita uma função e suas derivadas ou diferenciais ou “EQUAÇÃO DIFERENCIAL É UMA 
EQUAÇÃO QUE CONTÊM DERIVADAS”. 
1) Quanto ao tipo: 
a) Equação Diferencial ordinária – EDO: Contém somente uma variável independente. 
Exemplo: 5x'y  ou 
dy
dx
x  5 a variável independente é x. 
b) Equação Diferencial parcial – EDP: Contém mais de uma variável independente. 
Exemplo: yx'y"y 2  ou yx
y
u
x
u
 2
2
2




 as variáveis independentes são x e y. 
2) Quanto à ordem: É a ordem da derivada mais alta que ela contém. 
Exemplo: a) 2x
y
u
x
u





 é de primeira ordem, b) 
d y
dx
dy
dx
y
2
2 2 0   é de segunda ordem. 
3) Quanto ao grau: É obtido considerando o grau da derivada de mais alta ordem como sendo o 
grau da equação, como se faz no caso dos polinômios. 
Exemplos: a) 02
2
2
 yx
y
u
x
u




 é de primeiro grau. b) 02
32
2
2











y
dx
dy
dx
yd
 é do 
segundo grau. 
4) Quanto ao tipo de solução: a) Solução Geral: É a primitiva desta equação. 
Exemplo: y Ax Bx C  2 é a solução geral da equação diferencial 
d y
dx
3
3 0 , pois, integrando 
    
 
   
 
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2
d y
dx
3
3 0 três vezes, tem-se: 
 A
dx
yd
d
dx
yd
d
dx
yd
dx
d
dx
yd


















  2
2
2
2
2
2
3
3
000 
 BAdx
dx
dy
dAdx
dx
dy
dA
dx
dy
dx
d
A
dx
yd















 2
2
 
     CdxBAxdydxBAxdyBAx
dx
dy
  
e a solução geral será: CBxAxy  2 . 
b) Solução Particular: É a primitiva da Equação Diferencial, mas com valores definidos para as 
constantes arbitrárias por ela contida. 
 
Exemplo: y Ax Bx C  2 é a solução geral ou a primitiva da equação diferencial 
d y
dx
3
3 0 , 
mas 
 y A B C    0 0 
 y x A B C      2 5 0 2 5, , 
 3,2,5325 2  CBAxxy 
São soluções particulares desta mesma equação. 
Caso as condições iniciais forem, por exemplo: 
   20 y , isto é, 2y para 0x , 
 0
0

xdx
dy
 , isto é, 0
dx
dy
 no ponto 0x , 
    
 
   
 
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3
 1
0
2
2

xdx
yd
 , isto é, 1
2
2

dx
yd
 no ponto 0x , 
Donde A
dx
yd

2
2
 no ponto  0x A
dx
yd
x


1
0
2
2
 , isto é, 1A , 
 BAx
dx
dy
 no ponto  0x   BA
dx
dy
x


00
0
, isto é, 0B , 
CBxAxy  2 no ponto  0x     200 2
0


CBAy
x
 , isto é, 2C e 
      2201 222  xxxyCBxAxy e a solução particular será 
22  xy . 
c) Solução Singular: É uma solução da equação diferencial que não pode ser obtida por 
combinação das constantes arbitrárias, isto é, a partir da primitiva desta. 
Exemplo: 0y
dx
dy
x
dx
dy
2
2






 onde 2CAxy  é a solução geral ou a primitiva da equação 
diferencial, mas x
dx
dy
xy
4
1
,
8
1 2  e 
4
1
2
2

dx
yd
 satisfaz a equação, pois 















 2
2
8
1
4
1
4
1
2 xxxx 
0
4
1
4
1
8
1
4
1
8
1 22222  xxxxx , donde 0y8x 2  é uma solução da equação diferencial, 
e tal solução é denominada solução singular. 
 
d) Solução explícita: É a solução na forma  xfy  , isto é, a variável dependente (função) y 
pode ser isolada e igualada a uma expressão, a qual é função apenas da variável independente 
x (não ambígua). 
Exemplo:  0
1
y
dx
dy
x
 na solução explícita 2
2x
Cey

 . 
    
 
   
 
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4
e) Solução implícita: Assim, a solução de uma equação diferencial de ordem n é a 
determinação de uma relação entre as variáveis, envolvendo n constantes arbitrárias 
independentes, que, juntamente com as derivadas dela obtidas, satisfaz à equação diferencial, 
isto é, o problema das equações diferenciais é essencialmente descobrir a primitiva que deu 
origem à equação. 
Exemplo: Foi a primitiva y Ax Bx C  2 que deu origem à equação diferencial 
d y
dx
3
3 0 , e 
portanto, y Ax Bx C  2 é a solução desta equação diferencial. A solução é da forma 
  0, yxf , isto é, a variável dependente (função) y não pode ser isolada e igualada a uma 
expressão que dependa apenas da variável independente x , ou quando isto for possível (será 
ambígua). 
Exemplos: a)  0
dx
dy
yx na solução implícita 22222 xCyCxy  onde a 
solução na forma explicita não é considerado função pois possui duas soluções para cada 
Cx  
b)  0
dx
dy
)1y(xy)1x( 22 Cx)x(n2x)y(ny 1   , solução implícita. 
Como identificar se uma solução proposta é solução da equação diferencial? Para 
identificar se uma solução proposta é solução de uma equação diferencial, basta substitui a 
solução encontrada no lugar onde a variável dependente (função) aparece na equação, e se após 
os cálculos feitos, a equação se transformar em uma identidade, então a função encontrada é 
solução da equação diferencial. 
Exemplos: 1) Verificar se 23
x
ey

 ou 2
2
3
x
ey

 é solução da equação diferencial 0 xy
dx
dy
. 
Solução: a) Substituir y por 23
x
e

na equação 0 xy
dx
dy
, isto é, 
0
2
1
33
2
1
3333
3
222222
2





 




















xexeexee
dx
d
ex
dx
ed
xxxxxx
x
, 
    
 
   
 
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5
Como não surgiu uma identidade, então 23
x
ey

 não é solução. 
b) Substituir y por 2
2
3
x
e

na equação 0 xy
dx
dy
, isto é, 
0333
2
2
3333
3
222
2
222
2 2
222
2








































xxx
x
xxx
x
xexexe
xe
xee
dx
d
ex
dx
ed
, 
como surgiu uma identidade, então 2
2
3
x
ey

 é solução. 
2) Verificar se )sec(xy  é solução da equação diferencial )(xytg
dx
dy
 
Substituir y por )xsec( na equação )(xytg
dx
dy
 , isto é, 
         





 
)x(cos
)xsen(
)x(cos)xsen()x(cos)x(cos
dx
d
)xtan()xsec(
dx
)xsec(d 121 , 
       )()sec()()sec(
)(cos
)(
)(cos)(cos 11 xtgxxtgx
x
xsen
xx
dx
d






  , 
Como surgiu uma identidade, então )sec(xy  é solução. 
3) Verificar se   444 Cxxlnx4y  é solução da equação diferencial   0344  dyxydxyx . 
   
3
44
443344
xy
yx
dx
dy
dxyxdyxy0dyxydxyx

 
Então a equação será: 
3
44
xy
yx
dx
dy 
 , e a derivada da solução proposta: 
       444444 Cxxlnx4
dx
d
y
dx
d
Cxxlnx4y
dx
d
 , 
    
 
   
 
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6
      
3
3
3
333
3433
y4
C1xln4x4
dx
dy
y4
Cx4x4xlnx16
dx
dy
Cx4
x
1
x4xlnx16
dx
dy
y4



 
     C1xln4
y
x
dx
dy
y
C1xln4x
dx
dy
3
3
3
3


 
então, substituindo a derivada da solução proposta e a própria solução proposta na equação tem-
se: 
       C1xln4
y
x
xy
Cxxlnx4x
xy
yx
eC1xln4
y
x
dx
dy
3
3
3
444
3
44
3
3




 
Donde      C1xln4
y
x
C1xln4
y
x
3
3
3
3
 
Como surgiu uma identidade, então   444 Cxxlnx4y  é solução implícita. 
B) MÉTODOS DE RESOLUÇÃO PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: 
MÉTODO DA SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS: Uma Equação Diferencial de 1a Ordem permite 
ser resolvida por separação de variáveis, quando    M x y dx N x y dy, ,  0 , onde  xyy  
puder ser escrita na forma:    f x g y dx f x g y dy1 2 2 1 0( ) ( )  , para reduzirmos a uma forma 
mais simples multipliquemos a equação por  
1
2 2f x g y( )
, reduzindo-se à 
forma:
 
 
f x
f x
dx
g y
g y
dy1
2
1
2
0 
( )
( )
, onde por integraçãoem ambos os membros encontramos a 
primitiva, 
 
 
11
2 2
( )
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) 0
( )
f xg y
dy dx G y F x K G y F x K ou u x y
g y f x
          . 
 
Exemplos: 1) Obtenha a solução geral das equações diferenciais pelo método da separação 
das variáveis. 
a) ( ) ( )x ydx x y dy   1 1 02 2 
    
 
   
 
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7
  21 )1(  xxf )1()(1  yyg 
  22 xxf  yyg )(2 
dx
x
xx
dy
y
dx
x
x
dy
y
y





 




2
2
2
2 12
)
1
1(
)1(1
 
CxxnxynyCdx
xx
dy
y





 





  12 )(2)(
12
1
1
1  
b) 
y
x
dx
dy
 
0 xdxydyxdxydy
y
x
dx
dy
, 
  xxf 1 yyg )(1 
  12 xf 1)(2 yg 
 0xdxydy 
C
2
x
2
y
Cydyydy
22
  
222
222
cxy
2
c
2
x
2
y
 
donde 222 cxy  que é a solução geral (implícita) da equação e representa a equação de um 
círculo de raio cr  , (ou seja representa uma família de círculos). 
2) Obtenha a solução particular das equações diferenciais pelo método da separação das 
variáveis. 
a) 0 xy
dx
dy
 para 3)0( y . Então 
xdxdy
y
xydxdyxy
dx
dy
xy
dx
dy

1
0 
    
 
   
 
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8
     oc
x
yc
x
ycxdx
y
dy
xdx
y
dy
ln
2
ln
2
ln
2
1
2
1   
    22
22
22
2
ln
2
lnln
x
o
x
oo
o ecyec
yx
c
yx
cy







 
  20
2
33330
x
oo eycecy

 
b) 0 y
dx
dy
x para 1)1( y . Então 
00 cx
dx
y
dy
x
dx
y
dy
x
y
dx
dy
x
y
dx
dy
  
             10 xnc
y
nxncnyncnxnync
x
dx
y
dy 




  
    
xc
y
xn
c
y
nxn
c
y
n
1
expexp 11 















   
x
yc
c
y
1
1
1
11)1(  
c) 0x
dx
dy
y  para 1)0(y  . Então xdxdyy0x
dx
dy
y  
0
22
0 22
C
xy
Cxdxydy   
para 1)0(y  , tem-se 
112
2
1
2
0
2
1
000  CCCCC , logo 122
22

xy
. 
d) )(sen2 2 x
dx
dy
y  ( é uma constante) para 1)0( y . Então 
0
222 )(sen2)(sen2)(sen2 cdxxydydxxydyx
dx
dy
y    
    
 
   
 
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9
 
a
axx
dxax
4
2sen
2
)(sen 2  e 
 
0
2
0
2
4
2sen
22
2
)(sen2 c
xxy
cdxxydy   
 
   
1
4
2sen
2
1001
4
2sen
2
2
000
2 



 xx
yccc
xx
y 
APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: As Equações Diferenciais são aplicadas em: 
a) Problemas Físicos: Movimento vertical de um corpo de massa m sob a ação da gravidade 
em um meio que oferece resistência proporcional à velocidade do corpo. Deseja-se conhecer a 
posição do corpo num instante t . Seja )t(yy  a posição do corpo no instante t . Consideremos 
o sentido positivo o do movimento, isto é, para baixo. As forças que atuam sobre o corpo de 
massa m são: mg devido a gravidade (no sentido do movimento) e 
dt
dy
k devido à resistência do 
meio (no sentido contrário ao movimento) 
b) Crescimento demográfico: 
A taxa de aumento de uma população é a soma das taxas de natalidade (n) e migração (g), 
menos a taxa de mortalidade (m) mgna  
O aumento da população num instante dado é igual ao produto da população nesse instante 
vezes a taxa de aumento da população; se a população no instante t for representada pela 
função P(t), o aumento da população será também igual à derivada de P 
aP
dt
dP
 
Para poder resolver esta equação é preciso conhecer a dependência de a com o tempo. Veremos 
dois casos simples. 
Modelo de Malthus 
Se a taxa de aumento da população (a) for constante a equação diferencial anterior será 
uma equação de variáveis separáveis   CdtaP
dP
 at0 e PP  
Onde P0 é a população em t = 0. Este modelo pode ser uma boa aproximação em certo intervalo, 
mas tem o inconveniente que a população cresce sim limite. 
    
 
   
 
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10
Modelo logístico 
Considera-se uma taxa de mortalidade que aumenta diretamente proporcional à 
população, com taxas de natalidade e migração constantes. A taxa de aumento da população é 
assim kPb  com b e k constantes. A equação diferencial obtida é uma equação de Bernoulli 
2kPbP
dt
dP
 . 
Neste modelo a população não cresce indiscriminadamente, pois a medida que P 
aumenta, a taxa de aumento diminui chegando eventualmente a ser nula e nesse momento P 
permanece constante. Por meio da substituição u = 1/P obtém-se uma equação linear 
kbu
dt
du
 
Que pode ser resolvida multiplicando os dois lados pelo fator integrante bte 
    Cdtekuedx
d btbt Ce
b
k
P
bt  
1
 
A população aproxima-se assintoticamente do valor limite 
k
b
. 
c) Decaimento radioativo 
Numa substância radioativa, cada átomo tem uma certa probabilidade, por unidade de 
tempo de se transformar num átomo mais leve emitindo radiação nuclear no processo. Se p 
representa essa probabilidade, o número médio de átomos que se transmutam, por unidade de 
tempo, é pN, em que N é o número de átomos existentes em cada instante. O número de átomos 
transmutados por unidade de tempo é também igual a 
menos a derivada temporal da função N pN
dt
dN
 . 
A massa dos correspondentes átomos, x, é 
diretamente proporcional a N e assim obtemos a seguinte 
equação diferencial px
dt
dx
 onde p é uma constante, 
 
Decaimento exponencial de uma substância 
 radioativa com constante de decaimento p. 
    
 
   
 
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11
designada de constante de decaimento. A solução geral desta equação é uma função que diminui 
exponencialmente até zero ptCex  e a solução única para a condição inicial 0xx  no instante 
inicial é ptexx  0 
A meia-vida da substância define-se como o tempo necessário para a massa diminuir até 
50% do valor inicial; a partir da solução obtida temos pte5,0  
p
t
2ln
 . 
Quanto maior for a constante de decaimento p, mais rápido diminuirá a massa da 
substância (ver figura ao lado). 
Uma substância radioativa presente em todos os organismos vivos é o carbono 14 que 
decai transformando-se em azoto, com uma meia-vida de aproximadamente 5580 anos. O 
conteúdo de 14C em relação ao 12C de qualquer organismo vivo é o mesmo. A razão é a 
seguinte: no fim da cadeia alimentar dos seres vivos estão os organismos que absorvem o 
carbono diretamente da atmosfera e portanto a relação 
12
14
C
C
 nos seres vivos é a mesma que na 
atmosfera. Na atmosfera esta relação é estável há muitos anos; os organismos mortos, em 
processo de decomposição perdem 14C como resultado do decaimento radioativo e não o 
regeneram através da dieta. O azoto que a atmosfera ganha dos organismos em decomposição é 
transformado novamente em 14C pelos raios cósmicos, nas camadas superiores. Uma 
comparação do conteúdo de carbono 14 de um organismo morto, por exemplo, madeira obtida de 
uma árvore, com o conteúdo existente num organismo vivo da mesma espécie, permite 
determinar a data da morte do organismo, com uma boa precisão quando o tempo envolvido for 
da ordem de grandeza da meia-vida do carbono 14. 
d) Problemas de aquecimento e arrefecimento 
Outra aplicação das equações diferenciais de primeira ordem são os problemas de 
aquecimento e arrefecimento. Entre dois corpos em contacto existe transferência de calor por 
condução, do corpo mais quente para o mais frio. Se a temperatura do objeto em qualquer 
instante é T(t) e a temperatura do meio ambiente é M(t), o aumento da temperatura do objeto em 
qualquer instante será diretamente proporcional à diferença de temperatura com o meio ambiente 
)( TMk
dt
dT
 onde k é uma constante de condução térmica. Esta equação é uma equação 
linear que pode ser facilmente resolvida uma vez conhecida a temperatura do meio M(t). O caso 
    
 
   
 
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mais simples é quando a temperatura do meio ambiente é constante; nesse caso a equação é de 
variáveis separáveis 
kteMTMTCkdt
TM
dT
)( 0 onde 0T é a temperatura 
inicial. A temperatura do objeto aproxima-se assintoticamente à temperatura do meio. 
 
EXERCÍCIOS 1: SEÇÃO 1 
 
1) Determinar a solução geral das Equações Diferenciais, dadas a seguir, pelo método da 
separação de variáveis: 
a) 022  x
dx
dy
y R.: cxy  33 . 
b) x
dy
dx
y 2 1 R.: cxln1y2 2  . 
c) 0
2

s
x
dx
ds
 R.: cx
s
 2
2
2
. 
d) 
21 yy
te
dt
dy t

 R.:    13 3
2
2  cetey tt = 0.