Questão resolvida - Encontre a solução geral da equação diferencial linear não homogênea y-2y+y=3e^(2x) - EDO de 2° ordem caso exponencial neperiano - Cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Encontre a solução geral da equação diferencial linear não homogênea 
.y′′- 2y′+ y = 3e2x
 
Resolução:
 
A solução geral de uma EDO de 2° ordem é soma da solução homogênea com a particular;
 
y = y + yG H P
 
A solução particular é dada por; → devemos derivar 2 vezes;y = AeP 2x
 
y = Ae y' = 2Ae y'' = 4AeP
2x
→ P
2x
→ P
2x
 
Substituimos, então, na EDO não homogênea com y'' = y'' , y' = y' e y = y P P P
 
4e - 2 ⋅ 2Ae + Ae = 3e 4e - 4Ae + Ae = 3e Ae = 3e A = 32x 2x 2x 2x → 2x 2x 2x 2x → 2x 2x →
 
Com isso, a solução particular fica;
 
y = 3eP
2x
 
Agora, vamos encontrar a solução homogênea y , a solução generica da parte homogênea é :H
 
y = y x = C ⋅ 𝜚 + C ⋅ 𝜚H h( ) 1
𝜆´x
2
𝜆"x
 
 ou
 
 y = y x = C ⋅ 𝜚 + C ⋅ x𝜚 caso as raízes 𝜆' e 𝜆" sejam iguais H h( ) 1
𝜆´x
2
𝜆"x ( )
 
A parte homogênea dessa EDO tem equação caracteristica 𝜆 - 2𝜆+ 1 = 0 equação do 2ª grau2 ( )
com : 𝜆 = y", y' = 𝜆 e 1 é um termo independente, veja que isso é uma equação do2
2° grau, resolvendo :
 
𝜆' = = 1
- -2 +
2 ⋅ 1
( ) -2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1( )2 ( )
 
 
 
𝜆" = = 1
- -2 -
2 ⋅ 1
( ) -2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1( )2 ( )
 
Substituindo 𝜆´ e 𝜆" e como 𝜆' = 𝜆";
 
y = C ⋅ e + C ⋅ xe y = C ⋅ e + C ⋅ xeHomogênea 1
1x
2
1x
→ Homogênea 1
x
2
x
 
Finalmente, somamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução
geral dessa EDO não homogênea;
 
y = C ⋅ e +C ⋅ xe + 3eG 1
x
2
x 2x
 
 
(Resposta )