GAAL - Lista 4

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Lista 4 - Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear
1) Verifique (e explique por que) se π1 = π2 nos casos:
a)
π1 : X = (1, 2, 1) + λ(1,−1, 2) + µ(−
1
2
,
2
3
,−1)
π2 : X = (1, 2, 1) + α(−1, 1,−2) + β(−3, 4,−6).
(resposta: sim)
b)
π1 : X = (1, 1, 1) + λ(2, 3,−1) + µ(−1, 1, 1)
π2 : X = (1, 6, 2) + λ(−1, 1, 1) + µ(2, 3,−1)
(resposta: sim)
c)
π1 : X = (0, 0, 0) + λ(1, 1, 0) + µ(0, 1, 0)
π2 : X = (1, 1, 0) + λ(1, 2, 1) + µ(0,−1, 1)
(resposta: não)
2) Obtenha equações paramétricas do plano π que passa pelo ponto A =
(1, 1, 2) e é paralelo ao plano π1 : X = (1, 0, 0) + λ(1, 2,−1) + µ(2, 1, 0).
3) Verifique se π1 = π2 nos seguintes casos (explique por que)
a) π1 : x− 3y + 2z + 1 = 0, π2 : 2x− 6y + 4z + 1 = 0 (resposta: não)
b) π1 : x− y2 + 2z − 1 = 0, π2 : −2x+ y − 4z + 2 = 0 (resposta: sim)
4) Obtenha equações gerais para os planos π descritos abaixo:
a) π passa por A = (1, 1, 0) e B = (1,−1,−1) e é paralelo ao vetor ~v =
(2, 1, 0). (resposta posśıvel: x− 2y + 4z + 1 = 0)
b) π passa por A = (1, 0, 1) e B = (0, 1,−1) e é paralelo ao segmento C̄D,
em que C = (1, 2, 1) e D = (0, 1, 0).
c) π passa pelos pontos A = (1, 0, 1), B = (2, 1,−1) e C = (1,−1, 0).
1
d) π passa pelos pontos A = (1, 0, 2), B = (−1, 1, 3) e C = (3,−1, 1) (res-
posta: não definem um plano - por quê?)
5) Dadas as retas
r :
x− 1
2
=
y
2
= z e s : x− 1 = y = z
obtenha uma equação geral do plano determinado por r e s.
6) O mesmo para
r :
x− 1
2
=
y − 3
3
=
z
4
e s :
x
2
=
y
3
=
z − 4
4
7) Seja π1 o plano que passa pelos pontos A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e
C = (0, 0, 1). Seja π2 o plano que passa por Q = (−1,−1, 0) e é paralelo aos
vetores ~v = (0, 1,−1) e ~w = (1, 0, 1). Seja π3 o plano de equação vetorial
X = (1, 1, 1) + λ(−2, 1, 0) + µ(1, 0, 1). Mostre que a interseção desses três
planos se reduz a um ponto, determinando-o.
8) Verifique se r está contida no plano π nos seguintes casos:
a) r : X = (1, 0, 0) + λ(2,−1, 0), π = x+ 2y + 3z = 1 (resposta: sim)
b) π : X = (1, 4, 1) + λ(1,−1, 1) + µ(−1, 2,−1) e r passa pelos pontos
A = (2, 3, 2) e B = (0, 0, 1).(resposta: não)
c) r : x− 1 = 2y = 4− z e π : x+ 2y − 2z + 1 = 0.(resposta: não)
9) Sejam P = (4, 1,−1) e r : X = (2, 4, 1) + λ(1,−1, 2). Mostre que P /∈ r,
e obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P .
10) Obtenha um vetor normal ao plano π nos seguintes casos:
a) π passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1, 2, 3).
b) π tem equações paramétricas {
x = 1 + α
y = 2− α+ β
z = α− 2β
c) π tem equação geral x− 2y + 4z = 0.
2
11) Obtenha uma equação geral do plano π que passa pelo ponto P = (1, 1, 2)
e é paralelo a π1 : x− y + 2z + 1 = 0.
12) Dê uma equação geral do plano π que passa pela origem e é perperdicular
à reta que passa por A = (1, 1, 1) e B = (2, 1,−1).
13) Escreva uma equação vetorial da reta que passa por A = (1, 2, 3) e é
perpendicular ao plano π : 2x+ y − z = 2.
14) Escreva equações paramétricas da reta interseção dos planos
π1 : {
x = 1 + λ
y = −2
z = −λ− µ
π2 : {
x = 1 + λ− µ
y = 2λ+ µ
z = 3− µ
15) Estude a posição relativa das retas r e s nos casos:
a) r : X = (1,−1, 1) + λ(−2, 1,−1) s : { y + z = 3
x+ y − z = 6 (solução:
paralelas distintas)
b) r : {x− y − z = 2
x+ y − z = 0 s : {
2x− 3y + z = 5
x+ y − 2z = 0 (solução: concorrentes
em P = (1,−1, 0)).
c) r : x+12 =
y
3 =
z+1
2 s : X = (0, 0, 0) + λ(1, 2, 0) (solução: reversas)
d) r : x+32 =
y−1
4 = z s : {
2x− y + 7 = 0
x+ y − 6z + 2 = 0 (solução: r = s)
e) r : x−13 =
y−5
3 =
z+2
5 s : x = −y =
z−1
4 .
16) Estude a posição relativa da reta r e do plano π nos seguintes casos:
a) r : X = (1, 1, 0) + λ(0, 1, 1), π = x − y − z = 2 (solução: r fura π no
ponto P = (1, 0,−1))
b) r : x−12 = y = z, π : X = (3, 0, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(2, 2, 0) (solução: r
paralela a π mas não está contida em π)
c) r : { x− y + z = 0
2x+ y − z − 1 = 0 π : X = (0,
1
2 , 0) + λ(1,−
1
2 , 0) + µ(0, 1, 1)
3
(solução: r ⊂ π)
17) Estude a posição relativa de π1 e π2 nos seguintes casos:
a) π1 : X = (1, 1, 1)+λ(0, 1, 1)+µ(−1, 2, 1) π2 : X = (1, 0, 0)+λ(1,−1, 0)+
µ(−1,−1,−2) (solução: π1 = π2)
b) π1 : 2x − y + 2z − 1 = 0 π2 : 4x − 2y + 4z = 0 (são paralelos mas
distintos)
c) π1 : x − y + 2z − 2 = 0 π2 : X = (0, 0, 1) + λ(1, 0, 3) + µ(−1, 1, 1)
(solução: são transversais)
18) Obtenha uma equação geral para o plano que contém a reta r : X =
(1, 1, 0) + λ(2, 1, 2) e é paralelo à reta s : x+12 = y = z + 3 (solução posśıvel:
x-2y+1 = 0)
19) Obtenha uma equação geral para o plano que passa pelo ponto P =
(1, 3, 4) e é paralelo ao plano π = x+y+z+1 = 0.(solução: x+y+z−8 = 0)
4