G3-1 2008-1-sol

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MAT1004 Cálculo A G3 20-6-2008
Solução da 1ª questão
Primeiro o esboço da região (item c), depois os cálculos. Algumas observações para melhor explicar as dificuldades da questão estão colocadas dentro dos quadros.
c)�
A região é a delimitada pelos gráficos de y=ax+1 (domínio [-1/a;0]), de y=cos(x) (domínio [0, π/2]) e pela reta y=0 (eixo horizontal).
a) 
, a área total da região.
Observação1: Note que a função f(x) que aparece na fórmula do centróide é a função que corresponde à curva que delimita superiormente a região, uma função definida por partes:
.
Por isso sua integral se quebra em duas integrais, cada uma sobre uma das partes, isto é, um dos intervalos da definição. A curva que delimita a região por baixo [a g(x) da fórmula geral do livro] é g(x) = 0.
Para que o centróide esteja sobre o eixo y, 
, o que, dado que A>0, leva à equação:
 ( 
.
Observação 2: Como se vê, 
 ser nulo não implica nas áreas serem iguais. Se a região for simétrica em relação ao eixo y, este momento será nulo, mas com um cosseno de um lado e uma reta do outro, não existe simetria.
Observação 3: Se A1 e x1 são área e centro de gravidade do triângulo à esquerda, e A2 e x2 o mesmo para a região à direita do eixo y, não é verdade que 
 seja a soma ou a mesmo a média aritmética de x1 e x2. De fato, olhando a formação de 
, podemos 
concluir que este número é uma média ponderada de x1 e x2: 
, pois 
, sendo M1 = A1x1 e M2 = A2x2 (volte à definição dos momentos e dos centros de gravidade). Os momentos M1 e M2 são aditivos (são dados pelas integrais, e sua soma é o momento total), mas as coordenadas dos centros de gravidade não se somam diretamente, pois são razões entre os momentos e a área da região. Na dedução destas fórmulas (volte lá), somamos os momentos Mi e depois dividimos pelas áreas, mas nunca somamos coordenadas de centros de gravidade, que são razões e não somas (ou integrais). È o mesmo problema que aparece nas misturas, quando somamos massas, mas não somamos concentrações (que são razões).
b) Como 
=0, resta calcular:
 
 = 
.
Para as integrais, usar o MAPLE ou lembrar que 
. Todas as integrais restantes são integrais de polinômios. 
Substituindo os valores numéricos, temos: a = 0,54; o centro de gravidade sendo (
;
) = (0; 0,36).
Solução questão 2
Dada uma faixa dy, a força dF é PdA, sendo P a pressão e dA a área da faixa elementar. Temos P= rgh, onde r é a densidade, g é a aceleração da gravidade, h é a profundidade, e dA=2|x|dy. Como vamos integrar em y, devemos escrever |x| em função de y, o que é dado resolvendo a equação y=(x2-16)/4 em x e pegando a raiz positiva: x= sqrt(4y-16). A profundidade h é –y, pois y é negativo e h tem que ser positivo. A integral fica então:
int(1000*9.8*(-y)*2*sqrt(4y+16),y=-4..0) , que calcula-se facilmente com maple, obtendo 334506.6667.
Observe que nas coordenadas dadas y vai de -4 a 0 e h=-y. Para escrever h=4-y, é preciso colocar o eixo horizontal no pé da figura, o que muda a equação da parábola.
 3) Considere o gráfico:�
Explique por que a função cujo gráfico é mostrado acima é uma função densidade de probabilidade. 
A função é positiva e int(f(x), x = - infinito..+ infinito) = 1.
Calcule P ( x < 3 ) = int ( f(x), x = 0 .. 3) = área de triângulo = b * h /2 = 
3 * 0,1 /2 = 0,15 = 15%
Calcule P ( 3 <= x <= 8 ) = int ( f(x), x = 3 .. 8) = int ( (1/30)*x, x=0..6) + int ( -0,05 *x + 0,5 , x= 6 .. 8) = soma das áreas dos trapézios = [3 * 0,5 * (0,2+0,1) ]+ [ 2*0,5*(0,2+0,1)] = 0,75 = 75%
Calcule a média = int ( x * f(x) , x=0..10) = 5,333333... = 16/3
Calcule a mediana = m tal que int ( f(x), x = - infinito.. m ) = 0,5
Como int ( f(x), x = 0.. 6 ) = 0,6 a mediana é menor que 6 e f(x) = (1/30)*x.
> solve(int((1/30)*x,x=0..m)
m=5,477225576
Solução 4a questão
 
a) Tanque A:
 dy / dt = taxa de entrada de ácido acético – taxa de saída de ácido acético ( kg/min)
 dy / dt = 0 – (y/100) x 2 ou dy / dt = - y /50 
dy/y = - dt/50 ( ln y = - t /50 + C’ ( y = eC’ x e-t/50 ou y(t) = C x e- t / 50 Kg
 condição inicial : y (0) = 4 Kg ou y(0) = C e 0 ( C =4 ou y(t) = 4 e- t / 50 Kg
 
c) V(t) = 2 litros / minuto x t = 2 t litros
 100 = 2 t* ( t* = 100 / 2 = 50 minutos
d) y ( 50 ) = 4 e- 50 / 50 = 4 e-1 = 4 / e = 1,47 Kg
e) Tanque B :
 dw / dt = taxa de entrada de ácido acético – taxa de saída de ácido acético ( Kg/min)
 dw / dt = (y/100) x 2 – 0 ou dw / dt = y(t) /50 = ( 4 e- t / 50 ) / 50 para t ( t* 
f) t = 50 min (tanque B cheio)
 
 = 4 ( 1 – e- 50/ 50 ) = 4 – 4/e = 2,53 Kg ( conservação da massa)
1
-1/a
π/2
y=ax+1
y=cos(x)
_1275818764.unknown
_1275819324.unknown
_1275820451.unknown
_1275821053.unknown
_1275819851.unknown
_1275819915.unknown
_1275820084.unknown
_1275819618.unknown
_1275819234.unknown
_1275818860.unknown
_1275819179.unknown
_1275818557.unknown
_1275818737.unknown
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_1275818132.unknown
_928658883.unknown