p2sol-1-2009-1

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Resolução do P2 de Maple das 11h.
Questão 1.
Considere o polinômio
p x( ) = x
5
120
 - 
1 x 3
6
 + x + 
139
120
 
(a) Ache o maior intervalo (a,b) contendo 1 tal que p é inversível neste intervalo, calculando a e b com quatro 
casas decimais exatas.
(b) Seja q a inversa de p|(a,b). Faça o gráfico de p|(a,b) e q.
(c) Calcule q'(2) com, no mínimo, quatro casa decimais exatas.
 
Resolução: 
(a) Define-se o polinômio como função de x.
> p:= x -> x^5/120 - x^3/6 + x +139/120;
p := x → 1
120
 x
5
 - 
1
6
 x
3
 + x + 
139
120
Plotamos o gráfico para ver onde é p monótono perto de 1. A escolha dos intervalos de vriação de x e y foi 
feita por tentativa e erro, sempre usando intervalos em x que contém o 1.
> plot(p(x),x=-2..2,y=-1..4);
 
Pelo gráfico reconhecemos dois pontos críticos e uma região entre -2 e 2 onde p é crescente. Usamos 
fsolve para achar os pontos críticos. 
> fsolve(D(p)(x)=0,x=-2..2);
-1.592450434, 1.592450434
Logo p é inversível no intervalo ( -1.592450434,1.592450434), que contém 1. Poderíamos ter usado também 
diff(p(x),x)
(b) Plotando novamente o polinômio, vemos que ele é estritamente crescente neste intervalo.
> plot(p,-1.592450434..1.592450434);
 
Trocando x por y no implicitplot , representamos o gráfico de q.
> with(plots):
implicitplot(x=p(y),x=p(-1.592450434)..p(1.592450434),y=-1.592450434..1.
592450434);
 
 o gráfico de q poderia ter sido feito a mão , usando a simetria em relação à diagonal y=x.
(c) Para achar q'(2) usamos a fórmula da derivada da inversa. Mas antes achamos q(2). 
> fsolve(p(x)=2);
1., 2.229195124, 3.585773644
Vemos que só 1 está no intervalo (- 1.592450434,1.592450434), logo q(2) = 1. Poderíamos ter usado 
fsolve(p(x)=2, x=-2..2) e obeter só o valor 1. Verficando:
> p(1);
2
> dq2:= 1/D(p)(1);
dq2 := 24
13
> evalf(dq2);
1.846153846
Questão 2.
(a) Ache a equação da reta tangente ao gráfico de y = x tan x( ) no ponto de coordenada x= 0.8.
(b) Calcule a área do triangulo formado pela reta do item (a) e os eixos x e y, com pelo menos 4 decimais 
exatas
Resolução:
(a) Definimos a função cujo gráfico é dado pela equação em questão.
> f:= x -> x*tan(x);
f := x → x tan x( )
> plot(f,-Pi/2..Pi/2,y=0..10);
 
A equação da reta tangente no ponto (x0,f(x0)) é dada por: y-f(x0) = f´(x0)*(x-x0).
> r:=x->f(0.8)+D(f)(0.8)*(x-0.8);
r := x → f 0.8( ) + D f( ) 0.8( ) x - 0.8( )
Olhando o gráfico da função e da tangente vemos o triângulo.
> plot([f,r],-Pi/2..Pi/2,-2..5);
 
Mais precisamente:
> graf:=plot([f,r],-1..1,y=-2..2):
Cx:=implicitplot(y=0,x=0..solve(r(x)),y=-1..1, thickness=4):
Cy:=implicitplot(x=0,x=-1..1,y=r(0)..0, thickness=4):
Hip:=plot(r(x),x=0..solve(r(x)),y=r(0)..0,thickness=4):
display(Cx,Cy,Hip,graf);
 
Claramente a altura vale r 0( )| | e a base é a solução de r(x) = 0, logo:
> a:=abs(r(0));
b:=solve(r(x));
a*b/2;
a := 1.318499556
b := 0.4923884431
0.3246069718
Portanto a área do triângulo, com 4 casas decimais exatas, vale 0.3246.
> 
Obs: Ao entrar logo com os valores numéricos de f(0.8) e de D(f)(0.8) com apenas 4 decimais na equação da 
reta tangente, vão aparecer erros de arredondamento que se somam aos erros do cálculo ab/2. Se tudo for feito
com 4 decimais, a 4a decimal sai errada.