LISTA 7 - DISCUSSÃO DE SISTEMAS (1)

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TEOREMA MILITAR 
LISTA 7 – DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES 
PROF. NOME DO PROFESSOR 
 
 
NÍVEL 1 – ESA/EEAR 
 
1. (EEAr – 2013) O valor de x que é solução do sistema 
2 1
2 3 3
x y
x y
− =

− =
 é um número: 
 
a) par primo 
b) ímpar primo 
c) par não primo 
d) ímpar não primo 
 
2. (EEAr 2009) Se 
2 1 6
1 1 0
x
y
     
 =     
−     
, então o valor 
de x+y é: 
 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 
 
3. (EEAr 2007) Seja 
1
4 5 2
x my
x y
+ =

+ =
 um sistema de 
equações do 1º grau nas incógnitas x e y. Ele será 
impossível se o valor de m for: 
 
5
)
4
3
)
2
5
)
3
)2
a
b
c
d
 
 
4. (EEAr 2006) O sistema 
3
2 6
x y
x my
+ =

− =
 é possível e 
indeterminado para: 
 
a) m=2 
b) 2m  
c) m= - 2 
d) 2m  − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. (ESA 2018) Dada a matriz 
2 4
4 1
k
A
 −
=  
− 
 e 
1
1
B
 
=  
 
. Considerando que a equação matricial AX=B 
tem solução única, podemos afirmar que: 
 
) k 4
b)k 4
) 2
) 1
) 2
a
c k
d k
e k
 
= 
= 
= 
 
 
 
6. (EEAR 2010) Para que o sistema 
 
0
2 4 1
3 4 1
kx y z
x y z
x y z
− + =

− − =
− + − = −
 
seja possível e determinado, deve-se ter 
 
9
)
8
2
)
5
7
)
6
1
)
3
a k
b k
c k
d k


=
=
 
 
7. ( ESA 2010) O valor de K real, para que o sistema 
 
2 2
2 8 2 0
2 4
kx y z
x y z
x z
+ − =

− + =
 + =
 
 
Seja possível e determinado é: 
1
)
2
1
)
2
1
)
6
3
)
2
7
)
2
a k
b k
c k
d k
e k
 −
=
 −
 −
 −
 
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NÍVEL 2 – OFICIALATO 
 
1. (EsPCEx 2020) A condição para que o sistema 
ax y z 0
x 2y z 0,
x y z 0
+ + =

+ + =
 + + =
 a , tenha solução única é 
a) a 1. 
b) a 1. − 
c) a 2. 
d) a 2. − 
e) a 0. 
 
2. (Fgv 2020) Considere o sistema linear de equações, 
nas incógnitas x e y : 
 
x 2y 5
3x y 6
4x y m
+ =

− = −
 + =
 
 
Ele é possível e determinado para um único valor de m. 
Podemos afirmar que este valor é: 
a) 1. 
b) 3. 
c) 0. 
d) 2. 
e) 1.− 
 
3. (Ufrgs 2020) Para que o sistema de equações 
lineares 
x y 7
ax 2y 9
+ =

+ =
 seja possível e determinado, é 
necessário e suficiente que 
a) a . 
b) a 2= 
c) a 1.= 
d) a 1. 
e) a 2. 
 
4. (Ufjf-pism 3 2018) Considere o seguinte sistema: 
 
x 3y z 0
2x y z 0
x 4y 0
+ + =

− + =
 − =
 
 
É CORRETO afirmar que: 
a) O sistema é possível e indeterminado. 
b) x 4, y 1= = e z 0= é a única solução do sistema. 
c) x 4, y 1= − = e z 1= é a única solução do sistema. 
d) O sistema é impossível. 
e) x 0, y 0= = e z 0= é a única solução do sistema. 
 
 
 
 
 
 
5. (Unicamp 2018) Sabendo que k é um número real, 
considere o sistema linear nas variáveis reais x e y, 
 
x ky 1,
x y k.
+ =

+ =
 
 
É correto afirmar que esse sistema 
a) tem solução para todo k. 
b) não tem solução única para nenhum k. 
c) não tem solução se k 1.= 
d) tem infinitas soluções se k 1. 
 
6. (Fgv 2017) Chama-se solução trivial de um sistema 
linear aquela em que todos os valores das incógnitas 
são nulos. 
 
O sistema linear, nas incógnitas x, y e z : 
x 2y z 0
x y 5z 0
5x y mz 0
− + =

− − + =
− + + =
 
a) é impossível para qualquer valor de m. 
b) admite apenas a solução trivial para qualquer valor 
de m. 
c) admite soluções diferentes da solução trivial para 
m 13.= 
d) admite soluções diferentes da solução trivial para 
m 10.= 
e) não admite a solução trivial para m 13. 
 
7. (Efomm 2017) Dado o sistema linear abaixo, analise 
as seguintes afirmativas: 
 
3 4 6 x 3
0 16 b y a
1 4 2 z 3
− −     
     
 =
     
     −     
 
 
I. Se b 12, − o sistema linear terá uma única solução. 
II. Se a b 12,= = − o sistema linear terá infinitas 
soluções. 
III. Se b 12,= − o sistema será impossível. 
 
a) Todas as afirmativas são corretas. 
b) Todas as afirmativas são incorretas. 
c) Somente as afirmativas I e III são corretas. 
d) Somente as afirmativas I e II são corretas. 
e) Somente as afirmativas II e III são corretas. 
 
 
 
 
 
 
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8. (EsPCEx 2017) Considere o sistema linear 
homogêneo 
x 3y kz 0
3x ky z 0,
kx y 0
− + =

+ + =
 + =
 onde k é um número 
real. 
 
O único valor que torna o sistema, acima, possível e 
indeterminado, pertence ao intervalo 
a) ( 4, 2]− − 
b) ( 2, 1]− 
c) (1, 2] 
d) (2, 4] 
e) (4, 6] 
 
9. (Unioeste 2017) Sobre o sistema de equações 
lineares 
3x 5y 7
,
3x y 7β
+ =

+ =
 é CORRETO afirmar que 
a) possui uma única solução, qualquer que seja .β 
b) possui infinitas soluções, qualquer que seja .β 
c) possui ao menos uma solução, qualquer que seja .β 
d) só tem solução se 5.β = 
e) é impossível se 5.β  − 
 
10. (EsPCEx 2016) Para que o sistema linear 
x y az 1
x 2y z 2 ,
2x 5y 3z b
+ + =

+ + =
 + − =
 em que a e b são reais, seja 
possível e indeterminado, o valor de a b+ é igual a 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
 
11. (EsPCEx 2011) Para que o sistema linear 
2x y 5
ax 2y b
+ =

+ =
 seja possível e indeterminado, o valor de 
a b+ é: 
a) –1 
b) 4 
c) 9 
d) 14 
e) 19 
 
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GABARITO NÍVEL 1 
 
1- B 
2- A 
3- A 
4- C 
5- A 
6- A 
7- D 
 
GABARITO NÍVEL 2 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
O sistema é possível e determinado se, e somente se, 
  + + − − − 
 
a 1 1
1 2 1 0 2a 1 1 2 a 1 0
1 1 1
a 1.
 
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
Resolvendo as duas primeiras equações do sistema, obtemos: 
( )
x 2y 5 x 2y 5
3x y 2 6 2 6x 2y 12
7x 7 x 1
1 2y 5 y 3
+ = + =
 + 
−  = −  − = − 
= −  = −
− + =  =
 
 
Substituindo estes valores na terceira equação, chegamos a: 
( )4 1 3 m
m 1
 − + =
 = −
 
 
Resposta da questão 3: 
 [E] 
 
Para que o sistema seja possível e determinado é necessário e suficiente que 
a 2
a 2.
1 1
   
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
O sistema dado é homogêneo. 
Observemos o determinante da matriz dos coeficientes. 
1 3 1
2 1 1 0,
1 4 0
− =
−
 logo, o sistema é possível e indeterminado. 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
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O sistema possui solução única se, e somente se, 
1 k
k 1.
1 1
   
 
Por outro lado, se k 1= as equações do sistema serão idênticas e, portanto, o sistema terá mais de uma solução. 
Em consequência, o sistema tem solução para todo k. 
 
Resposta da questão 6: 
 [C] 
 
Calculando: 
x 2y z 0 1 2 1
x y 5z 0 1 1 5 3m 39
5x y mz 0 5 1 m
− + = −

− − + =  − − = − +
− + + = −
 
 
Caso 1) D 0 3m 39 0 m 13 SPD  −     
Caso 2) D 0 3m 39 0 m 13 SPI=  − =  =   admite soluções diferentes da trivial. 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Faremos, agora, a discussão do sistema em função dos parâmetros a e b. 
 
O primeiro passo será o cálculo do determinante dos coeficientes: 
3 4 6
0 16 b 192 16 b
1 4 2
−
= + 
−
 
 
O sistema Linear terá solução única se: 
192 16 b 0 b 12+     − 
 
Verificando o que acontece com o sistema quando b 12,= − temos: 
3x 4y 6z 3 x 4y 2z 3
16y 12z a 3x 4y 6z 3
x 4y 2z 3 16y 12z a
+ − = − − + = 
 
+ =  + − = − 
 − + = − = 
 
 
O próximo passo é o escalonamento do sistema, vamos multiplicar a primeira equação por 1− e somar com a 
segunda, trocando a segunda equação pela equação obtida. 
x 4y 2z 3
0 16y 12z 12
0 16y 12z a
− + =

+ − = −
 + − =
 
 
Multiplicando, agora,a segunda equação por 1− e somando com a terceira, temos: 
x 4y 2z 3
0 16y 12z 12
0 0 0 a 12
− + =

+ − = −
 + + = +
 
 
O sistema terá infinitas soluções se b a 12= = − e será impossível se b 12= − e a 12. − 
 
Portanto, somente as afirmativas [I] e [II] são corretas. 
 
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Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
Para que o sistema homogêneo seja indeterminado devemos considerar o determinante dos coeficientes nulo. 
 
Então: 
3 3
1 3 k
3 k 1 0 k 1 0 k 1
k 1 0
−
=  + =  = − 
 
Como k é um número real, devemos considerar k 1.= − 
 
Portanto, ( k 1 2, 1 .= −  − 
 
Resposta da questão 9: 
 [C] 
 
O sistema possui uma única solução se, e somente se, 
3 5
5.
3
β
β
   Ademais, o sistema possui infinitas soluções 
se, e somente se, 5.β = 
Finalmente, como os termos independentes das duas equações são iguais, podemos concluir que o sistema possui 
ao menos uma solução, qualquer que seja o real .β 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Para que o sistema seja possível e indeterminado é necessário que: 
1 1 a
1 2 1 0 6 5a 2 4a 5 3 0 a 6
2 5 3
=  − + + − − + =  =
−
 
 
Fazendo a 6= no sistema, temos: 
x y 6z 1 x y 6z 1 x y 6z 1
x 2y z 2 0 y 5z 1 0 y 5z 1
2x 5y 3z b 0 3y 15z b 2 0 0 0 b 5
+ + = + + = + + =  
  
+ + =  + − =  + − =  
  + − = + − = − + + = −  
 
 
Considerando b 5 0,− = temos: 
b 5= e a b 6 5 11.+ = + = 
 
Resposta da questão 11: 
 [D] 
 
Para que o sistema seja possível e indeterminado, deve-se ter 
 
= =  =
2 1 5
a 4
a 2 b
 e =b 10. 
 
Por conseguinte, + = + =a b 4 10 14.